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QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Ancien titre nos excuses

Bonjour à toutes et à tous;

De "nombreux" lecteurs nous ont contacté suite à l'absence de Question Du Vendredi, vendredi dernier. Veuillez nous excuser. :). Vendredi prochain, nous nous rattraperons sous une forme ou une autre histoire de ne plus laisser "d'orphelins du vendredi". À vendredi, donc. Bon dimanche. Norbert p/o Le Comité Du Vendredi.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
bs
Re: QDV 26 : nos excuses
il y a six années
avatar
Bonjour à toutes et à tous,

La nature ayant horreur du vide, nous vous proposons avec quelque retard la QDV 26 intitulée Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode). Cette QDV fait suite à la QDV 21 : Le Seigneur des Anneaux (1er épisode.)

Nous vous proposons de continuer la visite de notre jardin botanique et zoologique.

Q' 1 : Pour certains auteurs, un anneau se doit d'être unitaire : la multiplication doit posséder un élément neutre. Exhiber trois anneaux unitaires.

Q' 2 : Pour d'autres auteurs, la présence d'un élément neutre pour la multiplication n'est pas exigée. Comment est alors appelée cette structure par les algébristes adeptes de la QD' 1 ? Exhiber trois exemples de tels "anneaux".

Q' 3 : Quelles sont les différences notoires de comportement entre ces deux types d'anneaux ?

[attachment 28875 1.jpg] [attachment 28874 2.jpg]

Ils sont beaux et participent aux QDV ci-dessous


Q' 4 : Exhiber trois anneaux noethériens et artiniens.

Q' 5 : Exhiber trois anneaux non noethériens mais artiniens.

Q' 6 : Exhiber trois anneaux noethériens mais non artiniens.

Q' 7 : Exhiber trois anneaux ni noethériens ni artiniens.

Merci à toutes et à tous.

Bien amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.


Re: QDV 26 : nos excuses
il y a six années
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Aaah, enfin un fil pour moi :D

$Q'_1: \Z,\Z[X], M_n(\R)$

$Q'_4: \Z/4\Z,\R, \C[T]/(T^m), m\geq 1$

$Q'_6: \Z,\Z[X],\Z[X,Y] $

$Q'_7:$ l'anneau des entiers algébriques, $\Z[X_1,X_2,\ldots]$ , l'anneau des fonctions de $\R$ dans $\R$
Re: QDV 26 : nos excuses
il y a six années
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$Q'_2: 2\Z,2\Z[X], M_n(2\Z)$

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
$Q'_2$ : L'espace des fonctions continues à support compact sur $\R$, $C_c(\R)$, muni de la multiplication ponctuelle. Ou bien $L^1(\R)$ muni de la convolution.
bs
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Bonjour,

Q' 1 : Anneaux unitaires: $\Z,\Z[X], M_n(\R)$ thumbs down Greg.

Q' 2 : Anneaux sans élément neutre pour la multiplication :

$~~~~~~~~~~\bullet~~ 2\Z,2\Z[X], M_n(2\Z)$ thumbs down nicolas.

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ L'espace des fonctions continues à support compact sur $\R$, $C_c(\R)$, muni de la multiplication ponctuelle. Ou bien $L^1(\R)$ muni de la convolution thumbs down egoroffski.

