Bénéfice

christophe c:

C'est ta façon d'expliquer l'addition de deux nombres relatifs à des sixièmes?
(j'aimerai bien voir leur tête quand tu te lances dans ce genre d'explications)

PS:
je parlais de ton avant-dernier message.

C'est quasiment ça, mais tu n'oses pas aller au bout par peur de reconnaître que tu utilises la méthode des profs catastrophiques qui apprennent des trucs stupides aux élèves qui savent déjà additionner des nombres relatifs.

Désolé :
Tu sais que tu vas arriver dans les +, tu en es certain par comparaison de 3 et 1000.
Tu sais aussi qu'il va falloir ôter 3 à 1000.
Mais tu as le droit de le nier.

L'autre procédé est très utile mais il s'agit d'une forme de dualité qui n'est pas simple à comprendre.
"Partir de -3 et monter de 1000" revient à "partir de 1000 et descendre de 3".
Persuade-moi que c'est une évidence.

Remarque :
Le fait que a-b=a+(-b) ne saute pas aux yeux des élèves non plus.
Et les mêmes profs catastrophiques vont te donner une autre méthode stupide.

J'ajoute que la commutativité de l'addition est simple pour tout le monde parce qu'on nous l'a dite et serinée.
Mais beaucoup n'ont jamais jeté un œil à la démonstration.
Je ne parle pas non plus de la commutativité de la multiplication : ce n'est pas une évidence non plus.
Dire que $3+3+3+3=4+4+4$ n'est pas si évident. C'est encore une forme de dualité.

Mais beaucoup n'ont jamais jeté un œil à la démonstration (que + est commutative)
Je ne parle pas non plus de la commutativité de la multiplication

Attention: ce sont 2 choses profondément différentes. Celle de + est un axiome vox-populi évident, celle de $\times$ un théorème profond et difficile (je le donne tous les ans dans toutes les classes à prouver, avec comme récompense 15 de moyenne à tout un trimestre et personne ne gagne jamais).

La preuve de la commutativité de $\times$ pour les entiers positifs consiste à faire faire un quart de tour à un tableau $a\times b$ pour obtenir un tableau $b\times a$. (Nombres de lignes fois nombre de colonnes).

Pour le reste, je n'ai pas le courage de m'étendre sur la théorie du groupe $(\Z,+)$ racontée à des enfants. Je l'ai déjà fait, j'ai des arguments, juste la flemme de les taper, désolé. Et ça n'a bien sûr rien à voir avec des dogmes-algos complètement gratuits qu'on donne à réciter.

Evidemment que je ne vais pas m'amuser à taper un post entier sur comment je fais, minute par minute, pour exposer ceci ou cela à des classes (d'autant que j'obéis aux débilités pédagogistes en général, on est surveillé dans l'E.N. , donc ce ne serait pas \ a écrit:

Faites ce que je dis pas ce que je fais....

Exactement!

Moi, je suis plus intéressé par (+3)+(-1000)

Le fil part dans un autre sens que celui initial, c'est rigolo. Mais c'est dommage que les gens qui prétendent avoir quelque chose à dire ne prennent pas leur courage à deux mains et tapent un post disant ce qu'ils pensent de A à Z. (Moi je l'ai déjà fait moult fois, je ne recommence pas). Là, entre Gérard et ses petits moment d'agressivité, FdP et ses posts d'une ligne "en passant", quelques témoins et dom qui fait comme FdP, mais en version question, on n'a pas envie de s'investir.

@Arturo: en bref, essaie de raisonner et de faire raisonner tes élèves (pas de règle toute faite tombée du ciel, sauf celles de langage et les axiomes). Additionner des nombres relatifs, répétons-le c'est dur! Point à la ligne. Tout le monde sait le faire (en réfléchissant), mais tout le monde sait faire un truc dur ce faisant.

@dom, troisième fois, je t'ai déjà répondu: $(-3) + 1000 = (-3) + 3 + 997 = 0 + 997 = 997$. Il n'y a rien de "préconisé", tout est prouvé. Les axiomes utilisés sont ceux concernant l'addition et le fait que $(-a) +a=0$ qui est la définition de la soustraction et l'abréviation $(-x):=(0-x)$.

