Bonjour je n'ai parcouru le fil qu en diagonale mais il me semble voir certaines contradictions.
Comment dire que 1.5 n'est pas une fraction alors que c'est par définition une autre écriture de 15/10?????
Toujours pour la même raison : une fraction est un type d'écriture. De la même façon, ce n'est pas une somme même si 1,5 = 1+0,5.
Les rationnels désignés par 15/10 et 1,5 sont un seul et même nombre, mais seul le premier est une fraction.
Cependant, il semble que la baisse de niveau des enseignements en collège finissent par faire appeler "fractions" les nombres rationnels.
Dans mon vieux "petit Larousse", il y a 5 significations, dont "nombre rationnel écrit sous la forme a/b ..."
Je viens de regarder rapidement les programmes (actuels) du collège. je n'y ai pas vu ,le mot "fraction", seulement "écriture fractionnaire". Sans doute pour éviter d'avoir à définir une signification mathématique du mot "fraction", qui en a plusieurs. et pour bien dire qu'on parle d'une notation écrite.
Entièrement d'accord avec toi gerard pour convenir qu'une fraction est un type d'écriture et que ce n'est pas une somme.Mais je ne change pas d'avis, 0,1 est depuis le XVIIéme siècle une notation simplifiée de la fraction 1/10.C'est seulement une écriture plus rapide de cette fraction.
La définition d'un nombre décimal est la suivante : $\frac{a}{10^{n}}$ avec $a$ un relatif et $n$ un entier.
Donc un un décimal est pour moi une écriture fractionnaire.
Ce que je fais en sixième et cinquième : Je dis qu'une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers (avec bien sûr le dénominateur non nul).
Mais comme l'ont dit les sages du phorum, une fraction n'est qu'une écriture commode d'un nombre rationnel. Au collège on distingue fraction et écriture fractionnaire car "on demande de le faire comme ça".
Sinon pour moi $10,5=\frac{10,5}{10}=\frac{105}{100}$ c'est un même nombre (rationnel) avec des écritures différentes.
Je suis en désaccord :
Quand on parle de nombre décimal, on parle de la nature d'un nombre.
Comme quand on parle de nombre entier ou de nombre rationnel.
Je persiste à dire que dans le contexte de ce fil, le mot "fraction" désigne la manière d'écrire un nombre.
Attention :
Tous les nombres peuvent être écrits en écriture fractionnaire.
Certains nombres peuvent être écrits en fraction (ce sont les rationnels).
Certains nombres peuvent être écrits en fraction décimale (ce sont les nombres décimaux).
Remarque :
Tous les nombres ont une écriture décimale.
L'écriture décimale (propre) des nombres décimaux n'utilise qu'un nombre fini de chiffres non nuls.
(Je parle des nombres réels pour lever toute ambiguïté).
Tout nombre réel a une ou deux écritures décimales (les décimaux étant les réels qui en ont deux). Le fait qu'on ne puisse pas l'écrire effectivement pour la plupart des réels n'interdit pas son existence.
@did63 : il parle de l'écriture décimale propre. Les parenthèses sont certes de trop. Je ne comprends pas de mon côté les réactions de gerard0 et Jer anonyme :-).
Dans mon vieux "petit Larousse", il y a 5 significations, dont "nombre rationnel écrit sous la forme a/b ..."
Alors, Gérard, pourquoi as-tu failli t'étrangler quand j'ai suggéréde définir "une fraction comme un couple (a,b) de deux entiers relatifs dont le deuxième est non nul. "
On peut même admettre au collège l'algorithme suivant.
Je choisis une longueur en cm quelconque.
J'encadre à l'unité.
J'encadre au dixième.
J'encadre au centième...
Le nombre inférieur dans chaque encadrement est un nombre décimal dont l'écriture décimale "garde les mêmes premiers chiffres". En gros on a une précision supplémentaire, un chiffre en plus à chaque fois.
Il suffit d'admettre (ce n'est pas anodin) qu'on peut encadrer tout réel à n'importe quel rang.
L'écriture décimale du nombre serait la limite de la suite inférieure dans les encadrements.
Bref je n'invente rien c'est "la" suite des valeurs approchées par défaut du nombre au rang n.
Bonjour.
Pour moi une fraction est un nombre (concept admis) dont un multiple entier (concept admis) est lui-même entier.
(Les élèves n'ont généralement pas de problème avec les deux concepts admis, à condition que l'on ne les explique pas...)
