Deux dés indiscernables
J'ai un peu de mal à expliquer pourquoi lorsque je lance deux dés, je n'ai pas deux (1, 1) mais bien deux (2, 3) (3, 2). Y aurait-il une astuce pédagogique ?
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Réponses
En fait tes dés sont physiquement distincts, il serait maladroit de l'oublier.
Lire les pages 1 à 4 du cours ici:
http://iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/ps1/
Il faut peut-être revenir à la base de l'expérience pour différencier les dés : l'expérience aléatoire est-elle la même dans les cas suivants :
- on lance deux dés de couleurs différentes ?
- on lance les dés dans deux pièces différentes ?
- ce sont deux élèves différents qui lancent les dés ?
- un des deux dés est simulé par ordinateur, l'autre est lancé physiquement ?
- on lance les dés non pas en même temps, mais l'un après l'autre? (dans la foulée, après une minute, une heure, une semaine...)
1) Les maths. On a $(1,2) \neq (2,1)$ et $(1,1)=(1,1)$. Là il faut que ce soit clair : pas de psychologie, pas d'indiscernabilité ou autre fadaise.
2) La modélisation. À quoi correspond $(1,2)$ dans la réalité ? À quoi correspond $(2,1)$ ? À quoi correspond $(1,1)$ ? Que les dés soient indiscernables ou non (cette notion n'a aucune pertinence) on peut décider d'appeler l'un des dés le dé numéro $1$ et l'autre le dé numéro $2$. À partir de là on peut répondre aux questions ci-dessus. Une fois que cet aspect des choses est claire l'hypothèse d'équiprobabilité fait en général l'unanimité.
En cas de résistance psychologique à l'exercice de pensée qui consiste à distinguer les deux dés en les numérotant, on peut effectivement user des artifices classiques : les probabilités ou espérances étudiées ne changent pas si l'on colorie un dé en rouge et l'autre en bleu / si on lance un dé puis l'autre / si une personne lance un dé et une autre lance l'autre dé / ...
Mais je pense qu'il est important :
- de distinguer math et modélisation.
- de casser cette barrière psychologique sur l'indiscernabilité et compagnie.
Dans la même veine il est important aussi je pense de résoudre un exercice (par exemple avec des tirages de cartes) par deux modélisations distinctes : avec des couples et avec des parties. Cela permet de régler les tourments psychologiques autour de "tenir compte de l'ordre ou ne pas tenir compte de l'ordre".
En bref dès qu'on distingue math et modélisation normalement tout roule :-).
- vous dites qu'on ne peut pas les discerner, et vous le faites, alors qu'on ne peut pas en vrai ! (on imagine les dés de mêmes couleur, dimension, tout ça tout ça, neufs et tout et tout)
- et quand ils sont de couleurs différentes $(4V,4R)\neq(4R,4V)$ vous ne les comptez qu'une fois !
C'est chelou madame|monsieur !
(je n'ai pas pu accéder à votre document sieur Aléa)
S
Quand tu dis que le résultat est (3,5), où est le vert ? Tiens donc, tu dis "je note d'abord le vert, puis le rouge, donc (3,5) c'est (3V,5R)" qui est bien différent de (3R,5V). Mézalor ! C'est absurde ce (4R,4V) puisque tu ne respectes pas ta propre règle !!
Cordialement.
2 = 1R+1V=1V+1R
3 = 1R+2V=2V+1R=2R+1V=1V+2R
Après, deux verres de rouge on comprend et on généralise plus facilement.
S
S
je ne suis pas sûr qu'on se comprenne, je me mettais dans la petite tête d'un élève de troisième-seconde qui aurait un regard critique fort aiguisé, au sens où il écoute bien les propos mais ne les comprend pas pour cause de contradiction.
S
Once upon a time, il y a une ou plusieurs éternités, on présentait les produits cartésiens au collège - le collège existait encore - et on abordait le concept de diagonale d'un carré cartésien.
Que de chemin parcouru depuis.
