QDV21: Le Seigneur des Anneaux (1er épisode)
Bonjour,
Nous vous proposons une première QDV sur les anneaux, il y aura deux autres fils relatifs à ce thème par la suite, en quelque sorte ce sera une trilogie mathématique des anneaux.
Q0 : Dans quel groupe de heavy-metal chantait le père de l'actrice qui interprète le rôle d’Arwen dans la trilogie du Seigneur des Anneaux, réponse sans Gogol ou Wikiki souhaitée
Q1 : Quel mathématicien a créé le mot Anneau en algèbre.
Q2 : Exhiber au moins trois anneaux non commutatifs.
Q3 : Exhiber au moins trois anneaux commutatifs non euclidiens.
Q4 : Qui a créé la notion d'anneau euclidien ?
Q5 : Exhiber au moins trois anneaux euclidiens distincts.
Bernard p/o Le Comité Du Vendredi.
Nous vous proposons une première QDV sur les anneaux, il y aura deux autres fils relatifs à ce thème par la suite, en quelque sorte ce sera une trilogie mathématique des anneaux.
Q0 : Dans quel groupe de heavy-metal chantait le père de l'actrice qui interprète le rôle d’Arwen dans la trilogie du Seigneur des Anneaux, réponse sans Gogol ou Wikiki souhaitée
Q1 : Quel mathématicien a créé le mot Anneau en algèbre.
Q2 : Exhiber au moins trois anneaux non commutatifs.
Q3 : Exhiber au moins trois anneaux commutatifs non euclidiens.
Q4 : Qui a créé la notion d'anneau euclidien ?
Q5 : Exhiber au moins trois anneaux euclidiens distincts.
Bernard p/o Le Comité Du Vendredi.
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Réponses
$(M_n(\K),+,\times )$
et l'anneau des quaternions.
1) Dedekind ?
5) $\Z$, $\R[X]$, $\Z$ ? (petit doute pour le dernier)
Hilbert
Les endomorphismes, les quaternions et je suppose que si $A$ est un anneau non commutatif $A[X]$ ne l'´est pas non plus.
$\R[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}+1)$, $\Z\[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}\]$ et ?
? Eisenstein?
$\mathbb{F}_{p}$, $\Z$ et $\Z$ et $KX$.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,426524
Q0 : egoroffski (tu) Amédé
Aerosmith en concert.
L'avatar d'Alannaria est d'ailleurs Liv Tyler : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,850036,853191#msg-853191
Amicalement.
Q1 : (tu) egoroffski pour Richard Dedekind.
Extrait de ORIGINES DE CERTAINS TERMES ET NOTATIONS MATHÉMATIQUES de Robert Ferréol. http://mapage.noos.fr/r.ferreol/langage/notations/notations.htm:
"Les mots « anneau » et « corps » (sous la forme Ring et Körper) [sont dus] à l’Allemand Richard Dedekind en 1871 dans son livre : Lehrbuch des Algebra."
...Et pour le mot Anneau en français ?
Amicalement.
-- Schnoebelen, Philippe
Q2 (tu) bisam
Amédé : "je suppose que si $A$ est un anneau non commutatif $A[X]$ ne l'´est pas non plus", je suppose également.
Q0 Oui Nicolas, il me semble que le terme hard-rock n'est utilisé qu'en France, partout ailleurs c'est heavy-metal qui prévaut...
Amicalement.
Q1 : Amédé, je ne suis pas trop certain : dans le document de Robert Ferréol proposé en lien dans le message-réponse Q1, est mentionné Dedekind avec une référence. Possèdes-tu de ton côté une réfénce ?
Atendons d'autres réactions, merci.
Amicalement.
Q3 : Trois anneaux non euclidiens ?
(tu) JLT : "la Q3 est facile parce qu'il suffit de trouver des anneaux non principaux, comme $\R[X,Y]$, $\R[X,Y,Z]$, $\R[X,Y,Z,T]$".
(tu) Amédé : $\R[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}+1)$ n'est pas un anneau euclidien [Référence et preuve : Perrin].
Amicalement.
Q4 : peut-être Eisenstein, mais je ne suis pas parvenu à trouver le nom du mathématicien ayant créé cette expression d'anneau euclidien. Ici aussi, attendons...
Amicalement.
Merci pour vos réponses, nous allons continuer à visiter le zoo des anneaux.
Q6 : Qui a créé la notion d'anneau principal ?
Q7 : Exhiber au moins trois anneaux principaux non euclidiens..
Q8 : Qui a créé la notion d'anneau factoriel ?
Q9 : Exhiber au moins trois anneaux factoriels non principaux.
Amicalement.
Q5 : Au moins trois anneaux euclidiens ? \begin{itemize}
\item egoroffski (tu) Amédé pour $\Z$, $\Z$, $\R[X]$, $\mathbb{F}_{p}$, $KX$.
\item Rappels : l'anneau $A_{\K}$ des entiers d'un corps de nombres quadratiques $\K=\Q(\sqrt{d})$ est euclidien si et seulement si $d$ est l'une des $21$ valeurs suivantes :
Référence : OEIS A048981
\item Autre anneau euclidien : l'anneau des nombres décimaux.