Càd. que $q$ est une fraction s'il est solution d'une équation $ax=b$, où $a$ et $b$ sont entiers, $a$ n'étant pas nul. $a$ est Un dénominateur de $q$, $b$ le numérateur correspondant.
Une fraction donnée a beaucoup de dénominateurs. Le plus petit positif d'entre eux est Le dénominateur de $q$.
Notation : $q=b/a$ (justification : via l'histoire).
Bons points :
(1) La raison d'être des fractions est justement qu'elles permettent de résoudre les équations du type $ax=b$. La solution de cette équation est précisément $b/a$.
(2) La définition est opérationnelle.
$\quad$ P.ex. $q:=1.16$ est une fraction parce que $100q=116$. 100 est donc un dénominateur; mais l'équation est simplifiable par 4 : $25q=29$
$\quad$ $q=116/100=29/25$.
(3) Une fraction est décimale si elle a Un dénominateur qui est une puissance de 10.
(4) En multipliant membre à membre $ax=b$ et $cx=d$ on obtient $(ac)(xy)=bd$. Donc $xy=(bd)/(ac)$ On peut maintenant vérifier que $a(b/a)=b$.
(5) Si $(i)\;aq=b$ et $(ii)\;cr=d$, alors $c(i)+a(ii)$ donne $(ac)(x+y)=bc+ad$, donc $x+y=(bc+ad)/(ac)$
La teneur mathématique est bonne; pédagogiquement et didactiquement, à vous de voir.
Je recommanderais cette approche dans un cours pour futurs enseignants.
« L'écriture décimale d'un nombre » n'a a priori pas de sens étant donné que certains nombres admettent plusieurs écritures décimales, sauf à utiliser une convention particulière pour choisir l'une des deux écritures quand il y en a deux.
De la même manière « la matrice d'une application linéaire » n'a a priori pas de sens, sauf si on a convenu de ne considérer localement que les matrices dans une paire de bases données.
L'algorithme que je propose, qui existe formellement avec les parties entières, ne donne qu'un seul développement décimal.
Là, quand même, faut pas pousser, on parle bien du (seul) développement décimal propre.
tu pinailles vraiment. Relis la discussion, ce n'est qu'en étant MOF catégorie tétracapillectomie et muni d'une mauvaise foi de taille XXL qu'on peut tenir ta position. De plus tu nous reprends, alors qu'on n'a jamais employé les articles l' ou le.
Tu as vraiment du temps à perdre ...X:-(
Je ne pinaille pas je propose une explication pour le message de did63.
« De plus tu nous reprends, alors qu'on n'a jamais employé les articles l' ou le. »
Je ne vous reprends pas. Did63 parle d'un message dans lequel était utilisé l'article « le ». Relis la discussion et cesse de m'insulter. Ton message est extrêmement désagréable.
Je ne prétends par ailleurs pas avoir compris le sens de la remarque de did63. Il évoque l'existence et peut-être est-ce effectivement de l'existence qu'il doute. Peut-être n'est-ce pas la non unicité qui le turlupine. Mais... Enfin bref... Restons zen face aux insultes.
Je persiste à dire que tu n'as pas lu : Dom parlait de "L'écriture décimale (propre) des nombres décimaux", après avoir dit "Tous les nombres ont une écriture décimale". Et Did63 répond "dom comment définis- tu l'écriture décimale d'un nombre, elle n'existe pas à priori....".
De la même façon, tu parles d'insulte alors que je me moque gentiment de toi ... Tu donnes encore un autre sens à ce qui est écrit ...
De toute manière il y a bien eu une confusion entre les deux, voire trois, notions suivantes : nombre décimal, fraction décimale (voire écriture décimale).
Bonjour,
Je suis arrivé sur ce forum par googlerie (caprice de google), en fait, je cherchais sur le net des pistes pour aider mon fils à progresser sur le thème des fractions (en 4°).
Étant moi-même un cancre en math, j'espérais trouver des idées pour le tirer vers le haut afin qu'il ne soit plus (comme je l'ai été avant lui) victime des railleries de prof de math qui font rire la classe.
Je me suis beaucoup amusé en vous lisant, la délicatesse avec laquelle vous avez mouché le gentil prof qui a commencé cette discussion était fort réjouissante et ce n'est que par la suite que j'ai vu que j'étais dans la section « Pédagogie », là le fou rire m'a pris et quand j'y repense, j'en ai encore les larmes aux yeux.
Personnellement je n'avais pas l'impression que ce prof consciencieux exposait une théorie mathématique mais plutôt une possible dérive et une mauvaise interprétation liée à un choix terminologique.
