Multiplication : regroupement et ordre
Bonsoir,
Dans une multiplication :
3 * 2 = 2 * 3 : c'est de la commutativité.
(3 * 2) * 5 = 3 * (2 * 5) : c'est de l'associativité.
Par contre, au collège, on ne parle pas de ça.
On parle de "changer l'ordre des facteurs" et de "regrouper des facteurs".
Sauf que je ne comprends pas bien le sens de ces expressions.
D'autant plus que j'ai le sentiment que regrouper des facteurs", c'est "changer l'ordre des facteurs".
Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'en dire plus et m'expliquer svp ?
Merci.
Dans une multiplication :
3 * 2 = 2 * 3 : c'est de la commutativité.
(3 * 2) * 5 = 3 * (2 * 5) : c'est de l'associativité.
Par contre, au collège, on ne parle pas de ça.
On parle de "changer l'ordre des facteurs" et de "regrouper des facteurs".
Sauf que je ne comprends pas bien le sens de ces expressions.
D'autant plus que j'ai le sentiment que regrouper des facteurs", c'est "changer l'ordre des facteurs".
Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'en dire plus et m'expliquer svp ?
Merci.
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Réponses
J'aurais tendance à dire que "change l'ordre des facteurs" correspond à la commutativité alors que "regrouper les facteurs" correspond à l'associativité.
Par exemple, si tu veux calculer en 6ème A = 2*66,6*5, tu peux faire :
A = 66,6*2*5 (tu "changes l'ordre des facteurs")
A = 66,6*(2*5) (tu "regroupes les facteurs)
A = 66,6*10...
JJ
Si tu es prof de collège, c'est toi qui décides du vocabulaire que tu emploies pour former tes élèves, en tout cas le vocabulaire non mathématique.
Et encore une fois, tu te compliques l'existence pour rien : Comme il y a à la fois commutativité et associativité, on multiplie dans l'ordre qu'on veut. Et il n'y a aucune raison pour qu'un vocabulaire global recouvre étroitement les notions théoriques différentes qu'on voit plus tard.
Cordialement.
2+5+7 peut se calculer en commençant par 5+7, puis 2+12.
Remarque sur la commutativité et l'associativité :
"on ne parle pas de ça" :
Et bien si, on peut en parler, on a tous les droits. On peut même écrire cela dans le cahier, en rouge.
Ce qui compte est de dire ce que cela veut dire.
Donc l'expression 2+5+7 est ambiguë (sans même parler de parenthèses).
Etc.
Franchement, non. Quand j'ai vu cela la première fois, je les additionnais de gauche à droite surement par habitude de lire de gauche à droite.
Sans me poser de question. Mais bon j'étais jeune ;-)
En 6eme, n'importe qui fait de même (i.e.: ne se pose pas de question pour 2+5+7).
Et, malheureusement, c'est pareil avec 2+5$\times$7 ou 2+5-7. (C'est pire avec le - car l'élève se dit "puisque dans ce sens là ça marche pas, alors je fais le calcul qui marche").
C'est grâce à l'associativité, dans le premier cas, que l'on donne un sens à l'expression.
Remarque : De même, dans des anneaux par exemple, on peut définir la puissance d'un élément grâce à l'associativité .
Remarque ' : on peut s'amuser à noter l'addition de manière "fonctionnelle" au lieu de "opérationnelle"
2+5=$+($2;5$)$. Puis regarder ce qui se passe en composant...
2+5 désigne un seul nombre.
5+7 désigne un seul nombre.
2+5+7 désigne un seul nombre.
Avant? C'est un processus cumulatif comme en langue, on se base sur les niveaux précédant et par moment il faut "corriger" les simplifications faites avant.
Là ou un problème va apparaitre c'est si cela intervient trop tôt (ou trop tard aussi) et avec ceux qui bloquent.
Au fait pourquoi veux-tu incriminer son profil?
A la limite les gens étroit d'esprit...
Vu que la notion de fonction est mal comprise au lycée, j'éviterais ce genre de choses au collège.
1) l'oubli du signe "égal". Tous les matheux y vont de leur avis mais ne s'aperçoivent même pas qu'à aucun moment ils ont affirmé l'égalité entre leurs expressions. Le résultat est que les élèves (qui sont rationnels) enregistrent "ailleurs" ces activités comme des activités licites de transformation (mais en aucun cas comme des égalités). D'où les confusions et le dégout qu'on voit ensuite émerger
2) Le théorème qui dit que si $\forall a,b,c: [(a\times b)\times c = a\times (b\times c)$ et $a\times b=b\times a]$ alors "on peut permuter et déplacer" est un théorème difficile. Il n'est donc pas indiqué de ne donner (puisque tu admettras le théorème en question) que les deux axiomes formels. Il te faut trouver une phrase plus générale qui affirme tout d'un coup.