\item Si $\K$ est un corps, $\K[X]$ est euclidien. [Perrin - corollaire 3.32] \end{itemize}
Amicalement.
Q1 : Jean Dieudonné écrit dans son Abrégé d'Histoire des Mathématiques : "Le terme d'anneau ne sera introduit que par Hilbert en 1897."
Alors, Dedekind ou Hibert ?
Q7 : Trois anneaux principaux non euclidiens ? \begin{itemize}
\item $\R[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}+1)$
Ref : Exercices de mathématiques pour l'agrégation - Algèbre 1 -- Francinou_Gianella -- Masson (pages 63 à 65).
\item L''anneau $A_{\K}$ des entiers d'un corps quadratique $\K=\Q(\sqrt{d})$ est principal et non euclidien pour $d = -19,\ -43,\ -67,\ -163$.
Pour ces valeurs de $d$, alors $A_{\K}= \Z\bigg[\dfrac{1+i\sqrt{-d}}{2}\bigg].$
Ref : Pour $d=-19$, exercice 17 dans ce pdf de Rennes.
\end{itemize}
Amicalement.
[Merci Alain pour la présentation du message
Q10 : Exhiber trois anneaux non factoriels.
Q11 : Tout anneau principal est noethérien; merci d'exhiber des anneaux noethériens non principaux.
Amicalement.
-- Schnoebelen, Philippe
Q9 : Trois anneaux factoriels non principaux (tu) Nîmes-man \begin{itemize}
\item $\Z[X]$ avec preuve de Nîmes-man pour $\Z[X] $ : ici.
\item si $\K$ est un corps, pour $n \geq 2$, l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $\K[X_1,X_2,...,X_n]$ est factoriel et non principal.
\end{itemize}Amicalement.
il existe un analogue de ce résultat pour les anneaux noethériens, connu, il me semble, sous le nom de théorème de la base de Hilbert : si $A$ est noethérien, alors $A[X]$ l'est aussi.
Dans les deux cas, cela donne des exemples d'anneaux non principaux qui soient factoriels et noethériens, puisqu'un anneau $A[X]$ est principal ssi il est euclidien ssi $A$ est un corps (donc cela répond à deux des questions de bs).
bs n'a pas encore demandé d'exemple d'anneau factoriel non noethérien, mais je sens que ça va venir, alors je prends de l'avance : si $A$ est factoriel (par exemple un corps), $A[X_1,X_2,\ldots,X_n,\ldots]$ (anneau de polynômes en une infinité d'indéterminées) convient.
Amicalement
Volny
On n'anticipe pas sur les questions à venir
Parait que factoriel et noethérien n'ont aucun lien entre eux, de quoi remplir quatre nouvelles cages de notre zoo d'anneaux :
Q12 : Anneaux factoriels et noethériens.
Q13 : Anneaux factoriels non noethériens.
Q14 : Anneaux non factoriels et noethériens.
Q15 : Anneaux non factoriels et non noethériens.
Merci pour vos propositions.
Amicalement.
{\bf Q13}:$\C[X_1,\ldots,X_n,\ldots]$ est factoriel non noethérien
{\bf Q14}: $\Z[i\sqrt{5}]$ est noethérien non factoriel, de même que $\Z[i\sqrt{d}]$ pour presque tout $d>0$ entier positif sans facteurs carrés sauf un nombre fini, ou $K[T^2,T^3]$ ($K$ corps).
{\bf Q15}: $\C[X_1,\ldots,X_n,\ldots]\times \C[X_1,\ldots,X_n,\ldots]$ est non noetherien et non factoriel (car non intègre), l'anneau des complexes algébriques entiers sur $\Z$ est intègre, non factoriel, et non noethérien. L'anneau des fonctions méromorphes est intègre non factoriel, non noethérien.
Q10 : Exhiber trois anneaux non factoriels. \begin{itemize}
\item voir Q14 et Q15.
\item $\R[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ n'est pas un anneau factoriel.
Ref : Exercices de mathématiques pour l'agrégation - Algèbre 1 -- Exercice : 2.28 -- Francinou_Gianella -- Masson
\end{itemize}
Q11 : Anneaux noethériens non principaux (tu) Nicolas.
Comme le rappelle Nîmes-man ici , le théorème de transfert de Hilbert assure que : si $A$ est noethérien, alors $A[X]$ l'est aussi.
Conséquence : \begin{itemize}
\item $\Z[X]$ noethérien non principal.
\item si $\K$ est un corps, pour $n \geq 2$, l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $\K[X_1,X_2,...,X_n]$ est noethérien et non principal.
\end{itemize}Amicalement.
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Alors:
- $A[X]$ est principal si et seulement si $A$ est un corps
- tous les idéaux de $A[X]$ sont principaux si et seulement si $A$ est un produit direct de corps.
Q12 - Q13 - Q14 - Q15 (tu) Greg
Q12 : Anneaux factoriels et noethériens : \begin{itemize}
\item Un anneau principal est noethérien et factoriel : cela nous en fournit un gros paquet.