Amicalement.
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Pour la présence ou l'absence d'élément-unité dans un anneau, il me semble qu'il ne s'agit pas de différence entre auteurs, mais d'une évolution au cours du temps.
Si l'on se réfère par exemple à Bourbaki comme norme, l'édition de 1964, en fascicules, n'exigeait pas l'élément-unité, alors que l'édition de 1970 en gros volume la prescrit, ainsi que les éditions ultérieures, du moins celles que j'ai pu consulter.
Les structures jouissant des autres propriétés mais ne possédant pas cet élément neutre multiplicatif sont dénommées "pseudo-anneaux" (pseudo-ring).
Je serais curieux de voir un écrit récent définissant un annneau sans élément-unité.
Par contre, un corps n'est pas nécessairement commutatif, contrairement aux pseudo-définitions en usage dans certains secteurs de notre enseignement.
Bonne journée -vivement l'été.
RC
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Exemple de pseudo-anneau, moins "téléphoné" que $2013\Z$ : l'ensemble des parties finies d'un ensemble infini, muni de la différence symétrique comme addition et de l'intersection comme multiplication.
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Ou plus généralement $A^{(I)}$, où $A$ est un anneau unifère et $I$ un ensemble infini. Par exemple l'espace $c_{00}=\R^{(\N)}$ des suites réelles à support fini, analogue discret de $C_c(\R_+)$.. Par ailleurs l'espace $c_0$ des suites réelles delimite nulle est aussi un anneau sans élément unité.
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Pour fabriquer un pseudo-anneau à partir d'un anneau usuel $A$, il suffit souvent de prendre une partie qui soit un sous-groupe additif stable multiplicativement et qui ne contienne pas l'élément-unité, par exemple un idéal bilatère autre que l'anneau lui-même (et que $\{0\}$), comme les $a\Z$. Avec ce pseudo-anneau, on peut ensuite fabriquer des pseudo-anneaux de matrices, de polynômes, de suites, d'applications, mais ça ne me semble pas d'un grand intérêt.
Je dis "souvent" car il peut arriver, dans un anneau non intègre, qu'une telle partie ait un élément-unité spécifique autre que celui de l'anneau, en sorte qu'elle constitue alors un vrai anneau, mais qui n'est pas un sous-anneau de l'anneau initial. Par exemple, la partie $\{0,3\}$ de $\Z/6\Z$.
Si la terminologie a évolué pour réserver le terme d'"anneau" à une structure possédant un élément-unité, ce n'est probablement pas sans raison ...
Bonne après-midi.
RC
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
:D La raison qui fait que personne (peut-être) n'a répondu à Q'5 c'est que tous les anneaux artiniens sont noethériens (dès lors qu'ils sont commutatif et unitaires). Dans le non commutatif, Greg a déjà signalé plein d'exemples dans le passé.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Pour rebondir sur RC (enfin, sur son post, je suis non violent :D), si $A$ est un anneau unitaire, et si $e$ est un idempotent de $A$ (i.e. vérifie $e^2=e$), alors $eAe$ est un anneau unitaire d'élément neutre $e$, qui n'est pas un sous-anneau de $A$ dès que $e\neq 1$.
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Il me semble qu'il y a une différence "douloureuse" entre les anneaux ayant un élément unité et ceux qui n'en ont pas (même en restant dans les commutatifs):

1) Si $A$ est un anneau commutatif unitaire, $J$ un idéal de $A$ et $J\neq A$, alors il existe un "idéal maximal propre"* de $A$ qui contient $J$ comme sous-ensemble.
* $M\neq A$ et $\forall X$ si $X$ est un idéal de $A$ et $M\subseteq X$ alors $X\in \{M;A\}$

2) Si on ne suppose pas que $A$ contient un élément unité, il est vraisemblable de trouver des exemples mettant en défaut cette propriété qui me semble utilisée vraiment souvent par les algébristes (ne serait-ce que pour aller plus vite, même si après ils en éliminent l'utilisation quand ils particularisent à des anneaux concrets).

Question subsidiaire: trouver un anneau non unitaire n'ayant pas "la propriété de l'idéal maximal"

(Question Q'3 concernée / Axiome du choix supposé)
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Bonjour

Pour continuer à rebondir... Si $A$ est un anneau avec ou sans unité, en définissant sur le groupe additif $\Z\times A$ la multiplication définie par $(m,a)(m',a')=(mm', ma'+m'a+aa')$ on obtient un anneau unitaire (unité $(1,0)$) et $A$ est isomorphe à $\{0\}\times A$.
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Un exemple de structure avec distributivité, commutativité, associativité où même le sens "+" ne donne pas un groupe (et est difficile à étendre à un groupe) est celle des algèbres de Boole $(B,+,\times)$ où $+$ veut dire "ou" et $\times $ veut dire "multiplier " "et"
ev
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Citation
christophe c
...et $ \times $ veut dire "multiplier"

Fancy that !

Citation
GreginMod
je suis non violent

Raison de plus pour se méfier des gnons volants.

amicalement,

e.v.
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Ah oui merci ev, je corrige

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
bs
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Bonjour amis des Anneaux,

Restons aujourd'hui sur Q' 1 et Q' 2.