S
il faut choisir la règle de dénombrement. Moi ça ne me gêne pas de distinguer (4R,4V) de (4V,4R) si on distingue (3R,5V), (3V,5R), (5R,3V) et (5V,3R).
mais comme personne n'avait revendiqué ça, je te pensait dans la même ligne que les autres.
Et même un élève critique est capable de comprendre que si on change de règle en cours de route, il y a un problème (par exemple si la question sur 15 qu'il a faite seule pour avoir la moyenne, tu décides de la noter sur 5, et l'autre sur 15).
Cordialement.
Il me semble qu'en général on utilise ce mot pour les boules dans une urne car il est sous-entendu qu'on ne les voit pas lorsque l'on les choisit. Pour les dés, cela m'étonne un peu (mais je conçois que cela reste approprié, c'est du français).
La phrase "les boules sont indiscernables au toucher" permet de dire sans le dire que l'on se place dans un cas d'équiprobabilité. Evidemment ne pas tomber dans le piège de dire "indiscernable" veut dire que "c'est aleatoire" ce qui ne signifierait pas grand chose.
merci de m'indiquer quelle connerie j'ai dite.
Je comprends pas qu'on demande pas d'explication avec l'histoire du puits connexe potentiel, genre.
S
comme souvent, j'ai du mal à décoder tes messages, qui manquent de volonté d'être compris. Dommage !
S
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/thom/data/1970f4
Pour le tirage de $n$ dés, c.-à-d. une suite de nombres $(a_1,\ldots,a_n)$ entre 1 à 6, l'indiscernabilité des dés signifie précisément qu'on s'intéresse aux orbites sous l'action du groupe des permutations de l'ensemble d'indices $\{1,\ldots,n\}$. Pour $n=2$ par exemple, l'orbite de $(1,1)$ a un élément, celle de $(2,3)$ a deux éléments.
Quand on a des boules rouges et vertes dans une urne, l'indiscernabilité signifie qu'on considère les orbites sous l'action du produit du groupe de permutations des boules rouges et du groupe de permutations des boules vertes.
L'indiscernabilité me semble ne pas avoir grand chose à voir avec l'équiprobabilité : l'hypothèse d'équiprobabilité est en fait au niveau des éléments de l'ensemble sur lequel le groupe de symétries agit, et n'est pas liée à l'action de ce groupe. On peut aussi se poser des problèmes sur une paire de dés indiscernables, dont l'un est truqué et pas l'autre.
Permettez-moi d'apporter cette remarque : je ne comprends pas trop la question initiale (qui consiste à vouloir dédoubler un événement de type (1 ; 1)), mais les élèves et les enseignants sont souvent confrontés à cette question des "dés indiscernables" qui amène la question : "doit-on compter (1 ; 2) et (2 ; 1) comme deux cas différents, alors qu'on a dit que les dés sont "indiscernables" ?"...
Une réponse possible est la suivante : si on avait (par exemple) deux électrons autour d'un noyau atomique et que ceux-ci puissent occuper 6 états d'énergie (disons de 1 à 6) et que l'on s'intéresse à l'énergie totale, il faudrait compter un seul événement possible pour le cas (1 ; 2), car les électrons obéissent à une loi qui dit qu'ils sont indiscernables dans ce cas-là ... (c'est-à-dire en termes plus pédants qu'ils obéissent à la statistique de Fermi-Dirac).
Il n'est pas interdit de se demander si des dés "indiscernables" doivent ou non être considérés comme obéissant à ce type de loi... mais l'expérience montre que les électrons le font et pas les dés !
On peut donc sans doute conclure avec aléa que les énoncés utilisant ce terme ne sont pas très heureux, mais ils supposent généralement un implicite dans le "contrat didactique" : mêmes s'ils sont dits indiscernables, l'expérience montre que les dés ne sont pas des fermions...
Gilberte
Personnellement, je conseillerais à mes élèves de purement ignorer l'adjectif indiscernable.
On ne peut pas considérer comme un bon contrat didactique l'usage d'un mot dont le sens est variable, comme l'a montré Dom.
