QDV 14; un peu de Sancery?

Norbert Verdier · December 2012

Bonjour à toutes et à tous;

Pour cette dernière "question du vendredi 2012", nous vous invitons à partager avec nous un peu plus Sancery! Liouville note dans un de ses 340 carnets détenus à Bibliothèque de l'Institut de France :

" Mercredi 31 mai 1876.

Mr Sancery, 3 rue de l'Odéon, vient me communiquer ce théorème : $p$ étant un nombre premier impair tel que $p-1= 2^wa^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}...$, l'équation $\displaytime x^{2^wm}+y^{2^wm}=p^{\mu}$, $m$ et $\mu$ étant quelconques, est impossible.

Je n'en puis rien dire. Mr Sancery viendra peut-être me voir au Collège de France." [Fonds Liouville, Bibliothèque de l'Institut de France, MS 36 38 (8)].

Qu'est-ce que cela vous inspire? Qu'auriez-vous dit à la place de Liouville? Sancery était-il dans le vrai? A-t-il publié son résultat? Qui était ce Sancery? Laissez de multiples questions vous tarauder l'esprit! Bonnes fêtes avec ... un peu de Sancery. Norbert p/o Le Comité du Vendredi.

JLT · December 2012

Soit $p$ un nombre premier impair tel que $2^{w+1}$ ne divise pas $p-1$. Montrons qu'il n'existe pas d'entiers $x,y\ge 1$ et $\mu\ge 0$ tels que $x^{2^wm}+y^{2^wm}=p^\mu$.

Si $x$ et $y$ sont divisibles par $p$, on peut trouver une solution plus petite en remplaçant $x$, $y$ et $\mu$ par $x/p$, $y/p$ et $\mu-2^wm$. On peut donc supposer que $y$ n'est pas divisible par $p$. Dans $\Z/p^\mu\Z$, on a $u^{2^w}=-1$ où $u=\bar{x}^m\bar{y}^{-m}$. On en déduit facilement que $u$ est d'ordre $2^{w+1}$ dans le groupe multiplicatif $(\Z/p^\mu\Z)^*$. Or, ce groupe est cyclique (Edit : la cyclicité est inutile ici) d'ordre $p^{\mu-1}(p-1)$, donc $2^{w+1}$ divise $p^{\mu-1}(p-1)$. Comme $p$ est premier avec $2$, il s'ensuit que $2^{w+1}$ divise $p-1$, ce qui est contradictoire.