Réciproque du théorème de Pythagore

L'intérêt est bien plus flagrant si tu mélanges les unités...
Par exemple, AB = 5 m, AC = 120 dm et BC = 1,3 dam.

Arturo a écrit:

Je souhaitais savoir...
Il est bien juste d'indiquer "cm² à chaque fois ?

Oui. Une longueur n'est pas un nombre.

Même si avec des morphismes de morphisme-$^-1$ on peut tout définir, je dirais qu'on effectue des calculs avec des nombres puis qu'on écrit, à l'usage, le résultat avec son unité.
Je pousserais le bouchon pour dire qu'on ajoute pas des longueurs (ajouter une classe à une autre est faisable, certes) mais on ajoute des nombres ( de mètres par exemple ).

Pour être plus précis : le "+" de "6+3" n'est pas le même "+" de "6 cm + 3 cm".

Rien d'officiel dans mon propos, c'est un parti pris.
Ne vous fâchez pas, je n'ai rien contre les mouches.

Mise en garde : il s'agit de se placer dans un cadre "si on fait bien les choses quitte à faire mal aux mouches"


1) Je parle en terme de structure algébrique :
Un nombre n'est pas la même chose qu'une longueur donc l'addition n'est pas la même dans chacun des deux ensembles.
Par exemple le + de $\mathbb R$ n'est pas le même que le + de $C^1([0;1])$ bien qu'on utilise le même symbole.

2)
On choisit le $m$ comme unité de longueur.
$3 cm$ signifie $\frac{3}{100}$ $m$.

L'unité d'aire naturelle est le $m^2$.
Se poser la question sur les écritures $ 3 cm^2$ et $3 (cm)^2$.
Multiplier des $cm$ par des $cm$ donne des $\frac{m}{100}$ par des $\frac{m}{100}$.... est-ce des $\frac{m^2}{100}$ ?

Bon, je détaille un peu ma réponse à arturo, parce qu'il semble y avoir de graves confusions. Il y a un axiome tacite qui munit l'ensemble des grandeurs du monde d'une structure de corps (même si les physiciens professionnels n'utilisent pas l'addition entre des grandeurs de nature différentes), où l'utilisation des signes $+;\times$ est la règle de vocabulaire.

Oublions la pédagogie (qui n'a aucune légitimité ici, elle prend un droit d'énoncer des choses fausses au nom de principe psychologiques, mais personne ne lui a donné ce droit).

On peut évidemment refuser le corps des grandeurs du monde, et j'écris la suite aux gens qui l'acceptent. Nous sommes en sciences. Tout doit être prouvé (ou être déclaré axiome). Il n'y a pas d'enseignement de théorie (démontrée ou admise) qui donnerait gratuitement une correspondance entre le jonglage des nombres avec unités et des nombres sans. Plus gravement, ce ne sont pas les mêmes enseignants qui s'occupent de physique et de maths dans les petites classes.

La conclusion toute bête est que lorsqu'on parle de grandeur, on parle de grandeur, point à la ligne, on ne parle pas de nombre. On applique donc les axiomes usuels. Les nombres sont des grandeurs particulières.

Par exemple, deux grandeurs s'additionnent et se multiplient, en particulier deux longueurs s'additionnent et se multiplient, etc. On obtient un nombre par exemple en divisant une longueur par une autre longueur non nulle, etc. Tout ceci est conséquence (il n'y a absolument rien à ajouter ou de nouveau) triviale du fait de travailler dans le corps des grandeurs du monde (tacite évidemment dans les petites classes). Si la pédagogie veut s'en mêler, elle doit s'astreindre à dire ce qui précède avec les mots qu'elle veut, mais elle ne peut pas le changer.