Si tu évites, ces deux écueils, tu fais comme tu veux, et tu ôteras à tes élèves (tu seras rare à le faire) 2 contre-sens généralement répandus dans le secondaire. Bon, mais après, ça fait pas tout non plus dans le contexte actuel.
J'emploie le mot commutativité mais je ne l'écris pas (au contraire du mot distributivité, mais lui apparaît dans les programmes - enfin, apparaissait, il n'est pas dans les nouveaux programmes). Ca me démange de parler d'intégrité avec l'équation-produit en 3ème...
@ gerard0 : je cherche à comprendre ces deux expressions car c'est ce qui me semble le plus adapté (bien que pas très clair pour moi pour le moment).
J'ai du mal à imaginer qu'on puisse leur parler de commutativité / d'associativité : ce n'est pas le terme qui me gène, c'est l'explication derrière.
Que dirais-tu à un élève pour expliquer ce qu'est la commutativité ? l'associativité ?
Dirais-tu que c'est la même chose que "changer l'ordre de facteurs" et "regrouper les faceturs ensemble" ?
@ kioups :
Je ne comprends pas tes reproches... ^^
Parce qu'en général, quand on nomme quelque chose, c'est que la chose a un intérêt/est non triviale...
1) quand je parle de na pas incriminer les professeurs des écoles, c'est que tous n'ont pas reçu des enseignements de mathématiques autant que d'autres.
2) la remarque sur la notation fonctionnelle s'adressait aux profs et non pour qu'ils le fassent devant élèves.
Pardon pour ce que j'ai pu laisser entendre.
A mon époque, les mots commutativité et associativité apparaissaient (depuis peu) dans le cours de terminale Maths-élem. Ce qui ne nous avait pas gêné pour faire des calculs en appliquant des règles simples. Il est vrai que celui qui ne se pliait pas aux règles en sixième et cinquième allait voir ailleurs à 14 ans.
Ce qui est important, ce n'est pas les mots, mais les pratiques : priorités des opérations (très mal connues par de nombreux lycéens), ordre des opérations, possibilités de déroger (donc commutativité et associativité). Je pense même que nommer trop tôt ces propriétés, alors que la commutativité est quasi systématique en collège lycée est contre-productif ("le prof, il emploie des mots compliqués pour rien"). Par contre, la non commutativité de la soustraction, de la division et plus tard de l'exponentiation est une évidence pour tous les élèves qui veulent penser. Donc en parler pour justifier le mot "commutativité" n'apporte rien.
Cordialement.
Employer le vocabulaire commutativité / associativité me semble surréaliste au collège.
Pour expliquer ce qu'est la commutativité/associativité, je montrerais simplement un contre-exemple : la soustraction.
Je ne parle de le formaliser avec des lettres, entendons-nous bien.
C'est le problème de nos jours, le manque de temps (réduction des horaires) niveau différent des élèves, manque d'investissement de leur part... fait que l'on a plus facilement tendance à décrocher sur le travail de fond et on voit apparaitre un vocable qui n'a pas sa place.
Ce n'est pas nouveau ce que je viens d'écrire, c'était vrai il y a 30 ans mais à un moindre niveau.
Je n'ai jamais entendu commutatif au collège ni lemme au lycée durant mes études.
Je préconise d'en parler, même de l'écrire mais de ne pas centrer et interroger là-dessus.
Le regroupement des termes peut être compris comme "je peux commencer par la deuxième opération au lieu de la première". C'est l'introduction à la classe de cinquième, quand on parle de priorité de calculs.
L'échange des termes, c'est la commutativité.
En français, échanger, permuter et commuter sont synonymes, donc ce n'est pas non plus barbare d'utiliser ces mots.
Je comprends bien là où tu veux en venir, mais au collège avec un niveau variable j'ai bien peur que le vocable ne soit pas prioritaire.
Sauf que les jeunes parlent en SMS sur leur portable et une langue qui s'éloigne de plus en plus du français.
Il parait que les étudiants qui arrivent en L1 ne comprennent plus les questions...
où l'on donne respectivement la longueur, la largeur et la hauteur de l'habitat.
Peut-être est-ce cela que dit cc avec son histoire d'=.
S
@dom
La commutativité de la multiplication est une évidence pour tout le monde dès le plus jeune âge: absolument pas justement. C'est un truc "appris par coeur".
c'est un théorème (très) difficile : non plus, c'est la bijection naturelle entre $A\times B$ et $B\times A$ qui envoie $(x,y)$ sur $(y,x)$. Matériellement, c'est faire faire un quart de tour à un rectangle en demandant à l'assistance d'accepter que son nombre de cases (ou son aire) n'a pas été modifiée.