Mon niveau en math ne me permet pas de commenter le fond, mais je pense que vous avez à tort pris ce prof pour « la mouche du coche » et que s'il continue à participer à forum, c'est sûrement qu'il a une excellente capacité à serrer les fesses.
Sur ce, je vous laisse ironiser entre vous sur mon intervention et je vais aller chercher ailleurs quelque chose de plus rationnel.
Axiome pédagogique.
« Tout ensemble contenant un ou plusieurs éléments supérieurement bornés est irrationnel. »
On trouve quand même des réponses sérieuses il me semble quant à la question posée.
Certes la totalité contient de petits entretiens à deux ou à trois qui génère une mauvaise lecture.
En ce qui concerne les progrès d'élèves de collège, c'est tout de même possible il me semble via ce site.
Cependant, dans tout forum, ça peut "dégénérer" (le mot est fort car il y a bien pire), tout le monde en conviendra.
$\quad$ Mémorandum sur l'écriture décimale des nombres réels
Définitions.
(D1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont des chiffres; $+$ et $-$ sont des signes; . est le point décimal.
(D2) Un nombre réel est une suite infinie dont le premier terme est un signe, les autres sont des chiffres
$\qquad$ à une exception près; ce terme exceptionnel est le point décimal.
Restrictions.
(Ri) Le deuxième terme n'est pas le point décimal.
(Rii) Si le deuxième terme est 0 le troisième est le point décimal. (Riii) Sont exclus :
$-\;$ la suite dont le signe est $-$ et tous les chiffres 0.
$-\;$ les suites dont presque tous les termes sont 9.
$\quad$ (Presque tous := tous sauf un nombre fini.)
Conventions.
(Ci) On n'écrit pas le signe $+$, il est sous-entendu.
(Cii) Si tous les termes suivant le point décimal sont 0 on tronque la suite juste avant le point décimal.
(Ciii) Si presque tous les termes sont 0 et que l'on n'est pas dans le cas (Cii), on tronque la suite juste
$\qquad$ après le dernier chiffre différent de 0.
(Civ) Pour des questions de place, on n'écrit jamais tous les termes d'une suite;
$\qquad$ les aménagements sont divers.
Nombres réels remarquables.
(Si) Un positif. Son signe est $+$. Un négatif. Son signe est $-$. 0 a la double nationalité.
(Sii) Une fraction. Une troncature initiale adéquate laisse une suite périodique.
(Siii) Une fraction décimale, ou nombre décimal. Presque tous les termes de la suite sont 0.
(Siv) Un entier relatif. Tous les termes suivant le point décimal sont 0.
(Sv) Un entier naturel. Un entier relatif et positif différent de 0.
(C) Applaudissements, fanfare, levée de la séance (digne...)
Vous ne tombez certes pas sur une discussion concernant les modalités d'apprentissage de la notion de fraction. Malgré l'impression que ce fil peut vous donner, le forum regorge de bonnes volontés, il me semble, et il vous suffirait sans doute de formuler une question en créant un fil pour voir s'il peut vous aider dans le problème que rencontre votre enfant. (aucune garantie, l'apprentissage des mathématiques du point de vue de l'apprenant étant quelque chose d'extrêmement intime et de fait non reproductible)
Les notions mathématiques ont des prolongements qui induisent ce genre de débat, et il ne me semble pas que l'auteur du post se plaigne de la discussion qui s'en est suivie.
Le plus simple serait sans doute d'y voir l'expression d'une passion partagée plutôt que d'exprimer de la condescendance.
Etoile Barre écrivait:
>
> Le plus simple serait sans doute d'y voir
> l'expression d'une passion partagée plutôt que
> d'exprimer de la condescendance.
>
> Cordialement
Bizarre de dire "un nombre réel est une suite..." .
La suite s'appelle selon moi "le développement décimal" du nombre réel.
Le réel est somme d'une série qui utilise la suite et les "fractions décimales de l'unité" (1/10, 1/100 etc...).
Attention : fraction décimale de l'unité est à différencier de fraction décimale (pardon les mouches encore).
Et puis je m'épuise à différencier "fraction décimale" (écriture particulière du nombre) et "nombre décimal" (nature intrinsèque du nombre).
Merci de nous donner un point de vue extérieur (?) qui nous manque parfois. Il y a une violence inhérente à notre discipline. Peut-être un attachement à la recherche de la vérité, qu'est-ce que j'en sais ?
Est-ce que Paris est
- La capitale de la France ?