Merci Raymond pour les précisions apportées sur l'évolution de la définition dun anneau par Bourbaki et l'appellation pseudo-anneau thumbs down

"Je serais curieux de voir un écrit récent définissant un annneau sans élément-unité. "

1) Gourdon Algèbre - Les Maths en tête - 1994 - page 28 :
" ...Si la loi $.$ admet un élément neutre, on parle d'anneau unitaire."

2) Combes - Algèbre et Géométrie - 2003 - page 189 :
"...Si le produit admet un élément neutre (noté géralement 1), on dit que $A$ est un anneau avec unité ou encore $A$ est unifère."

D'accord, ces ouvrages ne sont pas vraiment récents...

Compilation ou "Best of" d'exemples de Q' 2 : Anneaux sans élément neutre pour la multiplication thumbs down

$~~~~~~~~~~\bullet~~ 2\Z,2\Z[X], M_n(2\Z)$ [nicolas]

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ L'espace des fonctions continues à support compact sur $\R$, $C_c(\R)$, muni de la multiplication ponctuelle. Ou bien $L^1(\R)$ muni de la convolution [egoroffski]

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ L'ensemble des parties finies d'un ensemble infini : $\big( P(E), \Delta, \cap \big)$ [Raymond]

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ Ou plus généralement $A^{(I)}$, où $A$ est un anneau unifère et $I$ un ensemble infini. Par exemple l'espace $c_{00}=\R^{(\N)}$ des suites réelles à support fini, analogue discret de $C_c(\R_+)$.. Par ailleurs l'espace $c_0$ des suites réelles de limite nulle est aussi un anneau sans élément unité. [egoroffski]

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ Pour fabriquer un pseudo-anneau à partir d'un anneau usuel $A$, il suffit souvent de prendre une partie qui soit un sous-groupe additif stable multiplicativement et qui ne contienne pas l'élément-unité, par exemple un idéal bilatère autre que l'anneau lui-même (et que $\{0\}$), comme les $a\Z$. [Raymond] [www.les-mathematiques.net]

Enfin, une recette de Magnolia pour construire un anneau unitaire à partir d'un anneau sans unité :

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ Si $A$ est un anneau avec ou sans unité, en définissant sur le groupe additif $\Z\times A$ la multiplication définie par $(m,a)(m',a')=(mm', ma'+m'a+aa')$ on obtient un anneau unitaire (unité $(1,0)$) et $A$ est isomorphe à $\{0\}\times A$.

Merci à toutes et à tous.

Amicalement.
bs
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Bonjour,


Q' 3 : Quelles sont les différences notoires de comportement entre les anneaux possédant un élément unité et les anneaux sans élément unité ?

thumbs down Christophe.

Référence Wikiki : "Les théories des anneaux unitaires et des pseudo-anneaux sont à bien des égards voisines, avec nombre d'énoncés communs. Elles divergent pourtant significativement en quelques points (par exemple les propriétés des idéaux maximaux)."

Lire : Idéaux maximaux dans les pseudo-anneaux.

Amicalement.
bs
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Bonjour,


Q' 4 : Anneaux noethériens et artiniens.

$~~~~~~~~~~\bullet~~\Z/4\Z,\R, \C[T]/(T^m), m\geq 1.$ thumbs down Greg

$~~~~~~~~~~\bullet~~k[X]/(X^n)$, $k[X_1, \ldots, X_n]/(X_1, \ldots, X_n)$, plus généralement le quotient d'un anneau de polynômes par n'importe quel idéal $I$ tel que ce quotient soit un ev de dimension finie sur $k$... Bébé thumbs down il y a six ans :[www.les-mathematiques.net]

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ Théorème : tout anneau (commutatif et unitaire) artinien est noetherien.
La preuve figure dans l'excellent Commutative ring theory de H.Matsumura. [www.les-mathematiques.net]

Q' 5: Anneaux non noethériens mais artiniens.

Rappel de Christophe : "tous les anneaux artiniens sont noethériens (dès lors qu'ils sont commutatif et unitaires). Dans le non commutatif, Greg a déjà signalé plein d'exemples dans le passé". Alors Greg ??

Q' 6 : Anneaux noethériens mais non artiniens.

$~~~~~~~~~~\bullet~~\Z,\Z[X],\Z[X,Y] $ thumbs down Greg

$~~~~~~~~~~\bullet~~k[X]$, $k[X_1, \ldots, X_n]$, $k\{X\}$, $k\{X_1, \ldots, X_n\}$, $k[[X_1, \ldots, X_n]]$ BéBé thumbs down [www.les-mathematiques.net]

Q' 7 : Anneaux ni noethériens ni artiniens.

