Égalités
Bonjour à tous,
J'ai donné aux élèves de 5ème l'exercice suivant :
L'égalité suivante est-elle vraie : 8 * 10 - 5 = 8 * 5.
Certains écrivent :
8 * 10 - 5 = 8 * 5
80 - 5 = 40
75 = 40
Donc l'égalité est fausse.
Comment corriger un tel écrit ?
On peut barrer les égalités successives qui sont écrites, mais quel commentaire indiquer ?
"Tu ne peux pas écrire des égalités qui ne sont pas vraies" ? Pourtant, certaines sont écrites puisque c'est l'exercice.
Et comment l'expliquer aux élèves ?
"Moi j'écris des égalités fausses, car je suis le professeur, mais vous, vous ne devez écrire que des égalités vraies".
Merci, par avance, pour vos avis constructifs.
J'ai donné aux élèves de 5ème l'exercice suivant :
L'égalité suivante est-elle vraie : 8 * 10 - 5 = 8 * 5.
Certains écrivent :
8 * 10 - 5 = 8 * 5
80 - 5 = 40
75 = 40
Donc l'égalité est fausse.
Comment corriger un tel écrit ?
On peut barrer les égalités successives qui sont écrites, mais quel commentaire indiquer ?
"Tu ne peux pas écrire des égalités qui ne sont pas vraies" ? Pourtant, certaines sont écrites puisque c'est l'exercice.
Et comment l'expliquer aux élèves ?
"Moi j'écris des égalités fausses, car je suis le professeur, mais vous, vous ne devez écrire que des égalités vraies".
Merci, par avance, pour vos avis constructifs.
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Réponses
Pourquoi le professeur aurait-il des droits d'écriture refusés aux élèves ? En fait le défaut de présentation vient du manque de commentaires ; suivons la ligne que tu as exposée :
Supposons que l'on ait $8 * 10 - 5 = 8 * 5$, on en déduit (par priorité de la multiplication) $80 - 5 = 40$ soit $75 = 40$ ce qui est faux, donc l'égalité de départ ne saurait être vraie.
Bien entendu que l'élève peut être amené à écrire des égalités "fausses" comme hypothèse.
Bruno
Voici ma solution :
* D'une part, $8 \times 10 - 5 = 80 - 5 = 75$.
* D'autre part, $8 \times 5 = 40$.
* J'en déduis que l'affirmation donnée plus haut est fausse.
Cette solution a été écrite entièrement avec des phrases vraies. Mes élèves ont les mêmes prérogatives que leur professeur de mathématiques.
En particulier, une fois au tableau, ils peuvent interroger des élèves, voire les faire passer au tableau (très très rare).
e.v.
Ecrire cette égalité fausse, ça risque de donner de mauvaises rédactions pour la réciproque et surtout pour la contraposée du théorème de Pythagore.
Et si on ne marque jamais de phrases fausses, on fausse la compréhension des maths. D'ailleurs on ne se prive pas d'écrire $a^n+b^n=c^n$ pour le théorème de XWiles, alors même qu'il dit que cette égalité n'est jamais vraie :-)
Soit $f : A \to B$ une application. Voici la définition de « $f$ est injective » :
$$
\forall x, y \in A, ( f(x)=f(y) \Rightarrow x=y ).
$$
L'égalité est-elle toujours vraie !?
@Arturo
En dehors du fait que c'est très maladroit, le problème est essentiellement que la structure logique n'est pas explicitée. On pourrait très bien écrire : supposons $8*10-5=8*5$ ; on a alors $80-5=40$ puis $75=45$ ; or $75 \neq 45$ donc $8*10-5 \neq 8*5$.
Tu peux aussi leur faire méditer le raisonnement suivant (quelqu'un sera peut-être plus inspiré) : supposons $1=-1$ ; alors $1*1 = (-1)*(-1)$ et donc $1=1$.
Ou pas :-).
Si c'est à moi que tu t'adresses, oui je laisserai les lignes sans les barrer. Par contre, bien entendu je mettrais des commentaires.
Bruno
Je rejoins gerard0 sur la remarque de kioups.
Du coup, je ne sais pas trop quoi lui écrire... :-S
autere chose, plutôt que d'écrire la question : "L'égalité suivante est-elle vraie : 8 * 10 - 5 = 8 * 5 ?", me conseillez-vous d'écrire : "L'égalité suivante est-elle vraie : 8 * 10 - 5 ?= 8 * 5." ? où le ?= signifie que j'écris le symbole d'églité surmonté d'un point d'interrogation pour faire comprendre aux élèves que l'égalité écrite n'est pas forcément correcte et de ne pas, du coup, écrire une succession d'égalité "fausse".