- Le nom de la capitale de la France ?
- Une écriture du nom de la capitale de la France ?
Voila, je suis foncièrement méchant et je m'en réjouis.
e.v.
Pour ta question @ Soland,
je ne vois pas pourquoi tu écris des points de suspension entre "+" et "8888,00" ? Veux-tu évoquer un développement de Hensel d'un nombre déci-adique, autrement dit un brenom ?
Sauf besoin de nouvelles lunettes de ma part, il manque un point à l'exposé de soland pour atteindre toute la pureté idéologique nécessaire, qui est qu'il n'y a qu'un nombre fini de chiffres avant la virgule (au diable le point décimal). Bon d'accord, c'est exprimé un peu violemment, mais si on veut un réel, faut ce qu'y faut. Sinon c'est effectivement du 10-adique (j'admets provisoirement que 10 est premier, pour assurer) à condition de ne garder qu'un nombre fini de chiffres après la virgule.
Et dans la "définition" plus haut dont, paraît-il, la "teneur mathématique est bonne", il aurait pu préciser a différent de zéro, parce que bon, "la" solution de 0x=0, "fraction", dont "un dénominateur" serait égal 0, et qui aurait "beaucoup" de dénominateurs, ça me laisse rêveur. Désolé! Mais je faisais déjà la leçon à mes profs de collège à propos des trucs non-nuls.
Même remarque pour le coup du multiple entier! racine(2)*0 est entier..
C'est l'éternel débat portant sur la confusion entre objets mathématiques et expressions du langage les désignant.
Alors que dans un magma commutatif noté additivement, on entend par somme aussi bien l'expression "premier facteur, signe plus, second facteur" que l'élément du magma désigné par cette expression, de même dans un magma commutatif noté multiplicativement, on entend par fraction aussi bien l'expression "numérateur, barre de fraction, dénominateur" que l'élément désigné par cette expression lorsque le dénominateur est régulier et qu'il divise le numérateur.
D'où la source des innombrables ambiguïtés et confusions, mais qui ne sont dangereuses que lorsqu'on n'en a pas pris conscience.
Dire ".75 est une fraction" est aussi maladroit et choquant que "3 est une somme", la bonne formulation étant naturellement ".75, comme tout rationnel, peut être mis sous la forme d'une fraction de deux entiers", ce qui est précisément le but de la construction du corps de rationnels.
Je n'arriverai sûrement jamais à vous comprendre, à partir d'une question "simple" sur l'apprentissage des fractions au collège vous en arrivez à proposer une énigme pour reconnaître un nombre réel.
(Je n'ai toujours pas su trouver l'indice qui permet de la résoudre)
Je suis peut-être dépassé, après tout avec cette définition au cm2 et en remettant la surjection au programme de 6° vous pourriez faire Cantor en 5°… C'est peut-être cela l'avenir …
La fuite dans la baignoire a pris un coup de vieux.
Contrairement à ce qu'on peut penser quand on n'a pas eu à enseigner (surtout à des classes), ces questions ne sont pas simples, mais au contraire très difficile (*). Surtout si on ne veut pas revenir à l'enseignement des années 1950 ("tu ne comprends pas ? T'es un imbécile !" j'ai connu, 2 profs de maths sur trois étaient comme ça), ni à la méthode très abstraite des programmes de quatrième et troisième "maths modernes".
Ensuite, sur un sujet délicat se développent des polémiques dues à des incompréhensions, et certains en p(rofitent pour mettre leurs idées au clair. C'est la vie d'un forum.
Cordialement.
(*) Je n'aimerais pas enseigner en collège aujourd'hui. Mais certains s'y font vraiment plaisir (j'en connais).
Grosso modo, un nombre réel positif s'écrit en commençant par écrire un nombre entier ou 0,
puis une virgule et une infinité de décimales si le réel n'est pas entier.
C'est l'idée que j'ai essayé de préciser dans mon dernier fil.
La difficulté vient du nombre infini des décimales qu'il faut gérer d'une manière ou d'une autre puisque les roseaux pensotants que nous sommes n'y avons pas accès directement
Et n'oublions pas que l'ensemble des réels effectivement écrits est fini et représente donc exactement $0\%$ des réels concevables.
Nous ne connaîtrons jamais tous les réels à titre individuel, et encore moins leurs propriétés.
Quant à en reconnaître un lorsqu'on le croise...
Sait-on seulement si $\pi\cdot e$ est une fraction ?
@soland
J'ai déjà réfléchi à la construction des réels suivante :
On part des rationnels. On en définit le développement décimal (la suite des chiffres....).