Bon, pour éviter de devoir lire le fil et répondre post par post, je tape "la théorie" (je me pisse dessus de parler comme ça, mais bon).

Les axiomes (accédés à l'école primaire, vox populi, et anciens) sont l'associativité, la commutativité de l'addition, et $\forall x: x+0=x$.

La soustraction est créée par un axiome-définition: $\forall a,b: (a-b)+b=a$. Axiome d'existence qui prend une forme d'abréviation ($a-b:=$ nombre qui donne $a$ quand on lui ajoute $b$) apparente, qui rend évidente $(a-b)+b=a$

Le nombre $0-x$ s'abrège par $(-x)$



Et de fait, non seulement tout le monde l'a, et les matheux n'ont que ça. Il n'y a pas de lacune en maths. Les autres ont la mémoire complètement congestionnée par des centaines de trucs qui n'auraient jamais dû y entrer. D'où la paralysie rendant incapable de faire des maths.

Comme chacun ici le sait (le forum est fréquenté par des matheux le plus souvent), on peut déduire des tas de théorèmes de ces axiomes. La liste n'est jamais exhaustive, elle est toujours à vocation purement pratique et elle n'a pas à être mémorisée

[size=x-small]Les théorèmes sont:

1) $a-b = a+(-b)$
preuve: $a-b = a-b + b+ (-b) = a+(-b)$

2) $(a+b)-b=a$
preuve: $(a+b)-b = a+b+(-b)=a+0=a$

3) $(-(a+b)) = (-a)+(-b)$
Preuve: $(-a)+(-b) = [(-a)+(-b)] +(a+b) + (-(a+b)) = a+(-a) + b+(-b) + (-(a+b)) = 0+0+ (-(a+b))= (-(a+b))$

4) $(-(-a)) = a$
Preuve: $(-(-a)) = (-(-a)) + (-a) + a = 0+a=a$

5) $a-(b+c) = a-b-c$
Preuve: $a-b-c = a-b-c + (c+b) + (-(b+c)) = a-b + b + (-(b+c)) = a+(-(b+c))=a-(b+c)$

6) $(a-b)+(b-c) = a-c$
Preuve : $ a-c = a+(-c) = a +(-b)+b+(-c)= (a-b)+(b-c)$

7) $-(a-b) = (b-a)$
Preuve:$ b-a = b-a + (a-b) - (a-b) = b-a + a+(-b) - (a-b) =b+(-b) -(a-b) = 0-(a-b)=-(a-b)$

8) $(a+b)-c = a+(b-c)$
Preuve: $a+b-c = a+b+(-c) = a+(b+(-c)) = a+(b-c)$

S'il y en a que ça amuse, ils peuvent continuer la liste.

La pratique utilise peu de règles ci-dessus, surtout les mécanismes suivants:
* $a+(-b) = a-b = a-(a+(b-a)) = (a-a) - (b-a)$
* $(-a)+(-b) = -(a+b)$
* $a-b = -(b-a)$[/size]

Edit : j'avais effectivement lu un peu trop vite.

C'est amusant de voir un dyscalculique expliquer pourquoi il a de meilleures méthodes que les autres pour enseigner aux élèves à calculer :-D

@Dom : Je pense que Christophe essaie d'insister sur le fait que ce n'est pas une nouvelle règle. Chacun sait, même avant la 6ème, que monter de 3m puis descendre de 1000m, c'est pareil que de monter de 3m puis redescendre de 3m et redescendre enfin de ce qui manque pour arriver à 1000m de descente en tout... et par conséquent, il est naturel d'effectuer une soustraction.
Certes, faire écrire cette règle dans le cahier peut en rassurer certains... mais d'autres vont se demander si c'est bien la même chose que ce qu'ils faisaient avant. Et ceux qui vont se le demander vont probablement croire qu'ils ne faisaient pas correctement auparavant puisqu'on leur dit que c'est ainsi qu'il FAUT faire !