A la primaire et au collège, ce n'est de toute façon pas spécialement étendu comme chapitre. Ca a une influence pour les théorèmes de Pythagore (qui additionnent des aires), de Thalès (qui gèrent des nombres (purs)), pour les proportions (prog de 5ième) qui gèrent des nombres purs, et pas grand chose de plus (les angles sont des nombres purs, mais la redondance consistant à inventer des unités n'est pas une faute, pas plus que le fait d'inventer un autre mot pour le mot centième (le mot pourcent))

Ce sont les théorèmes de la théorie des corps et pas autre chose qui font que $25(m/s)=90(km/h)$ ou que $100cm\times 100cm = 10000\times cm\times cm$ (prouvez-le en exercice, en ne sautant aucune étape). Il est peu fréquent, et c'est dommage, que les unités d'aire (par exemple) soit souvent choisie comme étant des carrés (par exemple le $cm\times cm$ ou le $km\times km$). On pourrait très bien choisir le $km\times cm$ comme unité d'aire. Ca éviterait parfois bien des soucis aux élèves (dont une partie n'a pas acquis au niveau du réflexe les bonnes réponses aux questions de conversion)

J'illustre ce qui précède avec un argument bien connu.
1/ Admis: à forme fixée, l'aire d'un triangle rectangle est proportionnelle au carré de la longueur de son hypothénuse.
2/ Soit ABC un triangle rectangle en A et H la projeté orthogonal de A sur $(BC)$. Les trois triangles $ABC, AHB, AHC$ ont la même forme (admis). Il existe un nombre $k$ tel qu'on obtient l'aire de chacun en multipliant le carré de la longueur de leur hypothènuse par ce nombre $k$. Cela donne que $BC^2 = AB^2+AC^2$ (cela résulte du fait que $kBC^2 = kAB^2+kAC^2$ qui est l'énoncé $aire(ABC) = aire(ABH) + aire(ACH)$. Le nombre, c'est $k$, le reste ce sont des aires

Dom : le centimètre carré et le mètre carré sont, pour moi, des unités tout à fait logiques. Un m² est l'aire d'un carré de côté 1 m, 1 cm² est l'aire d'un carré de côté 1 cm. Ca ne gêne pas de faire le lien avec le préfixe centi. Il faut juste se rendre compte qu'on n'est plus dans un espace à une dimension, mais à deux dimensions.

@kioups
As-tu bien compris ce que je dis ?
En te lisant, je n'en ai pas l'impression.

1 cL est un centième de Litre,
1 cm est un centième de mètre,
1 cg est un centième de gramme,
1 cm2 n'est pas un centième de m2,
1 cm3 n'est pas un centième de m3.

Conclusion : le préfixe "c" ne signifie pas toujours "centième" et nous devrions écrire des parenthèses autour de (cm) à partir de là dimension 2.

Remarque : un tas d'erreurs (dont tout le monde se fiche) est d'ailleurs dans les réponses aux consignes du type "donner la valeur en $m^2$ arrondie au $cm^2$". L'auteur attend en général un arrondi à 0,01 alors qu'ici la consigne demande un arrondi à 0,0001.

@jacquot
J'ai le souvenir d'avoir raconté cela en "Géométrie" ... ou "Pédagogie".

Assez d'accord.
Tu as raison de ne pas être d'accord avec moi ;-).
Les exemples que tu choisis sont éloquents.

Racine carrée de 27 cm

Ta notation est ambigue, on ne sait pas si tu parles de
Racine carrée de (27cm)
ou de
(Racine carrée de 27)cm

J'avoue avoir lu en diagonale mais je voulais revenir sur l'aspect plus pédagogique de la question initiale.
J'avais aussi tendance à écrire tous les calculs sans les unités, dans le cas précis qui est donné, et j'ai d'ailleurs toujours tendance. Mais je pense qu'il ne faut pas totalement occulter la question des unités malgré tout parce qu'il arrive toujours un moment où un élève écrira $BC^2=25cm$ et là il ne comprendra pas pourquoi il n'est pas cohérent de parler de centimètres dans ce cadre. Pour l'élève ordinaire, les $cm^2$ interviennent lorsque l'on calcule une aire. Or, dans ce cadre, il ne voit pas en quoi nous aurions calculé une aire (même "cachée"). Donc j'opte pour le fait quand même de faire un laïus sur l'unité qui convient pour exprimer $BC^2$, de leur expliquer pourquoi, puis de dire que dans le calcul on n'écrira pas les unités, en justifiant toujours les choix opérés. Peu d'élèves comprennent seuls pourquoi on écrirait $BC^2=25cm^2$.