Et l'écriture décimale.
On montre que le développement décimale est périodique.
On regarde ce qui se passe pour les développement décimaux non périodiques : on définit les développements quelconques (suite de chiffres...) non nécessairement périodiques.
On définit une addition, le symétrique (opposé).
Puis éventuellent une multiplication...
On cherche à savoir si l'ensemble de ces développements est complet (avec la valeur absolue).
Amusant, à faire... J'avais commencé jadis...
Je n'ai jamais vu cela nulle part mais une source doit bien exister.
Réponses
Comment dire que 1.5 n'est pas une fraction alors que c'est par définition une autre écriture de 15/10?????
Les rationnels désignés par 15/10 et 1,5 sont un seul et même nombre, mais seul le premier est une fraction.
Cependant, il semble que la baisse de niveau des enseignements en collège finissent par faire appeler "fractions" les nombres rationnels.
Cordialement.
Remarque :
Mais on a aussi le mot fraction qui a un autre sens (que celui du fil de discussion) qui désigne bien un nombre quant à lui.
Je viens de regarder rapidement les programmes (actuels) du collège. je n'y ai pas vu ,le mot "fraction", seulement "écriture fractionnaire". Sans doute pour éviter d'avoir à définir une signification mathématique du mot "fraction", qui en a plusieurs. et pour bien dire qu'on parle d'une notation écrite.
Cordialement.
Remarque : intuitivement son écriture décimale ne devient que des $0$ à partir d'un certain rang.
$0,1$ est l'écriture décimale du nombre $\frac1{10}$
Donc un un décimal est pour moi une écriture fractionnaire.
Ce que je fais en sixième et cinquième : Je dis qu'une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers (avec bien sûr le dénominateur non nul).
Mais comme l'ont dit les sages du phorum, une fraction n'est qu'une écriture commode d'un nombre rationnel. Au collège on distingue fraction et écriture fractionnaire car "on demande de le faire comme ça".
Sinon pour moi $10,5=\frac{10,5}{10}=\frac{105}{100}$ c'est un même nombre (rationnel) avec des écritures différentes.
Quand on parle de nombre décimal, on parle de la nature d'un nombre.
Comme quand on parle de nombre entier ou de nombre rationnel.
Je persiste à dire que dans le contexte de ce fil, le mot "fraction" désigne la manière d'écrire un nombre.
Attention :
Tous les nombres peuvent être écrits en écriture fractionnaire.
Certains nombres peuvent être écrits en fraction (ce sont les rationnels).
Certains nombres peuvent être écrits en fraction décimale (ce sont les nombres décimaux).
Remarque :
Tous les nombres ont une écriture décimale.
L'écriture décimale (propre) des nombres décimaux n'utilise qu'un nombre fini de chiffres non nuls.
(Je parle des nombres réels pour lever toute ambiguïté).
Tout nombre réel a une ou deux écritures décimales (les décimaux étant les réels qui en ont deux). Le fait qu'on ne puisse pas l'écrire effectivement pour la plupart des réels n'interdit pas son existence.
Cordialement.
tu ne lis pas ! La définition du Larousse parle bien d'écriture ... ton couple n'est pas écrit comme une fraction, mais comme un couple ...
Bien entendu, on est dans le cadre de cette discussion, nombre =réel.
Si les nombres réels existent ("tous") alors il est facile de démontrer qu'ils ont chacun au moins une écriture décimale.
Je choisis une longueur en cm quelconque.
J'encadre à l'unité.
J'encadre au dixième.
J'encadre au centième...
Le nombre inférieur dans chaque encadrement est un nombre décimal dont l'écriture décimale "garde les mêmes premiers chiffres". En gros on a une précision supplémentaire, un chiffre en plus à chaque fois.
Il suffit d'admettre (ce n'est pas anodin) qu'on peut encadrer tout réel à n'importe quel rang.
L'écriture décimale du nombre serait la limite de la suite inférieure dans les encadrements.
Bref je n'invente rien c'est "la" suite des valeurs approchées par défaut du nombre au rang n.
Pour moi une fraction est un nombre (concept admis) dont un multiple entier (concept admis) est lui-même entier.
(Les élèves n'ont généralement pas de problème avec les deux concepts admis, à condition que l'on ne les explique pas...)
Càd. que $q$ est une fraction s'il est solution d'une équation $ax=b$, où $a$ et $b$ sont entiers, $a$ n'étant pas nul. $a$ est Un dénominateur de $q$, $b$ le numérateur correspondant.