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ Tout anneau commutatif non noethérien.

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ L'anneau des entiers algébriques, $\Z[X_1,X_2,\ldots]$ , l'anneau des fonctions de $\R$ dans $\R$ thumbs down Greg

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ L'anneau $(\mathcal {A},+,\ast)$ des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et du produit de convolution de Dirichlet
[borde il y a six ans thumbs down : [www.les-mathematiques.net] ]

$~~~~~~~~~~\bullet~~$ L'anneau des fonctions holomorphes sur $\C$ tout entier. ryo thumbs down [www.les-mathematiques.net]

Si coquilles il y a, merci de le signaler...

Amicalement.
Re: Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
@bs: je ne connais le livre dont tu parles, mais, en général les preuves "livresques" de ces livres utilisent souvent du background pour ce théorème. En fait, utilisent des notations un peu difficiles à lire car ont recours à des histoires d'espaces vectoriels quotient de dim finie, puis doivent rédiger des trucs par récurrence sur ces dimensions, d'où profusion d'indices.

Je copie-colle une vieille preuve que 'jai déjà postée sur les forum, en compilant deux posts pour que tout soit présent dans le même: Je sépare en 3 morceaux, le plan, les détails et finalement le dernier morceau donne plan+détail en un seul morceau.

Rappel: il s'agit de la preuve du théorème tout anneau commutatif, unitaire artinien est noethérien.

Rappel: noethérien veut dire "pas de suite strictement croissante pour l'inclusion d'idéaux"
Rappel: artinien veut dire "pas de suite strictement décroissante pour l'inclusion d'idéaux"



Morceau1, plan

1) On prend, parmi les éventuels contre-exemples d'anneaux artiniens non noethériens un A tel que le nombre d'idéaux maximaux à mettre en produit pour obtenir (0) est minimum possible.

2) On se retrouve donc avec un anneau A, un idéal T produit d'idéaux maximaux (mais peu importe) et un idéal M maximal tel que A/T est artinien et noethérien; MT=(0)

3) On prend un idéal K minimal pour l'inclusion parmi les idéaux non finiment engendrés et on peut le supposer inclus dans M

4) Il existe un idéal J finiment engendré tel que J+T=K+T (je trouve ce psg pas très détaillé ci-dessus d'ailleurs soit dit en passant). On prend un élément $b\in K-J$ (il en existe sinon absurde), et un idéal $I$ maximal parmi les idéaux qui contiennent J, sont inclus dans K et ne contiennent pas b.

5) Quelques calculs (qui m'ont surement couté très très cher à l'époque) montrent que K=I+(b) ce qui est une contradiction

5.1) On prend $z\in K-(I+(b))$, on a donc b qui peut s'écrire sous la forme $i+dz$ et il y a deux cas à étudier selon que $d\in M$ ou que $d\notin M$


Morceau2, détails ajoutés séparément:

(3) le "wlog on peut supposer que K est inclus dans M: en fait il y a un produit fini $(0)=M_1...M_n$ d'idéaux maximaux qui bien sûr été pris tel que $n$ est minimum possible. K est inclus dans un idéal maximal $M\supseteq M_1...M_n$ et un lemme bien connu affirme qu'il y a un $i$ par exemple $3$ tel que $M\supseteq M_3$ et donc $M=M_3$. On peut alors choisir $T:=M_1M_2M_4...M_n$.

(4) C'est un exercice classique sur les quotient: le correspondant K' canonique de $K$ dans $A/T$ est finiment engendré, il existe donc des éléments $e_1,..,e_n$ tous choisissables bien sûr dans $K$ tels que leurs classes engendrent K' dans $A/T$. On peut alors prendre $J:=(e_1,..,e_n)$ et on aura bien $J+T=K+T$

(5) Le post initial est un peu trop calculatoire. Soit donc $z\in K- (I+(b))$. Soient $j+t=z$ un écriture de $z$ avec $j\in J$ et $t\in T$. Si on avait $t\in (I+(b))$ alors comme $j$ aussi est dedans, on aurait $z\in I+(b)$ absurde. Donc en fait $t\in K-(I+(b))$. L'idéal $I+(t)$ contient donc $b$ comme élément et il y a une écriture $b=i+dt$ avec $i\in I$. On ne peut avoir $d\in M$ car alors $b=i+0=i\in I$ donc il y a un $m\in M$ et un $x$ tels que $m+xd=1$.
On obtient alors $t=1t=(m+xd)t=mt+xdt=0+xdt$ ie $t=xdt$. Donc en fait $xb=xi+xdt = xi+t$ ce qui fait que $t=xb-xi\in I+(b)$ et c'est une contradiction.

