QDV 17: Question ouverte sans titre

Norbert Verdier
Norbert Verdier
dans Histoire des Mathématiques
Bonjour à toutes et à tous;

En préparant les questions des QDV 15 et 16, le CdV a rencontré l'exercice suivant :

On considère l'ensemble $A$ des nombres $n$ qui sont le produit de $r$ nombres premiers distincts, mais qui de plus possèdent un nombre de chiffres en base dix égal à $r$.

Par exemple $2013=3 \times 11 \times 61$, $r=3$ mais $2013$ s'écrit avec quatre chiffres et ne convient pas,
alors que $21=3\times 7$ s'écrit avec deux chiffres en base dix et appartient donc à l'ensemble $A$.

Voici $3$ questions.

Question 1 de l'exercice initial : montrer que l'ensemble $A$ est fini.

Questions complémentaires ouvertes pour la QDV 17 :

Question 2 : quel est le plus grand nombre appartenant à l'ensemble $A$ ?

Question 3 : quel est le cardinal de l'ensemble $A$ ? [ $1$ n'appartient pas à cet ensemble.]

Les réponses aux questions $2$ et $3$ semblent ne pas figurer dans la littérature. En bricolant, une réponse a été trouvée à la question $2$ mais sans être certain que ce soit effectivement le plus grand élément de l'ensemble $A$.

La semaine prochaine, le Comité du Vendredi vous proposera une QDV sans arithmétique.

Amicalement. Bernard p/o Le Comité Du Vendredi.

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Ça revient à résoudre $1+\lfloor\log_{10}(p_1.p_2...p_r)\rfloor=r$ avec $p_i<p_j$ si $i<j$.

    Soit $p_{max}$ le plus grand $p_r$ possible. $\log_{10} p_{max}<2$ donc $p_{max}<100$. D'où la finitude de $A$.

    $1+\floor\log_{10}(2.p_{max})\leq 2$ donc $2 p_{max}<100$ et $p_{max}=47$.
  • Sylvain
    Sylvain
    Bon, j'ai dit n'importe quoi. La 10ème primorielle appartient à $A$ et $163$ peut être un facteur premier d'un élément de $A$.
  • JLT
    JLT
    Si $n\in A$ alors $n$ s'écrit $p_1\cdots p_r$ avec $n<10^r$, donc le produit des $r$ plus petits nombres premiers est $<10^r$.

    Le nombre $6469693230$ appartient à $A$ car il est produit des nombres $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$. Par contre, si $r\ge 11$ et $p_1<\cdots< p_r$ sont des nombres premiers distincts, alors $p_1\cdots p_r\ge p_1\cdots p_{11}\times 10^{r-11}>10^{11}\times 10^{r-11}=10^r$ donc $p_1\cdots p_r\notin A$. On en déduit que tout nombre appartenant à $A$ est produit d'au plus 10 nombres premiers, et donc que $A$ est fini et que le plus grand nombre appartenant à $A$ est plus petit que $10^{10}$.

    Remarquons également que $2*3*5*7*11*13*17*19*23*47>10^{10}$ donc le plus grand facteur premier de $\max A$ est plus petit que 43. Pour trouver $\max A$ il faut donc chercher le plus grand nombre à 10 chiffres qui est produit de 10 nombres parmi $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$.
  • JLT
    JLT
    Sauf erreur de programmation, le plus grand élément de $A$ est $9592993410$. Ses facteurs premiers sont $2,3,5,7,11,13,17,19,23,43$.
  • bs
    bs
    Bonsoir,

    Quelle dextérité (tu)

    J'avais également trouvé $9.592.993.410 = 2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 43$ mais en essayant comme-ci comme-ça au feeling sans parvenir à rédiger une procédure MAPLE ou autre.

    Pour le cardinal de l'ensemble $A$, c'est certainement plus délicat et fastidieux.

    Amicalement.
  • Juge Ti
    Juge Ti
    Bonjour les amis,

    Si je ne me suis pas trompé, le cardinal de $A$ est $4351$.

    Plus précisément, si je note $A_n$ l'ensemble des entiers naturels à $n$ chiffres qui sont le produit de $n$ nombres premiers distincts, je trouve que les cardinaux respectifs des $A_n$ sont $4$, $29$, $130$, $413$, $886$, $1215$, $1036$, $515$, $117$ et $6$.

