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Points de Fermat & Torricelli

Envoyé par jacquot 
Points de Fermat & Torricelli
il y a quatre années
avatar
Une question d'un british visiteur de notre forum m'a rappelé le problème de Fermat que j'ai découvert par un concours de circonstances assez curieux:

Obtention fortuite du point de Torricelli:

Alors que je faisais construire au compas les médiatrices des côtés d’un triangle dans une classe de Cinquième, j’ai vu un élève maladroit construire un triangle équilatéral sur chaque côté de son triangle puis relier chaque sommet
du triangle au 3e sommet du triangle équilatéral construit sur le côté opposé.
Pensant qu'il avait bien fait, il me fit fièrement remarquer que les trois segments qu’il venait de tracer « se croisaient bien en un même point ».

Voici une figure. Les cercles pointillés ne font pas partie de sa construction, mais ils seront utiles pour la démonstration.
[attachment 26860 Toricelli.png]

Je me suis alors empressé de vérifier cette propriété de concours sur d’autres
triangles. Cet élève venait de me faire découvrir le point de Torricelli.

Le concours des trois segments se démontre à l'aide du tracé des cercles circonscrits des trois triangles équilatéraux par des considérations d'angles inscrits et d'arc capable.
On obtient en prime que le point F est le seul point d’où l’on voit chaque côté du triangle ABC sous un angle de 120°.
On peut aussi remarquer qu'il perd cette propriété si l'un des angles du traiangle ABC excède 120°

Selon Wikipédia, le problème suivant fut posé par Fermat à Torricelli:
Citation
Problème de Fermat
Pour tout point M d’un triangle ABC, on calcule la somme MA+MB+MC de ses distances aux sommets du triangle.
Démontrer qu’il existe un point pour lequel cette somme est minimale. Quel est ce point?

Si aucun des angles du triangle n'excède 120°, la solution sera le point de Torricelli défini précédemment.
J'en ai trouvé plusieurs démonstrations sur le web. J'ai préféré la suivante:
[attachment 26862 Fermat-Torricelli.png]
On considère la rotation de centre C et d’angle 60°.
A’ est alors l’image de B.
On note M’ l’image de M.
Alors le triangle A’M’C est l’image du triangle BMC donc MB= M’A’
Le triangle CMM’ est équilatéral, donc MC=MM’
Ainsi MA+MB+MC = AM+MM’+M’A’
D’après l’inégalité triangulaire, cette somme est minimale si et seulement si ces trois segments sont dans le prolongement l’un de l’autre, ce qui
est le cas ssi M appartient à [AA’] et CM’A’ =120°, c'est-àdire :
M appartient à [AA’] et BMC =120°
M se trouve alors au point de Torricelli du triangle ABC.

Citation
Mes questions:
Finalement qui a démontré ce théorème: Fermat, Toricelli ou encore Viviani?
Comment ? La démonstration de l'époque ressemble-t-elle à celle que je viens de présenter ?
J'imagine qu'il n'a pas été question d'affixes dans le plan complexe...:)

PS.Si quelqu'un voulait m'indiquer comment on intègre un GeoGebra dans un message, je voudrai bien lui envoyer mon.ggb



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par jacquot.


Re: Points de Fermat & Torricelli
il y a quatre années
avatar
Et s’il y a un angle de plus de 120° en A, c’est le point qui minimise la somme des distances demandée.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par nicolas.patrois.
Re: Points de Fermat & Torricelli
il y a quatre années
Bonsoir

Pour ceux qui peuvent être intéressés pour un oral il y a une démonstration géométrique dans le livre de Sortais géométrie du triangle et une autre "calcul diff" dans l'ouvrage de F. Rouvière petit guide du calcul diff.
D. G. Rogers
Re: Points de Fermat & Torricelli
il y a quatre années
Mon cher jacquot vous êtes un véritable ami; merci pour la publicité.

Vous pourrez en savoir plus ici (mais en anglais):
[turing.une.edu.au].

Aussi, n'oublions pas Vecten dans les Annales de Gergonne:
[www.les-mathematiques.net]
Re: Points de Fermat & Torricelli
il y a quatre années
avatar
Merci à tous trois, pour ces précisions.
Plus particulièrement à Rogers qui n'a pas pris ombrage de mon accueil abrupt sur notre "forum francophone"

Je suis capable de saisir le contenu des documents rédigés en anglais et pourrai toujours mouliner au traducteur ce que je comprendrai moins bien...

Les documents se réfèrent plutôt aux problème et théorème dits "de Napoléon" et je n'y ai pas trouvé de réponse à mes deux questions (voir en bas de mon message initial.)

En revanche, je maitrise mieux l'allemand et J'ai lu avec intérêt le "Wie kommt Napoleons Satz zu seinem Namen?"

Amicalement. jacquot



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par jacquot.
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