Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10

Bonjour,
Par définition $0,1=\frac 1 { 10} $
Par définition $\frac 1 { 10} $ est l'inverse de $10$
et toujours par définition (de la division )
Diviser $a $ par un non nul $b $, c'est multiplier $a $ par l'inverse de $b $.En d'autres termes $\frac a b =a\times \frac 1 b $


Voilà pour le cadre théorique.
Maintenant, je ne sais pas dans quel ordre tout ça se met en place pour l'enfant de CM ou de sixième. ..

Bonjour.

En m'appuyant sur la propriété suivante :

Si, dans une multiplication $a\times b$ je divise $a$ par 10, le résultat est divisé par 10.
Si, dans cette multiplication je multiplie $b$ par 10, le résultat est multiplié par 10.

Je fais les deux (l'un après l'autre) : $(a\times b) =(a÷10)\times(b\times 10)$

Ensuite, on applique avec $b=0.1$ :
$(a\times 0.1) =(a÷10)\times(0.1\times 10)=(a÷10)\times 1 = (a÷10)$

Normalement tu as vu les fractions décimales de l'unité pour parler des nombres décimaux non entiers.
Puis pour écrire sans trop de symboles, tu as vu l'écriture décimale (qui prolonge celle des entiers).
Cas particuliers : 0,1 - 0,01 - 0,001 etc.

Tu donc vu :
cinq dixièmes c'est $5\times \frac1{10}$ qui est plus simplement noté $\frac{5}{10}$ qui s'écrit aussi $0,5$

Une façon de faire :
Définir "diviser par 10", c'est rendre le nombre dix fois plus petits, les fractions décimales de l'unité (ne) servent (qu') à ça.

Définir : multiplier par 0,1 (selon moi c'est le plus dur pour un élève de 6eme - les multiplications par des nombres non entiers). Le définir comme "c'est diviser par 10" est peut-être le plus pertinent.

Évidemment, tous les formalismes vus plus haut sont justes.
La question relève de la cohérence du propos vis à vis de ce que "sait" un élève de sixième.

$$a / b = (a/b) \times 1 = (a/b) \times b\times (1/b) = a\times (1/b)$$
avec 10, ça donne
$$a/10 = (a/10)\times 1 = (a/10) \times 10 \times (1/10) = a\times (1/10) =a\times 0.1$$

Les admis sont ceux de l'école primaire.

@christophe c
Vas faire un tour en primaire (et en 6eme), expose ton truc, et reviens poster des messages.
Allez, un peu de bousculade cordiale : « Enfin ! Évidemment que ce que tu écris est juste, on parle de 6eme là ! ».

@tous
"Diviser revient à multiplier par l'inverse" c'est en 4eme.
Sauf avec les écritures (nombre 10 que j'ai rappelée issue de la 6eme et surtout du sens que l'on donne à tout ça.

Réponse type : « Monsieur, j'ai compris ce que vous avez dit (écrit ndlr). Mais pourquoi multiplier par 0,1 c'est pareil que diviser par 10 ? ».

.

Pour acquérir une notion, une définition, il ne suffit pas de la lire.
C'est juste pour dire que tout ce qui est écrit dans ce fil est valide.

Au passage, ton dernier post est, selon moi, bien plus pertinent en sixième que celui qui le précédait.
Et ce n'est pas, pour le coup, de la pédagogie chien-chien (que je dénonce aussi !).

Pire, crier que si c'est comme ça, elle comptera dans la moyenne, et avec le coefficient [large]0[/large] !

Ce que je faisais lorsque j’embêtais encore les élèves de sixième.

Prérequis :
- Savoir faire des changements d'unités "en ligne"
- Savoir" ou être habitué à l'idée : si un calcul est vrai sur des nombres concrets , il est vrai sur les nombres purs"correspondants"

Après ça :
I) 1 m : 10 = 1 dm = 0,1 m = 0,1 × 1 m

ou

II) Exemple ( diviser par 0,1) [ pris dans le texte "Numération" infra ]

Combien de pièces de 10 centimes faut-il pour obtenir 56,20 F ?
Le résultat est le résultat de la division de 56,20 F par 0,10 F.
Mais, comme il y 10 pièces de 10 centimes dans 1 Franc , il y en aura
56 fois plus dans 56 Francs , c’est-à-dire 560 pièces de 10 centimes et
il faut 2 pièces de 10 centimes pour obtenir 0,20 F.
Il faut donc 560 + 2 = 562 pièces de 1 centimes.
Donc 56,2 : 0,1 = 562 et 56,2 × 10 = 562
Donc diviser par 0,1 revient à multiplier par 10.

Vieux documents :
Changements d'unités :
http://michel.delord.free.fr/unites.pdf

Numération : http://michel.delord.free.fr/6num.pdf

Cher bisam

désolé du retard, j'avais qq problèmes familiaux.