Dom : si, si, j'ai bien lu. Mais tu n'as pas dû bien me lire. Comment peux-tu affirmer que l'auteur d'un énoncé attend un arrondi au centième et pas au centimètre carré ?

Christophe : si l'unité de mesure est clairement fixée (dans l'énoncé ou, mieux, en début de rédaction de solution), je ne comprends pas pourquoi c'est faux d'écrire les calculs seulement avec les "mesures" (cf. mon message précédent). Les unités ne sont-elles pas, de fait, sous-entendues (j'ai pas dit qu'elle l'étaient dans la tête des élèves) ?
Exemple :
A est un point d'un segment [BC] tel AB = 3 cm, AC = 2 cm.
Calcule BC.
BC = AB + AC = 3 + 2 = 5.
Donc la longueur BC est égale à 5 cm.

Pour Dom :

J'ai toujours appris à écrire centimètre carré, et pas centi mètre-carré. En général, on apprend cette notion avec les mots, puis on voit l'abréviation cm² dans laquelle c et m ne sont pas des variables que l'on multiplie, mais la notation du cm. Exactement comme en géométrie, on écrit AB² sans mettre le point B au carré :-).

Cordialement.

@Mickael,



Voilà le message que retient l'élève, message qui est faux. Ce n'est pas parce que le prof sait où il va, en l’occurrence sait qu'il fera des additions et rien que des additions qui donc par distributivité dans le corps des grandeurs du monde donnera le bon résultat que l'élève capte ces restrictions.

Encore une fois (je l'ai dit ci-dessus), je comprends qu'il soit pénible parfois d'écrire les choses correctement, mais on ne peut pas sortir de la correctitude et continuer de supposer que "le secret intime et communautaire" (ici la communauté, c'est les matheux) qui maintient des murs invisibles qui enclavent le "valable" soit deviné par miracle par l'enfant.

Et de fait, il ne l'est tout simplement pas. Les conversions d'unité de vitesse par les collégiens l'illustrent, les conversions d'unité d'aire ou de volume aussi, etc. De plus, c'est complètement idiot de substituer des explications pédagogiques infondées basées sur un soit disant bon sens que l'enfant n'a par définition pas pour établir des choses qui sont des théorèmes classiques que les collégiens ont déjà appris (par exemple $90\times km/H = 90\times 1000\times m / H = 90 000 \times m / (3600 \times s) = (90000/3600) \times (m/s)$)

edit Je réponds au post d'avant

Je maintiens que la notation $cm^2 $ est abusive.

@dom, ce que tu écris n'est pas facile à suivre. C'est trop allusif en général. Par ailleurs, en dehors de l'éventuelle confusion déjà discutée $c(m^2)$ (faite par quelqu'un qui confondrait $cm$ avec $c\times m$), le fait que $cm^2 = cm\times cm$ ne pose aucun problème. Pas plus que $dom^2=dom\times dom$. Il ne faut pas confondre les niveaux: $X^2$ est une abréviation de $X\times X$ pour tout $X$. De la même façon que $f(55)$ abrège image de 55 par la fonction $f$ même pour la fonction $f:=\emptyset$ et que $2/0$ abrège nombre qui donne $2$ quand on le multiplie par $0$.

Il ne faut pas confondre la syntaxe, ie les règles d'abréviation avec l'existence ou non des objets sous-jacents (qui ne relève pas des maths, puisque fait appel au "sens"). Evidemment, il y a des homonymies, des limites de contexte, mais ce sont des éthiques syntaxiques.

Il te suffit de reconnaître que le "c" de cL n'est pas le même que le "c" de cm^3 et pourtant on parle de volume dans les deux cas. Et dans un cas $cm$ = $c\times m$ pour $c=\frac{1}{100}$ mais pas dans l'autre.
Tu le sais d'ailleurs et je rappelle que dans la discussion, c'était une remarque d'un de mes messages pour faire réfléchir un lecteur qui ne l'aurait pas fait.