Une fraction donnée a beaucoup de dénominateurs. Le plus petit positif d'entre eux est Le dénominateur de $q$.
Notation : $q=b/a$ (justification : via l'histoire).
Bons points :
(1) La raison d'être des fractions est justement qu'elles permettent de résoudre les équations du type $ax=b$. La solution de cette équation est précisément $b/a$.
(2) La définition est opérationnelle.
$\quad$ P.ex. $q:=1.16$ est une fraction parce que $100q=116$. 100 est donc un dénominateur; mais l'équation est simplifiable par 4 : $25q=29$
$\quad$ $q=116/100=29/25$.
(3) Une fraction est décimale si elle a Un dénominateur qui est une puissance de 10.
(4) En multipliant membre à membre $ax=b$ et $cx=d$ on obtient $(ac)(xy)=bd$. Donc $xy=(bd)/(ac)$ On peut maintenant vérifier que $a(b/a)=b$.
(5) Si $(i)\;aq=b$ et $(ii)\;cr=d$, alors $c(i)+a(ii)$ donne $(ac)(x+y)=bc+ad$, donc $x+y=(bc+ad)/(ac)$
La teneur mathématique est bonne; pédagogiquement et didactiquement, à vous de voir.
Je recommanderais cette approche dans un cours pour futurs enseignants.
« L'écriture décimale d'un nombre » n'a a priori pas de sens étant donné que certains nombres admettent plusieurs écritures décimales, sauf à utiliser une convention particulière pour choisir l'une des deux écritures quand il y en a deux.
De la même manière « la matrice d'une application linéaire » n'a a priori pas de sens, sauf si on a convenu de ne considérer localement que les matrices dans une paire de bases données.
C'est plus clair ?
Là, quand même, faut pas pousser, on parle bien du (seul) développement décimal propre.
tu pinailles vraiment. Relis la discussion, ce n'est qu'en étant MOF catégorie tétracapillectomie et muni d'une mauvaise foi de taille XXL qu'on peut tenir ta position. De plus tu nous reprends, alors qu'on n'a jamais employé les articles l' ou le.
Tu as vraiment du temps à perdre ...X:-(
« De plus tu nous reprends, alors qu'on n'a jamais employé les articles l' ou le. »
Je ne vous reprends pas. Did63 parle d'un message dans lequel était utilisé l'article « le ». Relis la discussion et cesse de m'insulter. Ton message est extrêmement désagréable.
Je ne prétends par ailleurs pas avoir compris le sens de la remarque de did63. Il évoque l'existence et peut-être est-ce effectivement de l'existence qu'il doute. Peut-être n'est-ce pas la non unicité qui le turlupine. Mais... Enfin bref... Restons zen face aux insultes.
De la même façon, tu parles d'insulte alors que je me moque gentiment de toi ... Tu donnes encore un autre sens à ce qui est écrit ...
Allez, évite de choisir de mauvaises causes ...
Je persiste à dire que tu es un grossier personnage.
Je suis arrivé sur ce forum par googlerie (caprice de google), en fait, je cherchais sur le net des pistes pour aider mon fils à progresser sur le thème des fractions (en 4°).
Étant moi-même un cancre en math, j'espérais trouver des idées pour le tirer vers le haut afin qu'il ne soit plus (comme je l'ai été avant lui) victime des railleries de prof de math qui font rire la classe.
Je me suis beaucoup amusé en vous lisant, la délicatesse avec laquelle vous avez mouché le gentil prof qui a commencé cette discussion était fort réjouissante et ce n'est que par la suite que j'ai vu que j'étais dans la section « Pédagogie », là le fou rire m'a pris et quand j'y repense, j'en ai encore les larmes aux yeux.
Personnellement je n'avais pas l'impression que ce prof consciencieux exposait une théorie mathématique mais plutôt une possible dérive et une mauvaise interprétation liée à un choix terminologique.
Mon niveau en math ne me permet pas de commenter le fond, mais je pense que vous avez à tort pris ce prof pour « la mouche du coche » et que s'il continue à participer à forum, c'est sûrement qu'il a une excellente capacité à serrer les fesses.
Sur ce, je vous laisse ironiser entre vous sur mon intervention et je vais aller chercher ailleurs quelque chose de plus rationnel.
Axiome pédagogique.
« Tout ensemble contenant un ou plusieurs éléments supérieurement bornés est irrationnel. »
On trouve quand même des réponses sérieuses il me semble quant à la question posée.
