Produit de nombres relatifs avec un facteur 0

Et bien il suffit de dire que quel que soit le signe que l'on affecte à 0, puisque la distance à zéro du produit est égale au produit des distances à zéro des facteurs, on retombe sur nos pieds.

On peut palier cela en mettant d'abord la propriété qui dit que dès qu'un facteur est nul, le produit est nul.
Le cours est ainsi mieux construit peut-être.
Puis donner la propiété ("règle des signe") dans le cas où aucun facteur n'est nul.

On a la même genre de discussion en 5ème : (propriété) le signe du résultat est celui du nombre possédant la plus grande distance à zéro (comme -5+5). On retombe sur nos pieds car on effectue la différence.
Là encore, on disant d'abord : par définition, -5+5 = 0 etc.

En fait c'est comme on veut.

On peut faire : (langage parlé, pour donner juste une idée)

Propriété : Si au moins un des facteurs est nul, alors le produit est nul.

Propriété : Si aucun facteur n'est nul, alors le produit n'est pas nul et vaut - Bla-bla-bla signe et distance à zéro -.

Remarque (éventuellent orale) : on peut étendre la deuxième propriété au cas où l'un des facteurs est nul car cela donne quand même le bon résultat (en choisissant n'importe quel signe).

Selon l'approche il peut s'agir de définitions (au moins pour le produit de deux facteurs).
En vérifiant que c'est compatible avec les priorités vues en 5ème sur les relatifs.

Certes. La question de l'élève est "que choisit-on comme signe pour 0 ?" d'après ce que j'ai compris.
Si on ne dit rien, alors il persiste un oubli, voire un manquement.

Pour voir le problème, comment programmer un ordinateur qui appliquerait cette propriété : comment choisir le signe de 0 ?
On peut dire "quand on voit 0, c'est le signe +", ou pas...

En effet je ne comprends pas.
Et pour $+2\times0$ l'ordinateur, que fait-il ?

Bonjour @Dom,

Les élèves comprennent que zéro est positif et négatif. C'est la définition : un nombre positif est supérieur ou égal à zéro ; un nombre négatif est inférieur ou égal à zéro. Et zéro égal zéro.

Si eux le comprennent, tu le peux aussi.

Dom,

penses-tu vraiment qu'il est faux de penser que 0 est positif et négatif ? En maths, évidemment, ne pas confondre avec les applications informatiques qui règlent les problèmes de signe par des conventions techniques, non mathématiques.

Cordialement.

Je ne vois pas bien où est le problème. 0 est à la fois un nombre positif et négatif. Qu'on le multiplie par un nombre positif ou négatif, d'après la règle des signes, le résultat sera à la fois positif et négatif. Donc égal à 0. Idem pour le produit de plusieurs nombres relatifs.

Je te comprends mieux, Dom.

Mais c'est seulement une question de français, et en français courant, "le" est employé pour désigner une chose unique, mais aussi dans des cas plus flou, indéfinis en genre et en nombre ("le vendeur" peut très bien être une vendeuse, voire plusieurs vendeurs).
Ici, il faut profiter de l'occasion pour féliciter l'élève attentif, expliciter le cas particulier pour lequel justement la règle s'applique encore en prenant n'importe quel signe pour 0.

Plus généralement, je suis très surpris par ces nombreuses questions de pédagogie où des questions de manipulation de la langue sont prises pour des questions de mathématiques. C'est d'autant plus gênant que les contenus mathématiques en collège lycée s'allègent de réforme en réforme (*), mais ceci explique peut-être cela : faute de contenu on discute sur les mots, sur la place d'une virgule.

Cordialement.

(*) dire qu'à une époque on parlait de relations d'ordre et d'équivalence en sixième !

Du coup, ça simplifie les choses. 0 est un cas à part, on multiplie par 0, on obtient 0. Et pis c'est tout !

Suite au message de jacquot :
C'est effectivement un choix. De ce fait, les mots "positiv" et "negativ" ne sont pas des traductions de "positif" et "négatif".

Cordialement.

NB : Quand j'enseignais en collège, lycée, et même IUT, j'employais systématiquement "positif ou nul" pour qu'il n'y ait pas de doute dans la tête des auditeurs.