Points de Fermat & Torricelli
Une question d'un british visiteur de notre forum m'a rappelé le problème de Fermat que j'ai découvert par un concours de circonstances assez curieux:
Obtention fortuite du point de Torricelli:
Alors que je faisais construire au compas les médiatrices des côtés d’un triangle dans une classe de Cinquième, j’ai vu un élève maladroit construire un triangle équilatéral sur chaque côté de son triangle puis relier chaque sommet
du triangle au 3e sommet du triangle équilatéral construit sur le côté opposé.
Pensant qu'il avait bien fait, il me fit fièrement remarquer que les trois segments qu’il venait de tracer « se croisaient bien en un même point ».
Voici une figure. Les cercles pointillés ne font pas partie de sa construction, mais ils seront utiles pour la démonstration.
le point F est le seul point d’où l’on voit chaque côté du triangle ABC sous un angle de 120°.
On peut aussi remarquer qu'il perd cette propriété si l'un des angles du traiangle ABC excède 120°
Selon Wikipédia, le problème suivant fut posé par Fermat à Torricelli:
Si aucun des angles du triangle n'excède 120°, la solution sera le point de Torricelli défini précédemment.
J'en ai trouvé plusieurs démonstrations sur le web. J'ai préféré la suivante:
PS.Si quelqu'un voulait m'indiquer comment on intègre un GeoGebra dans un message, je voudrai bien lui envoyer mon.ggb
Obtention fortuite du point de Torricelli:
Alors que je faisais construire au compas les médiatrices des côtés d’un triangle dans une classe de Cinquième, j’ai vu un élève maladroit construire un triangle équilatéral sur chaque côté de son triangle puis relier chaque sommet
du triangle au 3e sommet du triangle équilatéral construit sur le côté opposé.
Pensant qu'il avait bien fait, il me fit fièrement remarquer que les trois segments qu’il venait de tracer « se croisaient bien en un même point ».
Voici une figure. Les cercles pointillés ne font pas partie de sa construction, mais ils seront utiles pour la démonstration.
le point F est le seul point d’où l’on voit chaque côté du triangle ABC sous un angle de 120°.
On peut aussi remarquer qu'il perd cette propriété si l'un des angles du traiangle ABC excède 120°
Selon Wikipédia, le problème suivant fut posé par Fermat à Torricelli:
Problème de Fermat a écrit:Pour tout point M d’un triangle ABC, on calcule la somme MA+MB+MC de ses distances aux sommets du triangle.
Démontrer qu’il existe un point pour lequel cette somme est minimale. Quel est ce point?
Si aucun des angles du triangle n'excède 120°, la solution sera le point de Torricelli défini précédemment.
J'en ai trouvé plusieurs démonstrations sur le web. J'ai préféré la suivante:
J'imagine qu'il n'a pas été question d'affixes dans le plan complexe...:)Mes questions: a écrit:Finalement qui a démontré ce théorème: Fermat, Toricelli ou encore Viviani?
Comment ? La démonstration de l'époque ressemble-t-elle à celle que je viens de présenter ?
PS.Si quelqu'un voulait m'indiquer comment on intègre un GeoGebra dans un message, je voudrai bien lui envoyer mon.ggb
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Pour ceux qui peuvent être intéressés pour un oral il y a une démonstration géométrique dans le livre de Sortais géométrie du triangle et une autre "calcul diff" dans l'ouvrage de F. Rouvière petit guide du calcul diff.
Vous pourrez en savoir plus ici (mais en anglais):
<http://turing.une.edu.au/~ernie/Diary/N/>.
Aussi, n'oublions pas Vecten dans les Annales de Gergonne:
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,501879>
Plus particulièrement à Rogers qui n'a pas pris ombrage de mon accueil abrupt sur notre "forum francophone"
Je suis capable de saisir le contenu des documents rédigés en anglais et pourrai toujours mouliner au traducteur ce que je comprendrai moins bien...
Les documents se réfèrent plutôt aux problème et théorème dits "de Napoléon" et je n'y ai pas trouvé de réponse à mes deux questions (voir en bas de mon message initial.)
En revanche, je maitrise mieux l'allemand et J'ai lu avec intérêt le "Wie kommt Napoleons Satz zu seinem Namen?"
Amicalement. jacquot