Le qualificatif "indiscernable" ne se réfère pas forcément à un problème de probabilités : par exemple quand on demande de compter le nombre de façons de ranger $n$ chaussettes indiscernables dans $k$ tiroirs, ce qu'on demande est de compter le nombre d'orbites dans l'ensemble des applications de l'ensemble $C$ des chaussettes dans l'ensemble $T$ des tiroirs, pour l'action évidente du groupe des permutations de $C$. Aucune probabilité là-dedans. Et on se fout de savoir si les chaussettes sont toutes de la même couleur, ou si certaines sont trouées, ou ...
PS : "indiscernées" serait peut-être plus approprié que "indiscernables"...
Reste que l'idée d'orbite est très intéressante - est-ce que tu aurais d'autres exemples que le groupe des permutations, dans le cadre des probabilités ?
2°) Il est classique de se poser des problèmes (d'abord des problèmes de dénombrement) sur des coloriages du cube, en déclarant indiscernés des coloriages se déduisant l'un de l'autre par une rotation du dit cube.
3°) La fameuse histoire du paradoxe de Bertrand parle de cordes dans le cercle qui sont indiscernées sous l'action du groupe des rotations (la seule information retenue est leur longueur).
2-3) Merci pour les exemples, je vais creuser !
Plutôt que philosopher sur la triste évolution de la langue française, ne pourrais-ton pas revenir au problème de base comme j'avais tenté de le suggérer il y a deux jours.
On tire deux dés, un couple ou une paire ?
Si on parle de couples on admet (il faut bien respecter la morale consensuelle) l'équiprobalité.
Si on parle de paire on est amené à faire une partition de l'univers précédent puisque un couple et son ransposé définissent une même paire. Il n'y a pas « indiscernabilité » mais équivalence.
Pratiquement il me semble très simple de visualiser l'affaire sur un diagramme carré à double entrées hardiment coloré et hachuré.
Comment faites-vous rédiger cela à vos élèves ?
(après j'aurai des questions justement mais cela m'intéresse de voir au prime abord comment vous expliquez cela)
Je me situe au niveau 3ième ou 2nde.
En 3ème je ferais :
L'expérience contient 5 issues équiprobables.
L'événement "tirer une boule bleue" contient 3 issues.
P("tirer une boule bleue") = 3/5
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Cordialement.
La compréhension du mot "équiprobable" est constamment en cours d'acquisition.
Dès qu'un élève propose "deux issues équiprobables", on peut reparler du cours.
"Qu'est-ce que cela veut dire ?"
"A-t-on équiprobabilité ?"
Evidemment on se réfère à l'intuition, ou bon sens pour répondre puisqu'aucun formalisme n'existe (C'est pour ça que ca c'est difficile).
Et il vaut mieux prendre l'exemple avec 1000 boules bleues et 10 noires pour faire sentir le problème.
Le cours a dû commencé par cette notion en proposant des questions simples comme :
"J'ouvre la porte et je trouve, ou non, un billet par terre.
J'ai deux issues à cette expérience. Mais je n'ai pas autant de chances pour l'une que pour l'autre. On dit qu'elles ne sont pas équiprobables."
Etc.
L'approche fréquentiste est d'ailleurs pour moi la meilleure : si on effectue plein de fois l'expérience, on aura moins souvent l'issue A que l'issue B.
(*) pas au sens mathématique, bien sûr
C'est ce que me disait Blaise ici même tout a l'heure à propos de son copain Méré :
j ai une chance sur 6 de tirer un six avec un dé. et si je le lance 4 fois miser sur 6 est avantageux. Comme j ai une chance sur 36 d'avoir un double 6 avec deux dés soit 6 fois moins que le cas précédent, en le lançant 6 fois plus pour compenser donc 24 fois ça sera avantageux.
Il n'était pas si loin compte et en pratique ou la rapidité prime et le nombre d'essais ne sont pas si grand que ça, je me demande si cette stratégie n'est pas gagnante.