Pour le sujet posé, j'avoue ne pas savoir ce qui est le mieux (pour des élèves).
Je suis sûr (allez, je m'avance) que personne ne fait ce que tu sembles préconiser : écrire toutes les unités dans tous les calculs.
Qu'on m'envoie un scan complet du cahier dans ce cas (petit lol).

Je pense qu'il faudrait le faire, mais le ferais-je ?
Dans tout établissement ? Dans tous les niveaux ? Dans toutes les classes ?
Que l'on me prouve que cela a déjà été fait, ne serait-ce que tout un trimestre.
Évitons le "faites ce que je vous dis, pas ce que je fais".
Donc je suis d'accord "il le faut" mais personne ne le fait vraiment.

Donc tu as fait du faux au lycée, ensuite ?

Bonjour, je suis sincèrement désolé.

Je voulais juste dire que je définis une surface comme un produit de deux longueurs.

Un volume comme le produit de trois longueurs.

Il n'est pas trop important de parler d'unité, car ça ne fait que brouiller le message. Il faut parler de « dimension ». En effet le théorème de Pythagore manipule des aires et ça on ne le dit pas souvent. C'est le message principal à retenir. L'unité utilisée n'a aucune importance en réalité.

Du moment que l'on n'additionne pas « des choux et des carottes » on peut se permettre d' « oublier » l'unité je crois. Mais il faut faire attention car une longueur au carré n'est pas une longueur.

@Michael

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1181105,1181945#msg-1181945

Je ne réponds qu'à ton premier paragraphe car je n'ai rien à ajouter pour les suivants. C'est faux parce que $4cm\neq 4$ ou encore $3kg+5kg\neq 8$, etc. Je redis ce que j'ai dit: seules des additions sont possibles en enlevant l'unité puis en la remettant et ceci n'est pas dû à je ne quelle théorie mystérieuse, mais à la distributivité dans le CGM.

De même, la totalité des choses élémentaires qu'on peut affirmer ne sont vraies que parce que démontrable dans le CGM. Or les axiomes du CGM sont déjà connus depuis la primaire par les élèves. Il n'y a pas à laisser croire qu'on sortirait de ce cadre pour argumenter. Par exemple $3\times (4cm) = 3\times (4 \times cm) = (3\times 4)\times cm = 12cm$, etc.

A mes posts d'avant, j'ai déjà raconté comment et pourquoi les élèves sont encouragés à écrire n'importe quoi par les enseignements. (par exemple le 1-2-3 que je t'ai répondu). Les exemples sont multiples et ne vivent pas tous loin de là dans le thème des unités. En étant un peu attentif, on s'aperçoit qu'au moins*** 90% de ce qui est raconté par les enseignants du cp à la 3e est mathématiquement faux ou invalide. On ne peut absolument pas avoir l'air de bonne foi en faisantsemblant de s'étonner qu'ensuite 99% environ des élèves produisent de l'astrologie aléatoire quand ils sont en interro de mathématique.

*** je pèse mes mots: ça va de l'abus de langage convivial, à du faux à quelques nuances (dites compliquantes) près prétendument légitimé par la simplicité gagnée. Si tu veux et si j'ai le courage, un jour je te déroulerai la liste complète de la CE2 à la 4e.

@christophe c (cf. ce message)

Déjà, merci pour ta réponse.

Ensuite, je sais bien que "$4cm\neq 4$ ou encore $3kg+5kg\neq 8$", j'en ai même parlé ici.
Ma question n'était probablement pas très claire, j'en conviens, et l'exemple que j'ai écrit plus haut ajoute à la confusion car je n'ai pas écrit ce que j'avais en tête (j'étais avec mon téléphone et je suis allé un peu vite en besogne). Alors, je recommence.

Je ne comprends pas pourquoi les résolutions suivantes sont fausses selon toi (si j'ai bien compris ton propos) :

---

Exercice 1 : Toto achète $100 g$ de bonbons et son copain Tutu en achète $75 g$. Quelle masse de bonbons, Toto et Tutu vont-ils pouvoir ingurgiter avant d'aller chez le dentiste ?

