Égalités

Bonjour Arturo.

"Moi j'écris des égalités fausses, car je suis le professeur, mais vous, vous ne devez écrire que des égalités vraies".

Pourquoi le professeur aurait-il des droits d'écriture refusés aux élèves ? En fait le défaut de présentation vient du manque de commentaires ; suivons la ligne que tu as exposée :

Supposons que l'on ait $8 * 10 - 5 = 8 * 5$, on en déduit (par priorité de la multiplication) $80 - 5 = 40$ soit $75 = 40$ ce qui est faux, donc l'égalité de départ ne saurait être vraie.

Bien entendu que l'élève peut être amené à écrire des égalités "fausses" comme hypothèse.

Bruno

Heu ... une inégalité n'est pas une égalité fausse.

Et si on ne marque jamais de phrases fausses, on fausse la compréhension des maths. D'ailleurs on ne se prive pas d'écrire $a^n+b^n=c^n$ pour le théorème de XWiles, alors même qu'il dit que cette égalité n'est jamais vraie :-)

Arturo : a écrit:

Donc tu laisserais les lignes de calculs sans les barrer et n'indiquerais aucun commentaire à l'élève alors ?

Si c'est à moi que tu t'adresses, oui je laisserai les lignes sans les barrer. Par contre, bien entendu je mettrais des commentaires.

Bruno

kioups : a écrit:

Je ne sais pas ce qu'en pensent les logiciens mais j'ai envie de dire que, par définition, une égalité est vraie. Sinon, c'est une inégalité. Du coup, j'écrirais comme énoncé : les expressions 8x10-5 et 8x5 sont-elles égales ?

Une égalité est une formule du type $t_1 = t_2$ où $t_1$ et $t_2$ sont deux termes, ici $8 * 10 - 5$ et $8 * 5$, une égalité n'est a priori ni vraie ni fausse et une égalité est formule.

Bruno

Et qu'écrirais-tu alors ?

Là je n'ai pas de réponse, le commentaire dépend de chacun, personnellement, je mettrais que cette suite d'écriture n'est pas un raisonnement et que l'élève se doit de convaincre le lecteur par son argumentation. Je mettrais ce que j'ai écrit et surtout ne changerais pas le raisonnement de l'élève puisque celui-ci est aisément améliorable. J'ajouterais peut-être une seconde solution comme celle d'ev, histoire de montrer qu'il n'y a pas pas unicité de la forme de raisonnement.

Bruno

Et ne fais rien de plus. La réponse de l'élève est très bien (il a oublié les "si..alors", c'est tout!)

Le plus difficile n'est pas de mettre juste ou faux, c'est de faire faire à l'élève une réflexion sur ce qu'il a écrit. Un raisonnement. Et comme on le voit sur les forums, beaucoup d'élèves écrivent des formules mathématiques sans compréhension de ce qu'il écrivent. Quand il ne se refusent pas à écrire une phrase en français sous prétexte que "c'est des maths".

Donc c'est peut-être l'occasion de lui faire dire ce qu'il avait en tête en écrivant cela. Attention ! pas "pourquoi écrivais-tu cela ? " qui amènera une tentative de dire "ce qu'il faut dire", mais "à quoi pensais-tu en écrivant cela ?".

Cordialement.

Il n'existe pas à ma connaissance de symbole non-mathématique. S'il introduit clairement dans son cours que $\overset{?}{=}$ (ou $?=$) est un pur symbole méthodologique indiquant que l'on est en train de vérifier la véracité d'une égalité, je ne vois personnellement pas où est le problème. Après, je suis d'accord que l'on peut discuter dans quelle mesure il est rigoureux de le faire,... mais cela permettra à l'étudiant, je trouve, de montrer rapidement qu'il sait que l'égalité n'est pas nécessairement vraie sans devoir écrire "si (...) si (...) alors (...)".
Cela dit, je ne suis pas professeur et ne connaît ni le programme auquel vous êtes contraints, ni les dégâts pédagogiques que peut avoir ce genre de symbolisme exotique.

