Quadruplet et produit cartésien

Bonjour,
J'ai toujours cru que le produit d'ensembles était associatif, où est le problème ?

J'ai toujours cru que le produit d'ensembles était associatif, où est le problème ?

Hélas, elle ne l'est pas. Tu dois confondre avec les cardinaux: il y a une bijection entre $(A\times \times C$ et $A\times (B\times C)$ (et même entre $A\times B$ et $B\times A$ :-D )

Est-il correct d'écrire (par exemple) : Pour tout quadruplet (m,n,a,b) € N² x Z².... au lieu de (m,n,a,b) € N x N x Z x Z ?

Non, ça ne l'est pas. Le deuxième est ((N×N)×Z)×Z

Bosoir,

> Si on en croit la tradition il vaut mieux en avoir une paire de plus qu'une paire de moins

ev, tu l'as ratée, celle là.

Cordialement,

Rescassol

Je pense que ça suffira à te convaincre, mais des fois que non, vu que je me déconnecte, je continue. Tu déduis de la manière que $7=(3,7)$, puis que $3=6$

Je crois que dans les milieux autorisés, on s'autorise à dire quelque chose comme "le produit est associatif à isomorphisme canonique près", non ?

Et attention un isomorphisme canonique, ce n'est pas de la roupie de sansonnet. ;-)

@skilveg : Mais je ne reprochais à personne d'amalgamer quoique ce soit ici, c'est juste un problème que j'ai régulièrement constaté. :-)
Et non isomorphisme canonique ne justifie pas de mettre un signe égal. Un isomorphisme $X \simeq Y$ est canonique si l'on connait explicitement la flèche qui va de $X$ dans $Y$ et qui réalise l'isomorphisme. En pratique, il est bien entendu souvent impératif de connaître explicitement les flèches, les isomorphismes ne sont intéressants que s'ils sont canoniques. Et là arrive alors un autre piège dans lequel j'ai vu énormément d'étudiants tomber, c'est de retenir que deux objets sont isomorphes mais oublier la flèche qui réalise l'isomorphisme. Or celle-ci est tout aussi importante, voire plus importe que le reste.

@Cyrano, il faut faire attention à ce que les visiteurs comprendront de ce fil quand ils le visiteront. Certes il "arrive" parfois que "en algèbre" on regarde les classes d'isomorphisme et qu'on passe de la catégorie à son (un de ses) squelettes. Mais ceci concerne des contextes de recherche précis et précisés au départ. Cela n'a rien à voir avec ce fil. Par ailleurs, l'aspect catégorique ne change rien à l'affaire: même dans une catégorie cartésienne un $(A\times \times C$ n'a pas de raison d'être EGAL à $A\times (B\times C)$.

Dans le contexte présent du fil, l'isomorphisme n'a aucun intérêt et ne compte pas. Les isomorphismes de ENS sont les bijections. Il est clair que si un gars veut demander si $card((A\times \times C) = card(A\times (B\times C))$, il le demandera comme ça (il n'ira jamais parler d'égalité, à moins d'être un étudiant à la ramasse qui ne comprend pas lui-même ce qu'il raconte comme on en croise une proportion sur le forum).

Pour insister lourdement et être tout à fait clair (et je fais remarquer que je ne me sers pas de la définition ensembliste du couple, elle peut être n'importe laquelle qui convient), je rappelle la preuve déjà signalée:



Je rappelle aussi quelques conventions:

La notation $A\times B\times C$ abrège $(A\times \times C$. Cette règle permet de ne pas écrire des parenthèses qui sont présentes quand-même (visibles par le cerveau mais pas l'oeil).

Pour être tout à fait complet, je signale aussi une homonymie routinière mais fautive: $E^2$ veut dire 2 choses (qui sont différentes***):
1) il abrège $E\times E$
2) il abrège ensemble des applications de $2$ dans $E$ (je rappelle que $2=\{0;1\}$ et $1=\{0\}$ et $0=\emptyset$.

Or ces deux choses sont différentes. Quand $n\neq 2$, par contre, il n'y a pas d'ambiguité, $E^a$ veut TOUJOURS dire ensemble des applications de $a$ dans $E$. En particulier $E^0$ veut dire ensemble des applications de $\emptyset $ dans $E$ et $E^1$ veut dire ensemble des applications de $1$ dans $E$.

*** c'est le contexte qui permet de trancher (comme pour le $+$ de $\R$ et le $+$ de $\C$)

@Christophe C : Bien entendu, je n'ai jamais dit le contraire, je me suis quelque peu éloigné de la question initiale en lisant les réponses. :-)
Il n'empêche que je trouve, que pour un "débutant", il est important de trouver seul la flèche "naturelle" qui réalise l'isomorphisme $(X \times Y) \times Z \simeq X \times (Y \times Z),$ à savoir $((x,y),z) \mapsto (x,(y,z)).$ Elle est certes terriblement triviale, mais c'est selon moi une bonne habitude à prendre.

@skilveg : Tout dépend de ce qu'on entend par explicite, si c'est "calculable par une gentille formule" alors je dirais non. Canoniser les choses c'est simplement faire un choix. Lorsque qu'on sait que deux objets $X$ et $Y$ sont isomorphes, il y a potentiellement plein d'isomorphismes différents entre les deux. Canoniser l'expression consiste à se fixer une fois pour toute un $f : X \to Y$ tel que $X \underset{f}\simeq Y.$ Dans de nombreuses situations, il y a un isomorphisme "naturel et intuitif" à choisir mais ce n'est pas toujours le cas.

Le mot canonique n'est pas mathématique. Par contre, concernant les isomorphismes certains ont des propriétés générales que les autres n'ont pas.

Pour tous $a,b\in\mathbb{N}$ et $c,d\in\mathbb{Z}$ est peut-être une alternative économique en caractères et qui passe mieux à la moulinette informalisatrice?

Dépendant bien sûr de ce qu'on veut faire de ce début d'alphabet

Pour tous $a,b\in\mathbb N$ et $c,d \mathbb Z$ est peut-être une alternative économique en caractères et qui passe mieux à la moulinette informalisatrice?

Dans ce cas, $(a,b)\in\mathbb N^2$ et $(c,d) \in\mathbb Z^2$ qu'il vaut mieux écrire... Pardon aux mouches, tout ça...

Pas sûr d'être d'accord, Dom.
Après cela on peut considérer les couplages dont on a (éventuellement : il faudrait que l'auteur précise ce qui doit suivre cette palpitante introdruction..) besoin.

Que ce serait un abus d'écriture.
(Toutes proportions gardées : le moindre mot est sûrement un abus d'écriture, suivant le degré de capillotomie chosi)

Bonsoir,
Ayant cherché des références dans un ouvrage classique publié sous la direction de Paul Augé, je trouve :
Canonique. Conforme, relatif aux canons de l'Eglise.
Fam. Conforme aux bonnes règles.
Math. Canonique est employé dans le sens de général, principal.
Ceci mis à part et en restant à un niveau scolaire, il me plaît assez de pouvoir définir un point de l'espace aussi bien par ses trois projections sur les axes que par un point du plan horizontal et un point de l'axe vertical, voire par trois coordonnées sans aller creuser trop loin.