Je le sais parce que, justement, j'ai essayé d'expliquer cela à des 6èmes (les négatifs et leur addition) quand j'en ai eu, il y a maintenant 13 ans. C'était en plus le jour d'une inspection. Toute l'activité que j'avais préparée consistait à leur faire comprendre qu'ils savaient déjà tout.

Par ailleurs, je ne vois pas bien l'intérêt d'insister sur le fait que c'est quelque chose de nouveau alors que justement les élèves préfèrent quand on leur dit qu'ils savent déjà faire !

Pour ce qui est de la multiplication, c'est une autre paire de manches...

@bisam
C'est exactement ça.
Je ne conteste pas le fait qu'ils connaissent la règle. Mais je suis convaincu que savoir écrire la règle apporte une plus value.
Et ils ne savent pas l'écrire.
Pour ceux qui ont besoin d'être rassurés : quand on demande des petits calculs de tête, certains répondent complètement à côté.
Eux ont raté quelque chose, je ne sais pas quand, ni pourquoi, mais ils s'en sortent (s'ils persévèrent et s'il la comprennent) grâce à la règle. Ce que nous appelons "le bon sens", rappelons-nous que quelques uns n'en ont pas pour ce genre de calculs.

Pour info : ça devait être en 5ème je pense pour l'inspection, mais passons (les relatifs n'étaient pas vus en 6ème d'après moi).

@christophe c
Ok. Et d'ailleurs tu as raison de préciser que tu ne répondras pas aux autres questions de calcul.
C'est si méprisant : "profs catastrophiques", "méthodes stupides" (ou un truc du genre) mais ce n'était pas pour moi, a priori, en tout cas je ne l'ai pas lu comme tel. Mais là, ça y est, je semble "confondre" et ce serait "grave" etc.
Restons courtois.

Pour trouver 997, désolé, tu as bien utilisé l'évidence. La tienne. Celle qui, si on ne l'a pas, alors on ne pourra jamais la trouver et progresser. Et puis c'est sûrement un élève qui sera "nul en maths" (expression bannie de mon vocabulaire, qui plus est dans le forum Pédagogie, quel comble, mais passons cela aussi). Mais jamais tu n'as effectué la soustraction 1000 - 3 en regardant les deux nombres de départ et leurs signes.

L'envie me vient d'écrire des tonnes d'expressions quantifiées où on trouverait aussi les règles stupides mais écrites avec $a$ et $b$ et la relation d'ordre (ho que c'est vilain de parler d'ordre, je le sens venir). Cela ne rendrait pas plus crédible mon propos.
J'ajouterais "ne pas apprendre cela, c'est juste des lois déduites et il y en a d'autres".

Bref. Je crois que nous sommes arrivés au bout.

Bien cordialement de ma part.

Tu te trompes, je parle d'une minorité.
Je suis d'accord sur beaucoup de décisions néfastes que tu dénonces ici et là.

Dans ce passage, je parle de gamins qui sont passés "au travers". Tu leurs demandes "j'achète 20 stylos puis 37 gommes, combien ai-je d'objets ?". Ils ne savent pas répondre. Et ils ne sont pas bêtes.
Avec une feuille ils savent pourtant, en posant le calcul (et oui !).
Ils n'ont pas été détruits par les règles.
Ils peuvent survivre grâce à elles (ou pas, cela dépend bien sûr).

Pour info : Il ne s'agit pas du café du commerce ici, épargne-moi les éventuelles considérations condescendantes.
Mea culpa si ça n'était pas ton intention. Je préfère prendre les devants.

Bisam:

Pour moi, le problème n'est pas de savoir que lorsque tu montes par l'ascenseur d'un étage puis tu descends de l'ascenseur tu te retrouves en sous-sol à deux deux étages sous le sol.
Le problème pour moi est d'expliquer que les nombres que les élèves avaient l'habitude de manipuler sont des nombres positifs, qu'ils ont un signe, le signe +, et qu'il existe des nombres qui sont négatifs qui permettent par exemple, d'indiquer que lorsqu'on descend au sous-sol de deux étages on est au niveau -2.
Les nombres ont un signe et pour "compliquer" les choses, Les symboles utilisés pour le signe d'un nombre sont + et - qui sont déjà utilisés comme symboles respectivement pour l'addition, la soustraction.

