Exercice Première S
Bonjour à tous,
j'ai trouvé dans un manuel de Première S récent l'exercice " Résoudre l'équation $(\cos x)^n-(\sin x)^n=1$ où $n$ est un entier naturel.
J'ai eu beau me creuser la tête, je n'arrive pas à résoudre l'exercice uniquement avec des outils de Première S. Le cas
$n$ pair est faisable mais le cas $n$ impair ne me semble pas aussi simple.
Avez-vous quelques idées (tout en restant dans le programme de Première S) ?
Merci
j'ai trouvé dans un manuel de Première S récent l'exercice " Résoudre l'équation $(\cos x)^n-(\sin x)^n=1$ où $n$ est un entier naturel.
J'ai eu beau me creuser la tête, je n'arrive pas à résoudre l'exercice uniquement avec des outils de Première S. Le cas
$n$ pair est faisable mais le cas $n$ impair ne me semble pas aussi simple.
Avez-vous quelques idées (tout en restant dans le programme de Première S) ?
Merci
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Réponses
Pour n impair, je vois une démarche possible, mais pas en application immédiate du cours:
a) Remarquer qu'il ne saurait y avoir de solution hors de $[-\frac \pi 2 ; 0]$ mod $2\pi$
b) Résoudre $\cos x-\sin x=1$ sur cet intervalle
c) Montrer que $\forall x\in ]-\frac \pi 2 ; 0[ \
d) Conclure.
a) Ok... c'est un peu le même raisonnement que le cas $n$ pair
b) Ok en faisant apparaître éventuellement un $\frac{1}{\sqrt{2}}$
c) Niveau première S... je ne vois pas comment faire ?
Mon c) est foireux.
Il y a mieux :
Montrer que $\forall n>2 ; \forall x\in ]-\frac \pi 2;0[ \
Merci pour ton aide.
$\cos(x)^{2n}-\sin(x)^{2n}=1$ (1)
est équivalent à:
$\cos(x)^{2n}=1+\sin(x)^{2n}$ (2)
Pour tout $x$ réel, $1+\sin(x)^{2n}\geq 1$
$\cos(x)^{2n}=1$ si et seulement si $x\equiv 0 \mod{\pi}$
Or, pour tout $k$ entier, $\sin(k\pi)=0$ donc pour tout $k$ entier, $k\pi$ est solution de l'équation (2) (et donc (1)).
Par ailleurs, si $x$ n'est pas de la forme $x=k\pi$ alors $\cos(x)^{2n}<1$ et l'équation (2) (et donc (1)) n'a pas de solution.
Dans le cas $n$ entier naturel non nul quelconque,
$\cos(x)^{n}=1+\sin(x)^{n}$, me semble-t-il, implique que $\cos(x)=0$ ou bien $\cos(x)=1$ ou bien $\cos(x)=-1$
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
Mais pour le cas $n$ impair, il faudrait que tu détailles davantage pourquoi on aurait $\cos x=0$ ou $\cos x=1$ ($\cos x=-1$ ne me semble pas raisonnable...).
pour $n$ pair, la démonstration ci-dessus convient pour des premières.
pour $n$ impair, je propose d'écrire $\cos^{2k+1}(x) - \sin^{2k+1}(x) = 1$ sous la forme : $\cos^{2k+1}(x) -1/2 = \sin^{2k+1}(x) + 1/2$, puis de discuter en fonction des signes de sinus et cosinus sur les intervalles $[0, \pi/2], [\pi/2, \pi], [\pi, 3\pi/2], [3\pi/2, 2\pi]$ et à chaque cas on trouve facilement que l'équation n'a pas de solution ou des solutions lorsque des égalités sont respectées, il faut alors résoudre un système de deux équations à une inconnue...
Je pensais que chris93 en avait terminé avec son idée d'utiliser des valeurs absolues:
$\forall x\in \mathbb R \ : \ 0\leqslant |\cos x| \leqslant 1$ et $0\leqslant |\sin x| \leqslant 1$
par conséquent $\forall n>2\ ;\ |\cos^nx|\leqslant \cos^2x$ et $|\sin^nx|\leqslant \sin^2x$
alors, a fortiori : $\cos^nx\leqslant \cos^2x$ et $-\sin^nx\leqslant \sin^2x$
donc $\cos^nx-sin^nx\leqslant \cos^2x+\sin^2x=1$
Toutes ces inégalités sont strictes dès que $x\not=k \frac\pi 2$.
Pour $n>2$ il n'y a donc pas de solution en dehors de ces valeurs.
Restent à étudier les cas particuliers $x=k\frac \pi 2$ (la parité de $n$ interviendra ici)
et les cas $n=2$, avec le système :$\cos^2x-\sin^2x=1=\cos^2x+\sin^2x$
et $n=1$, peut-être le plus difficile ; le dessin suivant pourra être utile:
Si je n'ai pas fait d'erreur,
- quand $n$ est pair, $x$ est congru à $0$ modulo $\pi$ ;
- quand $n$ est impair, $x$ est congru à $0$ ou à $-\frac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$
Quelles sont les références de ton exercice (manuel, chapitre, n° d'exercices) ?
$$\cos^n(x)-\sin^n(x)=(\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x))^{n-1}$$
J'ai essayé d'autres calculs mais je n'arrive à rien.
Tu y crois vraiment à ta formule? 8-)
$$\cos^n(x)-\sin^n(x)=(\cos(x)-\sin(x))\times(\cos^{n-1}(x)+\sin(x)\cos^{n-2}(x)+\cdots+\sin^{n-2}(x)\cos(x)+\sin^{n-1}(x))$$
Remarquons au passage que si $x$ est solution de $\cos(x)-\sin(x)$, alors résoudre l'équation pour $n\in\mathbb{N}^*$ ,se résume à trouver les solutions communes des équations
$$\sum_{k=1}^{n}\cos^{(k-1)}(x)\sin^{(n-k)}(x) = 1$$
où $n\in\mathbb{N},n\geq 2$. Remarquons que d'autre part :
$$\sum_{k=1}^{n}\cos^{k-1}(x)\sin^{(n-k)}(x) = \cos^{n-1}(x)\cdot \sum_{k=0}^{n-1}\tan^k(x)=\cos^{n-1}(x)\dfrac{1-\tan^{n}(x)}{1-\tan(x)}$$