Certes la totalité contient de petits entretiens à deux ou à trois qui génère une mauvaise lecture.
En ce qui concerne les progrès d'élèves de collège, c'est tout de même possible il me semble via ce site.
Cependant, dans tout forum, ça peut "dégénérer" (le mot est fort car il y a bien pire), tout le monde en conviendra.
(B) Discours de l'idéologue du parti :
$\quad$ Mémorandum sur l'écriture décimale des nombres réels
Définitions.
(D1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont des chiffres; $+$ et $-$ sont des signes; . est le point décimal.
(D2) Un nombre réel est une suite infinie dont le premier terme est un signe, les autres sont des chiffres
$\qquad$ à une exception près; ce terme exceptionnel est le point décimal.
Restrictions.
(Ri) Le deuxième terme n'est pas le point décimal.
(Rii) Si le deuxième terme est 0 le troisième est le point décimal.
(Riii) Sont exclus :
$-\;$ la suite dont le signe est $-$ et tous les chiffres 0.
$-\;$ les suites dont presque tous les termes sont 9.
$\quad$ (Presque tous := tous sauf un nombre fini.)
Conventions.
(Ci) On n'écrit pas le signe $+$, il est sous-entendu.
(Cii) Si tous les termes suivant le point décimal sont 0 on tronque la suite juste avant le point décimal.
(Ciii) Si presque tous les termes sont 0 et que l'on n'est pas dans le cas (Cii), on tronque la suite juste
$\qquad$ après le dernier chiffre différent de 0.
(Civ) Pour des questions de place, on n'écrit jamais tous les termes d'une suite;
$\qquad$ les aménagements sont divers.
Nombres réels remarquables.
(Si) Un positif. Son signe est $+$. Un négatif. Son signe est $-$. 0 a la double nationalité.
(Sii) Une fraction. Une troncature initiale adéquate laisse une suite périodique.
(Siii) Une fraction décimale, ou nombre décimal. Presque tous les termes de la suite sont 0.
(Siv) Un entier relatif. Tous les termes suivant le point décimal sont 0.
(Sv) Un entier naturel. Un entier relatif et positif différent de 0.
(C) Applaudissements, fanfare, levée de la séance (digne...)
Vous ne tombez certes pas sur une discussion concernant les modalités d'apprentissage de la notion de fraction. Malgré l'impression que ce fil peut vous donner, le forum regorge de bonnes volontés, il me semble, et il vous suffirait sans doute de formuler une question en créant un fil pour voir s'il peut vous aider dans le problème que rencontre votre enfant. (aucune garantie, l'apprentissage des mathématiques du point de vue de l'apprenant étant quelque chose d'extrêmement intime et de fait non reproductible)
Les notions mathématiques ont des prolongements qui induisent ce genre de débat, et il ne me semble pas que l'auteur du post se plaigne de la discussion qui s'en est suivie.
Le plus simple serait sans doute d'y voir l'expression d'une passion partagée plutôt que d'exprimer de la condescendance.
Cordialement
>
> Le plus simple serait sans doute d'y voir
> l'expression d'une passion partagée plutôt que
> d'exprimer de la condescendance.
>
> Cordialement
Touché !
Je vais en tenir compte.
@soland : est-ce que +....88888,00 est un réel ?
Cordialement.
La suite s'appelle selon moi "le développement décimal" du nombre réel.
Le réel est somme d'une série qui utilise la suite et les "fractions décimales de l'unité" (1/10, 1/100 etc...).
Attention : fraction décimale de l'unité est à différencier de fraction décimale (pardon les mouches encore).
Et puis je m'épuise à différencier "fraction décimale" (écriture particulière du nombre) et "nombre décimal" (nature intrinsèque du nombre).
Merci de nous donner un point de vue extérieur (?) qui nous manque parfois. Il y a une violence inhérente à notre discipline. Peut-être un attachement à la recherche de la vérité, qu'est-ce que j'en sais ?
Je répondrais lâchement par une autre question :
Est-ce que Paris est
- La capitale de la France ?
- Le nom de la capitale de la France ?
- Une écriture du nom de la capitale de la France ?
Voila, je suis foncièrement méchant et je m'en réjouis.
e.v.
Pour ta question @ Soland,
je ne vois pas pourquoi tu écris des points de suspension entre "+" et "8888,00" ? Veux-tu évoquer un développement de Hensel d'un nombre déci-adique, autrement dit un brenom ?