@Dom

Je vois toujours le même défaut. Mais le problème vient peut-être du fait que j'idéalise tout cela. Je n'ai jamais enseigné à ce niveau.

S'ils n'ont pas trouvé eux-même la règle je suis tenté de dire que c'est parce qu'ils n'ont pas compris quelque chose d'important.

Je ne comprends pas non plus le passage « tu devras sans cesse faire le dessin de l'ascenseur ou du thermomètre pour qu'il trouve la réponse. Mais sans le dessin, ils ne la trouveront pas. Ils comprennent très bien le principe. » Le début semble indiquer qu'ils n'ont pas compris mais tu conclus en disant qu'ils ont compris. On est peut-être en désaccord sur le sens de « compris ».

En 6ème-5ème, je crois qu'il est d'usage pédagogiquement de noter un nombre relatif en utilisant une paire de parenthèses, par exemple, (+3), (-7). Autrement tous les problèmes que je décrivais plus haut (l'utilisation des symboles -/+, le fait qu'un nombre a un signe) peuvent se télescoper.

-3, s'écrit avec deux symboles dont l'un n'est pas un chiffre pourtant le tout est l'écriture d'un nombre et on ne peut pas enlever le symbole - sans changer de signification.


Je me dis qu'en mathématiques tout est souvent une façon dont on regarde un enchaînement de symboles.
Si tu ne sais pas regarder, tu es handicapé. Parfois ton regard est forcé de voir les choses d'une certaine façon, à cause des régles de l'algèbre, par exemple, parfois il y a plusieurs façons de regarder.

J'ai demandé tout-à-l'heure à mon fils de 9 ans (en CM1) combien on obtient si on fait 3-1000...
Il a d'abord hésité et m'a demandé s'il pouvait donner une réponse avec un - (plus exactement, il m'a demandé si "ça existe les nombres avec un - ?")
Puis, quand je lui ai dit qu'il pouvait, il m'a répondu -997.

Et quand je lui ai demandé comment il avait fait... il a répondu tout naturellement qu'il avait calculé 1000-3 et rajouté le signe -.

Cela va complètement dans le sens de ce que Christophe affirme (mais je ne prétends pas que ce soit une généralité).

En partant de l'image mentale de l'ascenseur, voici la raison pour laquelle $3-1000=-997$.

On part du 3e étage. Il faut descendre 1000 étages. Pour ce faire, on commence d'abord par descendre au rez-de-chaussée : comme on est descendu de 3 étages, il reste encore 1000-3=997 étages à descendre, donc à la fin on se retrouve à l'étage -997.

Mathématiquement, ce raisonnement correspond au calcul $3-1000=3-(3+997)=3-3-997=0-997=-997$.

Remarque : même pour additionner des nombres positifs, il arrive que l'on fasse mentalement une soustraction. Par exemple, pour calculer $998+657$, je fais $998+2+(657-2)=1000+655=1655$. (Cependant, je pense que tous les élèves de CM2 ne sont pas capables de procéder ainsi et certains doivent poser l'opération.)

bisam écrivait:

---

Cela va complètement dans le sens de ce que Christophe affirme (mais je ne prétends pas que ce soit une généralité).

C'est ce qu'il fait lui mais pas ce qu'il "recommande" aux élèves.

On va se rejoindre.
Je n'utilise pas ce vocabulaire (survie, bête, nul etc.) mais après tout, c'est le fond qui est intéressant.

Dans l'idéal, non, pas de recette toutes faites.
On est dans le forum pédagogie et je m'adresse aux enseignants qui ont des classes et non des cours particuliers.
Que faire d'un élève qui ne parvient pas à comprendre (je parlais des élèves qui comprenaient avec des petits nombres mais pour qui les décimaux ou les grands entiers étaient abstraits mais là je prends l'exemple de celui qui ne comprend pas - je ne sais pas si cela existe) ?

