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Nomogramme pour $x^3+px+q=0$

Envoyé par soland 
Nomogramme pour $x^3+px+q=0$
il y a six années
avatar
[attachment 30774 nomogramme.png]
[attachment 30686 Image2.png]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.


Re: nomogramme pour x^3+px+q=0
il y a six années
avatar
Bonsoir soland,

Je me suis empressé d'imprimer ce nomogramme. Il traînera sur mon bureau et me permettra de résoudre les équations du troisième degré quand elles se présenteront si je ne l'ai pas égaré d'ici-là !

Si la droite support de p est $x=0$, et celle de q est $x=1$, le point mobile $G(t): (\dfrac1{t+1} ;\dfrac{-t^3}{t+1})$ parcourt la trajectoire d'équation $y=\dfrac {(x-1)^3}{x^2}$.
Les graduations sur cette courbe correspondent aux instants $t$

Selon le dictionnaire, un nomogramme est un outil graphique de calcul constitué de courbes graduées entre lesquelles on place une règle.

Ainsi, une parabole peut servir de nomogramme pour la multiplication ou pour la division, mais il est vrai qu'à cet effet, une règle à calcul est plus facile à glisser dans sa poche..
[attachment 30769 parabole.png]
Voir un exercice d'application pour classes de Troisième et Secondes (Mathématiques sans frontières)

Je réfléchis à un nomogramme pour l'équation du second degré $x^2-Sx+P=0$
Amicalement. jacquot
Re: nomogramme pour x^3+px+q=0
il y a six années
avatar
Cher Jacquot,
Si $a$ est solution de $x^2+px+q=0$, alors la droite passant par $(0,p)$ et $(1,q)$ passe aussi par
$$
\left( \frac{1}{1+a}, \frac{-a^2}{1+a} \right)
$$
Je te laisse les calculs.
Toute équation du 4e degré se ramène à $x^4+px^2+qx+r=0$, puis à $z^4±z^2+az+b=0$ par la substitution $x = \sqrt{p}\,z$. On peut construire un nomogramme pour ces deux dernières équations sur le même principe. Je te laisse voir.
Amicalement.

PS. source: perso.
Re: nomogramme pour x^3+px+q=0
il y a six années
avatar
Bojour soland,

J'étais en train de dessiner le nomogramme pour le scond degré quand tu as posté..
J'avais chois une équation de la forme x²-Sx +P = 0
S et P désignant alors la somme et le produit des solutions.Voici ce que ça donne:
[attachment 30770 x-Sx+P.png]

(Les pointillés de la courbe n'ont pas valeur de graduation)
Remarques:
La solution 1 est envoyée à l'infini.
Le calibrage de mon nomogramme n'est pas bien bon, parce qu'il ne permettra pas une lecture précise. Mais cet exercice m'aura permis de bien comprendre la construction de ton nomogramme pour le troisième degré..

Et puis son intérêt est moindre, parce que la résiolution de algébrique des équations du second degré n'est pas si difficile.

Pour l'équation $x^2-Sx+P=0$, on a aussi une construction avec équerre et compas inspirée des orthogones de Lill qui me semble plus précise.
[attachment 30772 x-Sx+P=0.png]
On peut lire les solutions aux intersections du cercle avec la droite verticale
Re: nomogramme pour x^3+px+q=0
il y a six années
avatar
Joli nomogramme pour $x^2-Sx+P=0$.
Dans un autre fil, j'avais mentionné le cercle de Carlyle centré en $(S/2,(P+1)/2)$ et passant par $(0, 1)$ qui coupe l'axe des $x$ aux solutions de cette équation. Il ressemble beaucoup au tien.
Re: nomogramme pour x^3+px+q=0
il y a six années
avatar
D'accord, je ne connaissais pas cette appellation "cercle de Carlyle". C'est effectivement le même principe que les "orthogones de Lill" .
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