Et dans la "définition" plus haut dont, paraît-il, la "teneur mathématique est bonne", il aurait pu préciser a différent de zéro, parce que bon, "la" solution de 0x=0, "fraction", dont "un dénominateur" serait égal 0, et qui aurait "beaucoup" de dénominateurs, ça me laisse rêveur. Désolé! Mais je faisais déjà la leçon à mes profs de collège à propos des trucs non-nuls.
Même remarque pour le coup du multiple entier! racine(2)*0 est entier..
C'est l'éternel débat portant sur la confusion entre objets mathématiques et expressions du langage les désignant.
Alors que dans un magma commutatif noté additivement, on entend par somme aussi bien l'expression "premier facteur, signe plus, second facteur" que l'élément du magma désigné par cette expression, de même dans un magma commutatif noté multiplicativement, on entend par fraction aussi bien l'expression "numérateur, barre de fraction, dénominateur" que l'élément désigné par cette expression lorsque le dénominateur est régulier et qu'il divise le numérateur.
D'où la source des innombrables ambiguïtés et confusions, mais qui ne sont dangereuses que lorsqu'on n'en a pas pris conscience.
Dire ".75 est une fraction" est aussi maladroit et choquant que "3 est une somme", la bonne formulation étant naturellement ".75, comme tout rationnel, peut être mis sous la forme d'une fraction de deux entiers", ce qui est précisément le but de la construction du corps de rationnels.
C'est l'essentiel.
> Etoile Barre écrivait
> @soland : est-ce que +....88888,00 est un réel
et
> remarque écrivait
> il manque un point à l'exposé de soland
Le point décimal a un indice fini ce qui implique qu'il est précédé par un nombre fini de termes.
Cordialement.
Il y a plusieurs manières de définir les réels, par exemple celle, remarquable, via les coupures de Dedekind.
J'en ai donné ci-dessus une autre, en dialogue constructif (j'espère) avec le reste du fil.
Cordialement.
Je n'arriverai sûrement jamais à vous comprendre, à partir d'une question "simple" sur l'apprentissage des fractions au collège vous en arrivez à proposer une énigme pour reconnaître un nombre réel.
(Je n'ai toujours pas su trouver l'indice qui permet de la résoudre)
Je suis peut-être dépassé, après tout avec cette définition au cm2 et en remettant la surjection au programme de 6° vous pourriez faire Cantor en 5°… C'est peut-être cela l'avenir …
La fuite dans la baignoire a pris un coup de vieux.
Cordialement.
Contrairement à ce qu'on peut penser quand on n'a pas eu à enseigner (surtout à des classes), ces questions ne sont pas simples, mais au contraire très difficile (*). Surtout si on ne veut pas revenir à l'enseignement des années 1950 ("tu ne comprends pas ? T'es un imbécile !" j'ai connu, 2 profs de maths sur trois étaient comme ça), ni à la méthode très abstraite des programmes de quatrième et troisième "maths modernes".
Ensuite, sur un sujet délicat se développent des polémiques dues à des incompréhensions, et certains en p(rofitent pour mettre leurs idées au clair. C'est la vie d'un forum.
Cordialement.
(*) Je n'aimerais pas enseigner en collège aujourd'hui. Mais certains s'y font vraiment plaisir (j'en connais).
puis une virgule et une infinité de décimales si le réel n'est pas entier.
C'est l'idée que j'ai essayé de préciser dans mon dernier fil.
La difficulté vient du nombre infini des décimales qu'il faut gérer d'une manière ou d'une autre puisque les roseaux pensotants que nous sommes n'y avons pas accès directement
Et n'oublions pas que l'ensemble des réels effectivement écrits est fini et représente donc exactement $0\%$ des réels concevables.
Nous ne connaîtrons jamais tous les réels à titre individuel, et encore moins leurs propriétés.
Quant à en reconnaître un lorsqu'on le croise...
Sait-on seulement si $\pi\cdot e$ est une fraction ?
J'ai déjà réfléchi à la construction des réels suivante :
On part des rationnels. On en définit le développement décimal (la suite des chiffres....).
Et l'écriture décimale.
On montre que le développement décimale est périodique.
On regarde ce qui se passe pour les développement décimaux non périodiques : on définit les développements quelconques (suite de chiffres...) non nécessairement périodiques.
On définit une addition, le symétrique (opposé).
Puis éventuellent une multiplication...
On cherche à savoir si l'ensemble de ces développements est complet (avec la valeur absolue).
Amusant, à faire... J'avais commencé jadis...
Je n'ai jamais vu cela nulle part mais une source doit bien exister.