Faut-il recommencer, encore et encore, ou lui dire "bon, écoute, tu fais comme ça désormais" ?
Les 29 autres ont tout compris mais pas lui. On est sur la même notion depuis deux semaines.
(Précision : Jamais je dirai qu'il est nul, ni qu'il est bête).
Que fais-tu ? Quels sont tes choix ?

Je pense que passer à autre chose est primordial (le temps et le mûrissement seront salutaires, on l'espère).

À tous les niveaux, c'est comme ça.
Qui comprend l'inverse local parmi les agrégés qui savent l'appliquer ?
Qui comprend le théorème de Pythagore parmi les lycéens qui savent l'appliquer ?
Qui comprend la construction de la médiatrice d'un segment au compas et règle non graduée parmi les collégiens (et lycéens !) qui savent l'effectuer ?

Il arrive qu'après avoir "fait du par cœur", on s'intéresse à "pourquoi c'est comme ça".
On sort de la pédagogie de la réflexion en faisant du par cœur, c'est même anti pédagogique dans l'instant.
On y retourne quand "on sait faire" et qu'on se demande "pourquoi ça marche".

Je répète : l'idéal est de comprendre. Mais le temps est un paramètre (hélas) qui ne convient pas à la pédagogie du grand nombre, de la classe. Dans le système actuel en tout cas.

Je n'ai pas vraiment parlé de "pourquoi il ne comprend pas". Tu sembles n'autoriser qu'une seule raison : on l'a détruit avec la "mauvaise pédagogie". Tu parles d'attention, oui c'est cela. Beaucoup d'élèves sont présents en classe mais ne sont pas prêts.
Ils ne sont "pas là". Susciter leur réflexion est un espoir vain pour beaucoup. Pas cette heure-ci, pas cette semaine là, pas ce mois-ci, pas cette année là.
Des astuces ? Encore un mot qui n'est pas dans mon dictionnaire.
Une méthode, pourquoi pas oui. Il y a un temps pour tout.
Rassure-moi, et dis-moi qu'encore de nos jours tu te poses des questions sur des notions qui étaient passées dans ton cursus. Elles avaient glissées, comme ça. Et aujourd'hui, tu prends ton crayon et une feuille et tu te dis : "Allez, ça maintenant, je vais me l'approprier. Jusqu'à maintenant j'appliquais ce qu'on me disait mais désormais je vais comprendre pourquoi ça marche."
Il y a un temps pour tout.

Enfin, je répète, le maître mot "pédagogie" associé au contexte "classe" pose des problèmes.
L'objectif est que tous comprennent. N'essaye pas de faire croire qu'avec tes convictions tu y parviens, ni même mieux que tes collègues que tu as qualifié de catastrophiques.
Encore une fois, je ne suis pas dans ce "sac là" donc je ne me suis pas senti offensé.
C'est le départ du changement de fil, ça ressemblait à du trolling, et j'ose croire encore que ça n'en était pas.

dom a écrit:

dans le forum pédagogie et je m'adresse [...] On sort de la pédagogie de la réflexion en faisant du par cœur [...] qui ne convient pas à la pédagogie du grand nombre [...] avec la "mauvaise pédagogie". [...] le maître mot "pédagogie" associé au contexte "classe" pose des problèmes. L'objectif est que tous comprennent

Reprenons posément, parce quand je vois le nombre d'occurrences du mot "pédagogie" dans ton post précédent...

1) Tu sembles avoir réagi très violemment quand j'ai parlé de prof catastrophique (à mon tout premier post) qui livre des moyens de simuler une compétence

2) Tu sembles te préoccuper de "pédagogie"

3) Je ne parle ABSOLUMENT PAS de "pédagogie". Nous débattons d'une question de politique (éducative si tu veux). Cela précède largement la pédagogie. Avant de "faire de la pédagogie" encore faut-il s'entendre sur à propos de quoi on va en faire, autrement dit trancher sur ce qu'on va évaluer. Comme je l'ai dit peut-être mille fois sur le forum, même si c'est parfois difficile en pratique, un bon examen (ou un bon thermomètre) se doit de détecter les fraudes en tout genre (donc en particulier les simulations) dans l'évaluation du niveau de quelqu'un. J'appuie déjà tout sur cet axiome. Donc si on n'est pas d'accord avec l'axiome, ce n'est pas vraiment la peine de prolonger: je dis axiome =>A, si tu dis "non(axiome)", on est d'accord d'avance que "axiome =>A"