Morceau3: le tout regroupé:

1) On prend, parmi les éventuels contre-exemples d'anneaux artiniens non noethériens un A tel que le nombre d'idéaux maximaux à mettre en produit pour obtenir (0) est minimum possible.

2) On se retrouve donc avec un anneau A, un idéal T produit d'idéaux maximaux (mais peu importe) et un idéal M maximal tel que A/T est artinien et noethérien; MT=(0)

3) On prend un idéal K minimal pour l'inclusion parmi les idéaux non finiment engendrés et on peut le supposer inclus dans M
Précisions: le "wlog on peut supposer que K est inclus dans M: en fait il y a un produit fini $(0)=M_1...M_n$ d'idéaux maximaux qui bien sûr été pris tel que $n$ est minimum possible. K est inclus dans un idéal maximal $M\supseteq M_1...M_n$ et un lemme bien connu affirme qu'il y a un $i$ par exemple $3$ tel que $M\supseteq M_3$ et donc $M=M_3$. On peut alors choisir $T:=M_1M_2M_4...M_n$.


4) Il existe un idéal J finiment engendré tel que J+T=K+T (je trouve ce psg pas très détaillé ci-dessus d'ailleurs soit dit en passant). On prend un élément $b\in K-J$ (il en existe sinon absurde), et un idéal $I$ maximal parmi les idéaux qui contiennent J, sont inclus dans K et ne contiennent pas b.
Précisions: C'est un exercice classique sur les quotient: le correspondant K' canonique de $K$ dans $A/T$ est finiment engendré, il existe donc des éléments $e_1,..,e_n$ tous choisissables bien sûr dans $K$ tels que leurs classes engendrent K' dans $A/T$. On peut alors prendre $J:=(e_1,..,e_n)$ et on aura bien $J+T=K+T$

5) Quelques calculs (qui m'ont surement couté très très cher à l'époque) montrent que K=I+(b) ce qui est une contradiction

5.1) On prend $z\in K-(I+(b))$, on a donc b qui peut s'écrire sous la forme $i+dz$ et il y a deux cas à étudier selon que $d\in M$ ou que $d\notin M$
Précisions: soit $z\in K- (I+(b))$. Soient $j+t=z$ un écriture de $z$ avec $j\in J$ et $t\in T$. Si on avait $t\in (I+(b))$ alors comme $j$ aussi est dedans, on aurait $z\in I+(b)$ absurde. Donc en fait $t\in K-(I+(b))$. L'idéal $I+(t)$ contient donc $b$ comme élément et il y a une écriture $b=i+dt$ avec $i\in I$. On ne peut avoir $d\in M$ car alors $b=i+0=i\in I$ donc il y a un $m\in M$ et un $x$ tels que $m+xd=1$.
On obtient alors $t=1t=(m+xd)t=mt+xdt=0+xdt$ ie $t=xdt$. Donc en fait $xb=xi+xdt = xi+t$ ce qui fait que $t=xb-xi\in I+(b)$ et c'est une contradiction.
bs
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Bonjour,

Merci Christophe pour les trois morceaux de ta démonstration.

Ci-dessous, la preuve du théorème d'Akizuki qui figure dans Commutative Ring Theory de H.Matsumura, merci Fadalbala [www.les-mathematiques.net]

Théorème d'Akizuki : tout anneau artinien (commutatif et unitaire) est noethérien.

[attachment 28961 Akizuki.JPG]


Amicalement.


Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Merci bs. Comme je disais, il y a un peu de background (jonglage avec des longueurs, espaces vectoriels formels..)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
bs
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Bonjour,

Q' 8 :
Exhiber trois anneaux de

[attachment 28963 Y5050.jpg]


Amicalement.


Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
$Q'_8: \Z/2\Z$, l'anneau des fonctions d'un ensemble $E$ dans $\Z/2\Z$, $(\mathcal{P}(E), \cap,\Delta)$

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par GreginGre.
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Anneau de Boole, c'est ça?

Une algèbre de Boole donne un anneau de Boole canoniquement via $a+b := (a\wedge b) \vee (non(a) \wedge non(b))$ et $ab:=a\vee b$. Parmi elles, certaines ont des atomes (exemple de Greg), d'autres non, certaines sont complètes, d'autres non.

L'exemple de Greg (bon, j'ai pris la version duale, je l'aime mieux où le multiplié est un "ou" :D ) est très particulier : produit de copies $\Z / 2\Z$.

Mais il y en a plein d'autres et très utiles!!! Surtout quand elles sont complètes. C'est toute l'aventure du forcing: et donc des théorèmes d'indécidabilité initiés par P.Cohen.

Je résume le principe (pour la énième fois***):

1) Soit $B$ une algèbre de Boole complète. On associe à chaque énoncé une valeur de vérité via la définition par induction:

1.1) $val(non(A)) := non_B(val(A))$
1.2) $val(\forall xR(x)) := $ borne inférieure dans $B$ des $val(R(a))$
1.3) On initialise cette définition en associant correctement des valeurs "raisonnables" aux énoncés atomiques (ie de la forme $u\in v$).

2) En choissisant bien $B$, on obtient (par exemple) que $val($ hypothèse du continu$)=0_B$

3) Or pour tout théorème $T$ de $ZFC: val(T) = 1_B$.

*** pour les visiteurs qui ne passent pas forcément leur vie surle forum

Un anneau de Boole fait aussi bien l'affaire, mais est un peu moins "naturel" pour parler de complétude. En gros, la borne inférieure d'une famille est un $pgcd$ des membres de la famille. C'est le pendant de la conjonction

L'algèbre de boole proposée par Greg ne sert à rien dans le cadre du forcing :D elle est trop simple. Dans le cadre du forcing, il revient au même de prendre une algèbre de Boole que de prendre sa complétée.

Pour avoir le cas le plus général d'algèbres de Boole complètes, il suffit de prendre l'algèbre de Boole des "bons ouverts" d'un espace topologique, muni des opérations qu'on devine.

bon ouvert veut dire intérieur d'un fermé
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Précision: j'aime bien quand le multiplié est un "ou" et que le "vrai" est représenté par $0$, car comme ça un modèle s'identifie à un idéal premier (ou maximal dans le cas général non booléens) et les "théorèmes de science" forment un idéal. Et dans un anneau de Boole, c'est le radical de Jacobson :D

De plus, l'idée de prendre "vrai:=0" permet de considérer, qu'étant donné l'énoncé $a\in A$ ($A$ anneau quelconque), sa valeur représente son cout de garantie (ainsi les théorèmes ne coutent rien). Et le paradis, ie, "tout" est représenté par le "1"
bs
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Bonjour,

Q' 8 : Anneaux de Boole :

thumbs down Greg : $ \Z/2\Z$, l'anneau des fonctions d'un ensemble $E$ dans $\Z/2\Z$, $(\mathcal{P}(E), \cap,\Delta)$

thumbs down Christophe pour avoir reconnu George Boole et pour les rappels sur le forcing.

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.
bs
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Bonjour,

Q' 9 :

Exhiber trois anneaux de

[attachment 29009 Z.jpg]


Amicalement.


Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
A l'époque d'un zig fringué comme ça, y avait pas d'anneaux.
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
Raymond : :)-D
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
C'est Bézout
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Pour le costume, j'avais pensé à Euler ou D'Alembert. Mais puisque nous en sommes à Bézout, il faut dire que nous l'avions appelé Bezout depuis toujours. Voir document ci-joint, qui date de 1822, soit à peu près 40 ans après sa mort. Qui pourrait nous narrer les aventures de cet accent aigu ?
Bonne soirée.
RC
[attachment 29019 Bezout-arith1.pdf]
[attachment 29020 Bezout-arith2.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Bezout-arith 1.pdf (311.4 KB)
ouvrir | télécharger - Bezout-arith 2.pdf (355.4 KB)
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
avatar
Exact, Raymond,
Étudiant, j'utilisais l'identité de Bezout [bøzu] ; ce n'est que plus tard que j'ai entendu parler du théorème de Bachet-Bézout.
Chronomath présente un fac simile du portrait de notre homme, où l'on observe la présence de cet accent aigu... que Serge Mehl ignore dans son article.