$100 + 75 = 175$
Toto et Tutu vont pouvoir se pourrir les dents avec $175 g$ de bonbons.


Exercice 2 : Firmin, 92 ans, s'en va au terrain de pétanque rejoindre ses copains encore vivants. Firmin marche a une vitesse moyenne de $400 m/h$ et il lui faut $4 h$ pour rejoindre le terrain de pétanque. À quelle distance habite-t-il de son lieu de sport préféré ?

$400 \times 4 = 1600$
Firmin habite donc à $1600 m$ du terrain de pétanque.

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Autrement dit, qu'est-ce qui m'"interdit" de calculer avec les mesures pour résoudre ces exercices ? Pourquoi, mathématiquement parlant, je suis obligé de calculer avec les "grandeurs" (les unités dans les calculs) ?
C'est ça que je ne comprends pas, je ne vois pas en quoi j'écris des choses fausses ci-dessus.

Qu'on s'entende bien, je suis convaincu de l'intérêt de travailler avec les unités régulièrement ou de faire réfléchir les élèves à ce sujet, pas de souci. Ma question porte vraiment sur le pourquoi c'est faux si on raisonne/calcule avec les mesures.

Deuxième question :
Problème : Giuseppe et Hanz vont à Ikéa acheter de quoi ranger leur collection de cartes pokemon.
Giuseppe achète des boîtes à 3,3 euros l'une et des classeurs qui coûte 2,5 € l'unité.
Hanz achète des boîtes à 4,1 euros l'une et des classeurs à 2,8 euros l'unité.
Ils achètent chacun le même nombre de boîtes et de classeurs, Giuseppe paie 43,8 € et Hanz Combien de boîtes et de classeurs ont acheté chacun des deux compères ?

Si tu veux résoudre ce problème (passionnant ! :-P) à l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues, tu vas vraiment écrire toutes les unités ? Un truc du genre :

Soient $x$ le nombre de boîtes achetées par l'un des deux protagonistes et $y$ le nombre de classeurs achetés par un des deux copains.
On obtient le système :
$\begin{cases}
3,3 \ \text{€/boîte} \times x \ + \ 2,5 \ \text{€/classeur} \times y = 37,3 € \\
4,1 \ \text{€/boîte} \times x \ + \ 2,8 \ \text{€/classeur} \times y = 44,2 €
\end{cases}$

Est-ce bien ce que tu dis ou alors je n'ai pas pigé un truc ?

Merci par avance.

Salut Michael, je pense que ce que dit Christophe est vrai mais je pense que par convention on n'écrit pas les unités dans un calcul en physique mais on les met à la fin.

Si on écrit les unités à l'intérieur même du calcul, ce n'est pas faux. Par exemple j'ai le droit de dire $(1\textrm{ cm})\times (1\textrm{ cm})=1\textrm{ cm}^2$. C'est juste que par convention on ne les écrit pas. En tous cas, par convention, on élimine toutes les unités dans un calcul. Tout simplement parce que cela devient illisible sinon. Rien n'empêche d'écrire :

$$x=3\textrm{ m}\cdot\textrm{s}^{-1},y=230\textrm{ s},x\times y=230\times 3=690\textrm{ m}$$

Dans ce cas on sous entend que $x\times y=230\times 3=690\textrm{ m}$ est équivalent à $x\times y=(230\times 3=690)\textrm{ m}$. Si on écrit toutes les unités dans le calcul, ce n'est pas « très gênant » mais ça peut devenir illisible... D'autant plus que si on écrit $1\textrm{ cm}+1\textrm{ m}$, cela peut avoir du sens, soit $1\textrm{ cm}+1\textrm{ m}=1,01\textrm{ m}$. Mais à nouveau par convention, on fait tous les calculs après avoir homogénéisé toutes les grandeurs (en physique en tous cas).

Le problème que Christophe soulève je pense c'est la question de l'implicite VS explicite (voir plus bas).