Je comprends mieux le sens de ton expression "symbole non-mathématique". Je ne m'y connais pas suffisamment en logique pour être rigoureux dans la définition d'un symbole aussi exotique, ni utiliser des termes exacts en ce but, mais je le définirais de la manière suivante, intuitivement:
$A\overset{?}{=}B$ est un raccourci symbolique pour indiquer "Supposons que $A=B$. Si l'on obtient une tautologie, alors $A\overset{?}{=}B$ est équivalent à $A=B$. Si l'on obtient une contradiction, il est équivalent à $A\neq B$."

Peut-être qu'il n'y a rien de possible à définir rigoureusement en ce sens, auquel cas je m'incline et c'est un symbole non-mathématique, mais comme dirait mon professeur d'Analyse -je paraphrase-, "les mathématiques consistent à démontrer des propositions sur base de la logique avec des notations qui n'en ont aucune". Cela mis à part, car il s'agit évidemment plus d'un constat critique que d'autre chose, je ne vois pas où il peut être problématique d'utiliser un symbole non-mathématique lorsque celui-ci n'est sujet à aucune ambiguïté et qui, en l'occurrence, indique juste que tu développes les deux membres de "l'éventuellement fausse égalité" de manière simultanée et afin d'en faciliter la comparaison.

Bien entendu, vu la difficulté que j'éprouve à le définir rigoureusement, je reconnais qu'il n'est pas approprié de l'utiliser, d'autant qu'il est assez simple de commencer en disant "Supposons que $A=B$." et d'obtenir " (...) Alors tout".

C'est souvent une manière d'écrire la question "est-ce que c'est égal" lors d'une présentation à l'oral.
Rien d'officiel, cela va sans dire, mais parfois pratique j'imagine lorsque le temps est compté...
La rigueur étant de mise, il faut se méfier de ces symboles, qui ne sont en fait que des "commodités".

Même si d'après moi le raisonnement par l'absurde n'est pas tellement au programme même si certains doivent le comprendre comme "ben oui c'est logique".

Bonsoir,

Avec de moins en moins de doutes au fil des années, je validerais, dans un contexte de "présomption d'innocence", un raisonnement par équivalences.
Je suis choqué par le message de kioups.
Et je militerais volontiers, si on ouvrait le sujet, pour qu'au collège, le théorème de Pythagore soit formulé (éventuellement comme conclusion de la leçon) par une équivalence, avec toutes les manières de rédiger que cela autoriserait.

« c'est un coup à se retrouver avec plein de rédactions foireuses pour la contraposée de Pythagore... »

Peux-tu développer ?

« Si un tel exercice a déjà été corrigé en classe, pourquoi pas... »

Et sinon ? Si on n'interroge les élèves que sur des exercices types, c'est clair que c'est pas gagné ! Je sais bien que ce sont plus ou moins les instructions mais tout de même...

Si la structure logique de la preuve est défaillante c'est un problème. Si on affirme un truc faux c'est bien sûr un problème. Mais le problème n'est pas avec l'écriture d'une égalité fausse.

À te lire on croirait qu'on ne peut plus rien supposer ! Si tel était le cas on serait bien embêté !!

Je ne vois pas où tu veux en venir. Tout le monde est d'accord pour dire qu'il manque l'articulation logique (et en particulier le « si » ou le « supposons »). Le problème n'est pas dans l'écriture de l'égalité fausse elle-même. Vraiment je ne vois pas où tu veux en venir.

@kioups

Il a reproduit une chose écrite par certains élèves...

Par exemple la solution proposée par ev. Je ne sais pas. En tout cas la question est mathématiquement parfaitement claire et tout à fait à la portée de collégien ! Je ne vois toujours pas ce qui te gêne ! La question porte sur la maîtrise des priorités des opérations (et peut-être aussi sur les capacités à faire des calculs élémentaires).

Tu cherches à éviter les exercices permettant aux élèves de faire des erreurs et donc de progresser ?

Merci pour ta patience, je pense avoir compris ton point de vue, même si je ne partage pas ta conclusion.