Vous écrivez :" Monsieur ? C'est quoi des Francs" ? "

Je ne comprends pas ce que signifie le": p" à la fin de votre phrase.

Ceci dit, si l'on prend le dictionnaire Larousse, la définition de "franc " est :

Ancienne unité monétaire principale de la France (franc français, qui avait également cours en principauté d'Andorre et à Monaco), de la Belgique (franc belge) et du Luxembourg (franc luxembourgeois). [Devenus dès le 1er janvier 1999 des subdivisions de l'euro, le franc français, le franc belge et le franc luxembourgeois cessent d'exister, au profit de la monnaie unique européenne, en 2002.

Et on a encore mieux avec :http://atilf.atilf.fr/dendien/scripts/tlfiv5/visusel.exe?13;s=2857709010;r=1;nat=;sol=3;

Mais je suppose que ce n'est pas cela qui vous intéresse puisque vous étiez tout à fait capable par vous-même de trouver cette définition.

Donc que voulez-vous savoir ?*

MD

* Effectivement la définition "savante" de l'unité franc ( c'est d'ailleurs le même problème pour l'euro) pose un certain nombre de problèmes. Et l'on peut remarquer que le courant de pensée qui recommande maintenant l'enseignement des grandeurs en primaire demande assez régulièrement que - vite dit - l'on enseigne d'abord les grandeurs avant d'enseigner la mesure des grandeurs . Mais que cela veut-il dire dans le cas de la monnaie ?

"La Terre a 2016 ans" est une affirmation courante sur Twitter par les jeunes. :-S

Finalement je dévie un peu mais se pose-t-on vraiment la question en ces termes " multiplier par 0,1, c'est diviser par 10" en sixième ? Car effectivement la première chose qui vient à l'esprit comme l'a dit Kioups c'est le fait que diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse (ce qui est au programme de 4ième).
Ce qui doit d'ailleurs plutôt te servir serait le passage de la division par 10 à la multiplication par 0,1, pour trouver un procédé mental pour diviser par 10.
Multiplier par 0,1 l'élève peut facilement le faire de tête en "imaginant" poser la multiplication, je pense que c'est assez naturel.
Pour justifier sinon la multiplication par 0,1, multiplier par $\frac{1}{10}$ c'est prendre un dixième de la quantité, et l'on peut expliquer alors les choses avec un tableau "dizaines-unités-dixièmes-centièmes" etc, normalement l'élève devrait avoir travaillé longuement en CM1-CM2 sur ce type de support (ce n'est malheureusement pas toujours le cas) pour mieux appréhender les nombres décimaux. Ainsi, on commencera par comprendre ce qui se passe sur les entiers (45 dizaines font 450 par ex), puis on passera aux décimaux (une fois comprise et introduite les fractions décimales), pour travailler sur des exemples du type 42 centièmes, et on apprendra alors à manipuler les différentes écritures d'un même nombre. Je pense alors que l'on introduit assez naturellement la multiplication par $\frac{1}{10}$.
Le passage à la division me semble en revanche moins naturelle pour un élève de 6ième puisqu'il s'agit plus globalement de la transformation d'un quotient en un produit.
Si l'on part du fait que le quotient de $b$ par 10 est le nombre $a$ qui multiplié par $10$ donne $b$, ça c'est au programme de 6ième, on peut alors écrire $a \times 10 = b$., puis en multipliant par $0,1$ chaque membre de l'égalité on obtient $a=b \times 0,1$.
L'idée de passer par les euros et centimes semble pas mal non plus, cela rend les choses plus concrètes.

@Tryss: le cerveau n'accepte immédiatement que $a=b\to (f(a)=f(a) \to f(a)=f(b))$

@christophe c
Je ne comprends pas ton message.
La négation ambiguë et l'implication finale.
Coquille(S) ou pas ?


Pour ma part, cette "évidence" a=b entraîne f(a)=f(b) n'en est pas une pour les gamins.
Même jusqu'au lycée quand on parle de "substitution" ça passe mal.

En fait, le symbole "=" n'est pas compris à mon sens.
Il suffit de constater encore au lycée des lignes telles quelles : 2+1=3-2=1+100=101.

@christophe c
Je crois que ce n'est pas du temps de perdu !

Petite question :
Tu donnes la définition : tout ce qui arrive à $x$ arrive à $y$.
Puis tu "prouves" la réciproque. (Le relation est symétrique).
Mais je trouve cela étrange, je suis certain que cela reste ambiguë pour certains (peu majoritaires j'en conviens).

Je préférerais en tant que définition : tout ce qui arrive à $x$ arrive à $y$ et tout ce qui arrive à $y$ arrive à $x$.
De toute manière cette définition vulgarisante me déplaît (voir la remarque) et c'est un autre débat.