Le problème sur la personne qui marche à la vitesse $v=400\textrm{ m/h}$, ce ne sont pas vraiment des mathématiques mais de la physique.

Tout ça est implicite en tous cas. On sait bien que $400\textrm{ m/h}$, c'est $\dfrac{400\textrm{ m}}{1\textrm{ heure}}$. Le problème c'est que les élèves en général ne le savent pas (ou alors écarquillent les yeux quand on leur explique) parce que c'est passé sous silence la plupart du temps. Alors qu'on devrait commencer par expliquer cela.

La relation $v=d/t$ a du sens quelles que soient les unités utilisées et c'est ce sens là qui est important.

Moi ce qui me gêne dans tes deux calculs (exercices 1 et 2) c'est que tu fais le calcul et tu transcris l'unité après. Mais ça ne veut rien dire ! Justement à cause de ce que j'ai dit plus haut ! Soit tu écris $m_1+m_2=75+90=165\textrm{ g}$, soit tu écris $m=75\textrm{ g}+90\textrm{ g}=165\textrm{ g}$, mais si tu dis $75+90=165$, donc la masse totale est de $165\textrm{ g}$, tu as fait une faute grave à mon avis. J'ai pas mal d'élèves qui font cela, mais je trouve que c'est faux et même grave.

Pourquoi grave ? Tout simplement car il n'y a aucune connexion logique entre $75+90=165$ et $m_1+m_2=165\textrm{ g}$.

Évidemment je ne les sanctionne pas pour cela, « ils ont appris que [...] », mais bon...

Bizarre, car en général on dit "j'appelle $x$ le nombre de boîtes" donc "boîtes" n'est pas une unité. Non ?

Si "boite" n'est pas une unité, alors "€/boite" non plus :-)

@gerard0, Dom : Certes, je suis allé un peu vite en besogne.
Cela dit, il ne s'agit pas de "ma" logique, j'essaie juste de comprendre pourquoi il est (serait) faux de calculer avec les nombres (sans les unités).
Mais si le fait de prendre "boîte" comme unité est gênant, j'en conviens, changeons le problème et parlons de masse de viande de poulet et de boeuf (en $kg$) coûtant un certain prix au kilogramme ($€/kg$) et les acolytes paient un certain prix (en €). Ou de vitesse ($km/h$), durée ($h$), distance ($km$), peu importe. Vous voyez bien quelle était la question que je posais à christophe c. : écrira-t-il vraiment son système avec toutes les unités ?

@albertine : je ne comprends toujours pas pourquoi c'est, je cite, "grave et faux".
Et je ne comprends pas non plus pourquoi il n'y a aucune connexion logique entre $75+90=165$ et $m_1+m_2=165\textrm{ g}$.
$75 g$ désigne un certain nombre de grammes, $90 g$ également. Donc pour connaître le nombre total de $g$, j'effectue bien $75+90$, non ? Alors, certes, comme l'a dit christophe c, il y a une distributivité sous-entendue et je ne remets pas ça en cause, loin s'en faut. Je voudrais justement comprendre en quoi résoudre l'exercice 1 ou l'exercice 2 comme je l'ai fait est faux (on ne parle de "maladresse" ou d'"erreur didactique" ou de ne je ne sais quoi, on parle carrément de faux !). Mathématiquement, en quoi ce que j'ai écrit est faux ?

Concernant ce message, je suis d'accord avec toi.

Quant à écrire $x\times y=230\times 3=690\textrm{ m}$, je me suis déjà exprimé à ce sujet (c'est ici) et je trouve, pour le coup, qu'il s'agit d'une écriture incorrecte (parce que $230 \times 3 = 690$ et non $690 m$).

Je suis d'accord avec toi sur ton exemple, ce que tu as écrit est faux. Pas de souci.
Mais je n'ai nulle part écrit un truc pareil, justement.

Je reprends ton exemple, si je reste dans la même lignée que mes rédactions précédentes, voilà ce que ça donnerait :
$x = 1 cm = 0,01 m$.

$0,01 + 1 = 1,01$.

Donc $x+y = 1,01 m$.