    Par exemple :
    \begin{align*}
    A_1=\{2,3,5,7\},\\
    A_2=\{10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95\},\\ A_{10}=\{6469693230, 6915878970, 8254436190, 8720021310, 9146807670, 9592993410\}.
    \end{align*}
    Pour obtenir ces valeurs j'ai fait ça, par exemple pour $n=10$ : 
    n:=10:m:=prevprime(floor(10^n/(2*3*5*7*11*13*17*19*23)));
p:=2:L:=[]:while p<=m do L:=[op(L),p]:p:=nextprime(p) od:r:=nops(L);
nb:=0:
for a from 1 to r do
for b from a+1 to r do
for c from b+1 to r do
if L[a]*L[ b]*L[c]>=10^n then break fi:
for d from c+1 to r do
if L[a]*L[ b]*L[c]*L[d]>=10^n then break fi:
for e from d+1 to r do
if L[a]*L[ b]*L[c]*L[d]*L[e]>=10^n then break fi:
for f from e+1 to r do
if L[a]*L[ b]*L[c]*L[d]*L[e]*L[f]>=10^n then break fi:
for g from f+1 to r do
if L[a]*L[ b]*L[c]*L[d]*L[e]*L[f]*L[g]>=10^n then break fi:
for h from g+1 to r do
if L[a]*L[ b]*L[c]*L[d]*L[e]*L[f]*L[g]*L[h]>=10^n then break fi:
for i from h+1 to r do
if L[a]*L[ b]*L[c]*L[d]*L[e]*L[f]*L[g]*L[h]*L[ i]>=10^n then break fi:
for j from i+1 to r do
x:=L[a]*L[ b]*L[c]*L[d]*L[e]*L[f]*L[g]*L[h]*L[ i]*L[j]:
if x>=10^n then break elif x>=10^(n-1) then nb:=nb+1 fi:
od;od;od;od;od;od;od;od;od;od;
nb;
    Et comme j'avais la flemme d'écrire une procédure subtile, j'ai refait pareil pour $n=9,8,\ldots$ en faisant à chaque fois les modifications idoines. On peut sûrement faire plus élégant.
  • bs
    bs
    Bonjour les amis,

    (tu) pour " le cardinal de $A$ est $4351$" exhibé à deux heures du matin.

    Si un second intervenant pouvait confirmer le résultat du Juge Ti ?

    L'origine italienne de la première question se trouve en "Gare" de Cesenatico ici. D'autres questions de ce pdf s'avèrent également très séduisantes.

    Amicalement.
  • Juge Ti
    Juge Ti
    Bon, ben, en fait je me suis trompé, le cardinal de $A$ n'est pas $4351$ mais $4352$. Le chenapan qui s'est perdu en route est $999068070=2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 103$.

    Voilà une procédure plus jolie et plus rapide qui donne en moins d'une seconde tous les termes de la suite :
    L:=[]:
for n from 1 to 10 do
~~l:=[2\$n]:i:=2:
~~do
~~~~for j from i to n do l[j]:=nextprime(l[j-1]) od:
~~~~do
~~~~~~x:=mul(l[k],k=1..n):
~~~~~~if x>=10^n then break elif x>=10^(n-1) then L:=[op(L),x] fi:
~~~~~~l[n]:=nextprime(l[n]):
~~~~od:
~~~~i:=1:while mul(l[j],j=1..i)*l[ i]^(n-i)<10^n do i:=i+1 od:
~~~~if i=1 then break else l[i-1]:=nextprime(l[i-1]) fi:
~~od:
od:
sort(L);nops(L);
  • bs
    bs
    Bonsoir,

    Merci pour ton abnégation et l'élégance de la procédure :)

    Amicalement.
  • bs
    bs
    Bonjour à tous,

    Voilà ce à quoi ressemblait la séquence A167050 dans l'OEIS avant la QDV 17 :
    A167050 après la QDV 17 et les réponses pertinentes de nos amis JLT et Juge Ti.

    Plusieurs aménagements du texte ont été nécessaires avant l'accord définitif des éditeurs de l'OEIS, merci à JLT et Juge Ti pour leur aide dans la mise au point du texte. Un lien vers cette QDV 17 et donc vers notre forum est également proposé dans cette séquence de l'OEIS.

    Bien amicalement.27156
  • Juge Ti
    Juge Ti
    J'en profite pour remercier AD d'avoir indenté ma procédure. :)

    [À ton service :) AD]
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