4) Seulement ensuite, quand on a tranché ce sur quoi porte "la pédagogie", on peut se demander (c'est généralement trivial, mais on peut le faire) si le rouge est mieux que le bleu pour la présentation de telle notion, etc, etc. Mais la "pédagogie" (quel vilain mot d'ailleurs) ne peut s'étudier qu'une fois qu'on a précisé quels thermomètres vont mesurer les compétences et quelles compétences

5) Mais visiblement, on n'a pas tranché, donc on parle dans le vide. Le système actuel, je précise, pour éviter de perdre du temps, ne reconnait pas mon axiome (on pourrait même penser qu'il s'y oppose fermement). Donc il est vain de l'invoquer, ledit système pour se prononcer sur ce que je dis.

6) Pour finir, j'ai de bonnes raisons de défendre mon axiome et je pense qu'il est très important. Les apparences de court terme sont trompeuses. Je pense qu'une société qui ne prend pas la précaution de valider ses méthodes d'examen (et en particulier, de détecter la triche ou la simulation) court à sa perte. Certes, quand ça ne compte pas (par exemple le fait qu'on fasse simuler à des cohortes de Terminales ES des compétences sur la dérivation, etc) ce n'est pas bien grave puisque seul l'accès au diplôme "décoratif" compte ici (ils ne feront plus jamais de maths). Mais là où ça compte, c'est dangereux!!! (Imagine un chirurgien ou un pilote d'avion qui a seulement simulé sa réception à l'examen et à qui on donne les manettes)

7) Précisons que dans le système du collège unique (où les élèves de cinquième n'ont aucun examen et sont assurés d'arriver en 3ième), c'est encore plus cruel et scandaleux de pratiquer la simulation (car il n'y a même pas d'enjeu, pas d'officine auprès de laquelle il serait important de faire semblant d'avoir la compétence). Et cet exemple me permet encore plus de dénoncer à quel point 10ans plus tard, le fait que la société ne se prémunit pas des simulations et tricheries est grave: en effet, on voit sur cet exemple que ça induit des comportements très tôt dans le système (les profs de cinquième ne pratiqueraient pas la tricherie-simulation si les profs de lycée ne leur envoyaient pas des messages indiquant que la simulation est autorisée dans le système)

je trouve ça facile de dire qu'un autre est une catastrophe. N'en serais-tu pas une ?

Il ne faut pas me faire dire ce que je n'ai pas dit. Utiliser l'outil citation du forum serait plus approprié pour ne pas sortir les phrases de leur contexte.

Encore une fois (la dernière après je déconnecte), je ne discutais pas la question des méthodes pour permettre à un enfant de simuler qu'il parle chinois (dans une pièce de théatre), puisque je les rejette toutes en bloc. Maintenant SI (avec un énorme "si") on s'interroge sur comment tricher à la place de l'enfant pour lui faire mimer un chinois**, je ne critique pas ce qui peut éventuellement être proposé. Mais en ce qui me concerne ce qu'il y a après le "si" est faux. Je me fiche de savoir comment on peut faire semblant (je sais le faire et former des jeunes à le faire, mais je n'en débats pas sur le forum)

** je prends cette analogie pour être clair, parce que les lecteurs ne sont pas forcément tous conscients que c'est ça qui est discuté avec l'algo qui permet de simuler qu'on sait additionner des relatifs

Tu t'énerves trop. Relis ce que j'ai écrit, tu comprendras qu'on est d'accord et qu'on ne parle pas de la même chose, c'est à dire que tu défends quelque chose que je n'attaque pas "en soi", mais dans un contexte bien précis. (Tu me dis qu'on est parfois hors de ce contexte, et bien tant mieux).