Une égalité est une formule du type $t_1 = t_2$ où $t_1$ et $t_2$ sont deux termes, ici $8 * 10 - 5$ et $8 * 5$, une égalité n'est a priori ni vraie ni fausse et une égalité est formule.
Bruno
Le smessages se sont succedés, c'est pour cela que je ne l'avais pas précisé, je ne savais pas qu'ev avait répondu entre temps.
Et qu'écrirais-tu alors ?
Bruno
Si tu n'es pas avare de ton temps, tu écris en touge comme suit:
si 8 * 10 - 5 = 8 * 5
alors 80 - 5 = 40
alors 75 = 40
Donc l'égalité est fausse
Et tu retires 1/3 des points.
Par ailleurs est mièvre.
Ecris plutôt:
Est-il vrai que 8 * 10 - 5 = 8 * 5?
Bruno
Donc c'est peut-être l'occasion de lui faire dire ce qu'il avait en tête en écrivant cela. Attention ! pas "pourquoi écrivais-tu cela ? " qui amènera une tentative de dire "ce qu'il faut dire", mais "à quoi pensais-tu en écrivant cela ?".
Cordialement.
Un symbole non mathématique dans une expression mathématique ne va pas aider les choses !
Cela dit, je ne suis pas professeur et ne connaît ni le programme auquel vous êtes contraints, ni les dégâts pédagogiques que peut avoir ce genre de symbolisme exotique.
$A\overset{?}{=}B$ est un raccourci symbolique pour indiquer "Supposons que $A=B$. Si l'on obtient une tautologie, alors $A\overset{?}{=}B$ est équivalent à $A=B$. Si l'on obtient une contradiction, il est équivalent à $A\neq B$."
Peut-être qu'il n'y a rien de possible à définir rigoureusement en ce sens, auquel cas je m'incline et c'est un symbole non-mathématique, mais comme dirait mon professeur d'Analyse -je paraphrase-, "les mathématiques consistent à démontrer des propositions sur base de la logique avec des notations qui n'en ont aucune". Cela mis à part, car il s'agit évidemment plus d'un constat critique que d'autre chose, je ne vois pas où il peut être problématique d'utiliser un symbole non-mathématique lorsque celui-ci n'est sujet à aucune ambiguïté et qui, en l'occurrence, indique juste que tu développes les deux membres de "l'éventuellement fausse égalité" de manière simultanée et afin d'en faciliter la comparaison.
Bien entendu, vu la difficulté que j'éprouve à le définir rigoureusement, je reconnais qu'il n'est pas approprié de l'utiliser, d'autant qu'il est assez simple de commencer en disant "Supposons que $A=B$." et d'obtenir " (...) Alors tout".
Bruno
Rien d'officiel, cela va sans dire, mais parfois pratique j'imagine lorsque le temps est compté...
La rigueur étant de mise, il faut se méfier de ces symboles, qui ne sont en fait que des "commodités".
C'est une bonne occasion pour leur apprendre un peu de vocabulaire :
Si $8\cdot 10 - 5 = 8\cdot 5$
alors $75 = 40$
ce qui est faux.
Donc $8\cdot 10 - 5 \neq 8\cdot 5$
Avec de moins en moins de doutes au fil des années, je validerais, dans un contexte de "présomption d'innocence", un raisonnement par équivalences.
Je suis choqué par le message de kioups.
Et je militerais volontiers, si on ouvrait le sujet, pour qu'au collège, le théorème de Pythagore soit formulé (éventuellement comme conclusion de la leçon) par une équivalence, avec toutes les manières de rédiger que cela autoriserait.
Si un tel exercice a déjà été corrigé en classe, pourquoi pas...
Peux-tu développer ?
« Si un tel exercice a déjà été corrigé en classe, pourquoi pas... »
Et sinon ? Si on n'interroge les élèves que sur des exercices types, c'est clair que c'est pas gagné ! Je sais bien que ce sont plus ou moins les instructions mais tout de même...
Je ne parle pas d'exercice-type, je dis juste que pour résoudre un tel exercice, c'est bien, en amont, d'avoir déjà rencontré des démonstrations de ce type.
À te lire on croirait qu'on ne peut plus rien supposer ! Si tel était le cas on serait bien embêté !!
Il a reproduit une chose écrite par certains élèves...
Donc soit un travail sur la rédaction et éventuellement le raisonnement par l'absurde ont été faits en classe, soit on s'expose à ce genre de problèmes. Comme je l'ai dit, je n'aurai certainement pas écrit l'exercice sous cette forme.
Je n'hésite pas à confronter mes élèves à des difficultés ou des nouveautés en évaluation mais les difficultés, c'est pour eux, pas pour ma correction.