En effet, selon ta définition : 3=9.
3 est dans la table de 3 et 9 est dans la table de 3.
Évidemment, je sais que je pinaille, je donne un exemple qui peut interloquer plus d'un élève (voire étudiant).
Quand je parle d'ambiguïté, c'est dans l'énoncé non mathématique "ce qui arrive à".
Le "tout" n'est pas clair non plus selon moi.
Autre exemple : 2=3-1 mais 2 s'écrit avec un seul symbole alors que 3-1 s'écrit avec trois symboles.


Remarque : je n'apprécie pas les proses vulgarisantes ("abrège", "x peut dire moi=x", etc) mais ceci est une histoire de goût, je ne le discute donc pas ici.

Edit : je bannis "signe" et le remplace par "symbole" sauf pour les vrais signes + et - .

cette définition vulgarisante me déplaît

Ce n'est pas la mienne c'est celle officielle des mathématiques. (Elle est tellement peu vulgarisée que j'ai eu l'impression de l'apprendre à certains matheux éloignés de la logique parfois sur le forum dans le passé). C'est la seule connue qui opère** correctement et elle est due à Leibniz.

** les mots vides, les définitions circulaires, etc n'opèrent pas

En effet, selon ta définition : 3=9.
3 est dans la table de 3 et 9 est dans la table de 3.

Je ne comprends pas. C'est "tout ce qui arrive... "

Autre exemple : 2=3-1 mais 2 s'écrit avec un seul symbole alors que 3-1 s'écrit avec trois symboles.

oulala, tu confonds un objet et les noms qu'il porte? 3-1 s'écrit effectivement avec un seul symbole, en l'occurrence le symbole $<<2>>$, de même que 4+3 est un produit et 14×2 est une somme

@christophe c
1) Je ne confonds rien du tout. Ressaisis-toi.
Si tu ne définis pas l'objet, alors ton "tout" peut désigner "tout" ce que l'on veut.

2) Je passe sur "celle officielle des mathématiques", on en reparlera peut-être...

3) Parfaitement d'accord avec toi sur le fond : le symbole = doit être compris en tant que tel.

4) Le dire une fois pour toute n'est certainement pas efficace. Le rabâcher sans cesse, peut-être un peu plus.
L'écrire quelque part permet de s'y référer sans cesse.
En entrée de college, c'est intéressant d'y songer mais ça appelle d'autres questions (ensembles, nombres, et toutes choses non définies proprement). Mais je ne dis pas non.

Si on a compris que $0,1$ et $\frac{1}{10}$ sont deux écritures du même nombre, alors multiplier quelque chose par $0,1$ c'est prendre $\frac{1}{10}$ de cette chose. Pour prendre un dixième d'une chose, on la coupe en dix parts égales et on en prend une part. Cette opération est une division par $10$.

Je dirais : multiplier par 10 c'est décaler vers la gauche d'un rang, donc diviser par 10 c'est l'opération inverse on décale à droite d'un rang.
Or si on multiplie par 0.1 on décale vers la droite, donc c'est bien diviser par 10.

Et oui. Pour rester mathématique, il faut être un peu pompeux :

Si un nombre est écrit en écriture décimale, alors le multiplier par dix revient à déplacer la virgule dans son écriture décimale d'un rang (resp. d'un chiffre) vers la droite.

C'est intéressant quand on présente la chose en disant qu'il ne s'agit pas d'un calcul. D'ailleurs c'est la définition même que l'on donne au dixième, centième, ou dizaine, centaine qui permet d'affirmer cette propriété.

On peut dire "décaler", après tout. Par contre dans la proposition de @Victor.S le mot "virgule" n'est même pas présent (ce doit être sous-entendu dans son propos).

Remarque pour les défenseurs des diptères en dangers de souffrances au postérieur :
J'ai le sentiment qu'en fait, quand on multiplie par 10, ce sont plutôt tous les chiffres de l'écriture décimale qui se déplacent d'un rang vers la gauche. Penser au tableau centième/dixième/unité/dizaine/centaine. En se rappelant que dans ce tableau, la virgule n'existe pas (elle n'est utile que quand le tableau disparaît, pour indiquer le chiffre du rang des unités).

Pour ma part c'est quand même mathématique car on parle de l'écriture d'un nombre, l'écriture décimale, qui est bien définie mathématiquement.

Cependant l'absence du mot "virgule" comme je le disais peut surprendre.

Oui, j'imaginais plus la phrase avec un exemple écrit au tableau donc c'était décaler au sens des indices dans le tableau des dixaines, unités etc. donc formellement des indices de la somme.
Mais comme on veut c'est l'idée quoi. ^^