Aspirée de Wikipédia, l'image de la pierre tombale d'ETIENNE BEZOUT, géometre, sçavant, philosophe paisible, ne nous permet pas d'exprimer un avis clair, si ce n'est que l'othographe est évolutive...


Une recherche avancée montrera que le débat a déjà eu lieu au moins une fois sur notre forum. Amicalement. jacquot.



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Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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@jacquot
Le fil auquel tu renvoies ne porte pas sur la question de l'accent aigu dans le patronyme de Bézout mais plutôt sur la dénomination de l'identité de Bézout ou Bachet, sujet intéressant aussi, mais qui n'a pas été traité correctement à mon gré.

Pour en revenir à l'accent aigu, une replongée dans ma bibliothèque m'a permis de retrouver le cours de Bézout de 1775, avec accent.

Il semblerait donc que l'accent était bien présent dans le nom de Bézout, mais que dans les évocations ultérieures du savant et de son oeuvre, on l'ait omis pendant deux cents ans. Nous sommes revenus il y a peu à l'authenticité originelle. Depuis quand au juste ? Comment ceci se fait-il ? Qu'en pensent les historiens des math qui nous visitent de temps en temps ?

Bonne journée.
RC
[attachment 29028 Bezout-cours.pdf]
Pièces jointes:
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bs
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Bonjour,

thumbs down Jacquot pour Bezout-Bézout.

Q'' 9 : Suite à la pertinente remarque de Raymond plébiscitée par egoroffski : "A l'époque d'un zig fringué comme ça, y avait pas d'anneaux", à qui doit-on cette appellation controlée anachronique "Anneau de Bezout".

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Même anachronique, l'appellation d'anneau de Bézout ou anneau bézoutien me semble légitime, mais j'ignore qui a l'utilisée en premier. Est-il certain même qu'on peut le savoir ?
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Retour sur le vieux fil "égalité de Bézout", évoqué par jacquot.

Depuis plus d'un siècle, on appelait "théorème de Bezout" (sans accent à l'époque) le théorème selon lequel, si le PGCD de $a$ et $b$ est $d$, alors il existe des entiers $u$ et $v$ tels que : $au+bv=d$, la même appellation étant décernée au résultat analogue concernant les polynômes. Cette égalité était dénommée "égalité de Bezout" ou "identité de Bezout" .

Il y a cinquante ans, l'étudiant en mathématiques moyen ne connaissait pas le nom de Bachet. C'est Jean Itard (1902-1979) qui dans son excellent "Que Sais-Je ?" Arithmétique et Théorie des nombres (1963) a introduit le distinguo entre le "théorème de Bachet" qui concerne les nombres entiers et le "théorème de Bezout" qui concerne les polynômes.

Jean Itard nous a restitué la haute figure d'érudit de Claude-Gaspar Bachet, sieur de Méziriac, brillant représentant du génie français au XVIIème siècle. En 1959, la Librairie Albert Blanchard a réédité "Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres", avec une préface de ce même Jean Itard. Aujourd'hui, le nom de Bachet est connu des mathématiciens, et l'on a donné son nom à une équation diophantienne. J'ai déjà parlé de tout cela sur ce forum.

Bonne soirée.
RC
bs
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Bonjour,

Merci Raymond pour toutes ces précisions et références historiques.

Dans ses Eléments de Mathématiques - Algèbre commutative - chapitre 7 §1 - Exercice 20 p 279 - Springer 2006, mais réimpression inchangée de l'édition originale de 1975, Bourbaki écrit :

"On dit qu'un anneau intègre A est bezoutien (ou anneau de Bezout), si tout idéal de type fini de A est principal. Tout anneau noethérien et bezoutien est principal. Tout anneau de valuation est bezoutien (et par suite, un anneau bezoutien n'est pas nécessairemenr noetherien ni complètement intégralement clos).

Evidemment, cela ne signifie pas que Bourbaki ait été le premier à utiliser cette appellation...

Amicalement.
Re: QDV26. Le Seigneur des Anneaux (2ème épisode)
il y a six années
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Bonjour,
Ceux qui veulent jouer les prolongations avec les anneaux pourront sauter vers "Récréation anneaux"



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