\item exemples d'anneaux factoriels et noethériens non principaux, suffit de relire Q9 et Q11 : \begin{itemize}
\item $\Z[X]$,
\item si $\K$ est un corps, pour $n \geq 2$, l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $\K[X_1,X_2,...,X_n]$, ou encore,
\item $\Z[X_1,\ldots,X_n].$
\end{itemize}
\end{itemize} Amicalement.
Q13 : Anneaux factoriels non noethériens :
Si $\K$ est un corps, $\K[X_1,\ldots,X_n,\ldots]$ est factoriel non noethérien.
C'est l'exemple que l'on retrouve dans tous les bons recueuils sur les anneaux. En connaissez-vous d'autres ?
Q14 : Anneaux non factoriels et noethériens.
Rappel : Un anneau principal ou un anneau factoriel se doit d'être intègre, ce qui n'est pas demandé à un anneau noethérien. \begin{itemize}
\item {\bf Q14(1)} Anneau noethérien et intègre non factoriel :
$\Z[i\sqrt{5}]$ est noethérien non factoriel, de même que $\Z[i\sqrt{d}]$ pour presque tout $d>0$ entier positif sans facteurs carrés sauf un nombre fini. [Réf : message de Greg plus haut]. $\Z[i\sqrt{5}]$ se rencontre par exemple chez Perrin, (Remarque 3.18).
Pour les autres anneaux du type $\Z[i\sqrt{d}]$ pour presque tout $d>0$..., peut-être une référence ? Merci.
\item {\bf Q14(2)} Anneau noethérien et non intègre donc non factoriel :
Exemples : ?
\end{itemize} Amicalement.
Il suffit de prendre tout anneau des entiers d'un corps de nombres algébrique dont le nombre de classes est $>1$. Ceux-ci sont des anneaux de Dedekind, donc noethériens, et comme le nombre de classes est $>1$, ils sont non principaux.
Cela en fait donc un paquet d'exemples...
Les exemples donnés ici sont des anneaux d'entiers de corps quadratiques imaginaires, dont on sait que seulement neuf d'entre eux ont un nombre de classes égal à $1$ (Baker, 1966 et Stark, 1967).
Un exemple rigolo concernant les anneaux factoriels: si $A_1$ et $A_2$ sont deux anneaux factoriels, alors, sauf erreur (j'ai fait ça vite fait sur un coin de table), tout élément non nul se décompose de manière unique en produit d'une unité et d'éléments irréductibles, à association et permutation près des facteurs. Mais il n'est pas pour autant factoriel, car non intègre.
Merci pour vos réponses, petit résumé des réponses obtenues.
Q5, Q7, Q14(1) à travers l'anneau $A_{\K}$ des entiers des corps quadratiques imaginaires $\K=Q(i\sqrt{\mid d \mid}).$
Le problème du nombre de classes de Gauss pour les corps quadratiques imaginaires $\K=Q(i\sqrt{\mid d \mid})$ consiste à fournir pour chaque entier $n \geq 1$, la liste complète des corps quadratiques imaginaires dont l'anneau $A_{\K}$ des entiers a un nombre de classes égal à $n$.
Pour $n=1$, le problème a été résolu par Alan Baker (1966), Harold Stark (1967), Heegner (1952). Il n'existe que neuf corps quadratiques imaginaires dont l'anneau des entiers a un nombre de classes égal à $1$, ils correspondent aux valeurs de $d$ suivantes : $d \in \{-1,~ -2,~ -3,~ -7,~ -11,~-19, ~-43,~ -67, ~-163\}$. Ce sont les nombres de Heegner encore appelés nombres de Gauss : http://oeis.org/search?q=A003173&sort=&language=english&go=Search
Pour ces neuf valeurs de $d$, l'anneau $A_{\K}$ des entiers du corps de nombres quadratiques $\K=\Q(i\sqrt{\mid d} \mid)$ est alors principal. Plus précisément : \begin{itemize}
\item {\bf Q5} : l'anneau $A_{\K}$ des entiers du corps de nombres quadratiques $\K=\Q(\sqrt{d})$ est euclidien si et seulement si $d \in \{-1,~-2,~-3,~-7,~-11\}$.
\item {\bf Q7} : l'anneau $A_{\K}$ des entiers du corps de nombres quadratiques $\K=\Q(\sqrt{d})$ est principal non euclidien si et seulement si $d \in \{-19,~-43,~-67,~-163\}$.
.\item {\bf Q14(1)} : pour toutes les autres valeurs de $d$ avec $\mid d \mid$ premier, l'anneau $A_{\K}$ des entiers du corps de nombres quadratiques $\K=\Q(\sqrt{d})$ n'est ni principal, ni factoriel mais noethérien et intègre; c'est à dire
pour $d$premier et $d \notin \{-1, -2, -3, -7, -11,-19, ~-43,~ -67, ~-163\} $ et donc
pour $d$ premier avec $d \in \{-5,~-13,~-17,~23,~-29,~-31,~-37,\dots\}$
\end{itemize}
Rappel : le problème de Mathématiques Générales de l'agrégation 1989 démontre quelques uns de ces résultats, quelques fils sur notre forum en font référence :
Souvenirs !
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,426524,426524#msg-426524