Plus simple que celle de l'addition qui n'a rien d'évident non plus d'ailleurs...: non plus, c'est l'égalité $A\cup B = B\cup A$ quand $A,B$ sont disjoints, (qui entraine l'égalité des deux expressions qui écrivent la somme de leur cardinal)
*** tu vois à quel point tu rendras service à tes élèves si tu prends garde de ne jamais oublier quand tu es entrain d'affirmer que deux choses sont égales, de bien affirmer qu'elles sont égales. Par exemple proscrire tous les mots psychologiques comme "regrouper", "simplifer", etc qui décrivent des actions hors-maths. Bref, tu vois (enfin j'espère) le danger.
1) Lis-bien mon paragraphe : " évidence..." "...mais c'est par impression dans le cerveau".
2) pour la multiplication, tu es bien mignon, mais tu te places dans le cas entier, éventuellement décimal (rectangle et quart de tour compter les colonnes et les lignes)...à moins de connaitre l'aire d'un rectangle qu'on admet bien évidemment.
Et tu ajoutes un axiome, tiens mais oui, c'est pas difficile du tout.
Tu écrivais ici que c'était un théorème profond et difficile : (pardon de te citer)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1163391,page=2
pour l'addition, je dirais, oui, c'est plus simple et ça ne l'est pas quand même (partir de Peano et se lancer dans l'aventure est un régal quand on le fait la première fois).
Tu as mis le mauvais lien, voici le bon: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1163391,1164279#msg-1164279
Tu n'avais pas précisé que tu entendais "difficile" dans le sens "si on demande aux élèves d'en trouver une preuve, ils ne la trouvent pas"
C'est une amusette artificielle, mais ce n'est pas la bonne définition de l'addition. Je l'ai déjà donnée souvent sur le forum, la définition "officielle" de l'addition:
$a+b=c$ abrège pour tous ensembles $A,B$ disjoints, si $card(A)=a$ et $card(B)=b$ alors $card(A\cup
Il faut bien sûr prouver que ça donne bien une fonction sur les cardinaux, etc. Mais on est très loin des artifices de Peano. Les définitions "officielles" des opérations sont celles exactement que la "pédagogie" essaie de mimer à l'école primaire. Je ne sais pas aujourd'hui, mais je pense qu'il fut une époque où l'instit ne faisait que singer les preuves formelles naturelles des énoncés (ie $card(A\times
L'addition telle que définie dans Peano se prouve être égale à l'officielle par une récurrence "évidente" (non inspirée). Par contre, c'est sûr, "faire semblant d'oublier ce que veut dire $+$ et s'essayer à inventer des preuves ad hoc de ses propriétés à partir de l'axiome qui la définit", j'imagine que ça doit être un peu casse-tête
Taquinerie mise à part, le lien que tu proposes m'envoie sur ma messagerie du forum.
Heu, c'est subliminal ? Dois-je m'envoyer un message, t'envoyer un message, à d'autres ?
Pour le reste, merci d'avoir mis "officielle" entre guillemets.
Nous examinerons d'abord pourquoi le produit de deux nombres demeure lie même en changeant l'ordre des facteurs, c'est-à-dire, pourquoi A x B == B x A. Soit A le plus grand des deux nombres A et B, soit C leur différence, et en conséquence A ==B + C. On accordera aisément que le produit de A par B, c'est-à-dire A pris B fois, est composé du produit de B par B et du produit de C par B, de sorte qu'en écrivant le multiplicateur le dernier,on a AxB=BxB+CxB.Mais !e produit de B par A ou par B+ C, est composé aussi de B pris B fois et de B pris. C fois de sorte qu'on a B x A= B x B+B x C . De là on voit que le produit A x B sera le même que le produit BxA, si te produit partiel C x B est égal à B x C. Mais par la même raison l'égalité entre CB et BC se prouvera par l'égalité entre deux produits plus petits CD et DC; et en continuant ainsi on parviendra nécessairement, soit au cas où les. deux facteurs sont égaux, soit au cas ou l'un des deux est égal à l'unité. Dans le premier cas l'égalité est manifeste dans le second, elle se conclut de ce que H x 1 est H, ainsi que 1 x H. Donc le produit A x B est toujours égal au produit BxA.
De mon point de vue, le plus important est de discuter en classe à fond des situations telles
(A) $8+5+1$, $8+1+5$, $1+8+5$ etc.
(B) $(8-5)-1$, $8-(5-1)$.
((B') $8+(-5)+(-1)$, $(-5)+(+8) +(-1)$ etc. dès la découvrte de $\mathbb{Z}$
Si l'on ne veut pas de vocabulaire nouveau, on peut dire
"changer l'ordre des termes".
Ça parle de la commutativite de la multiplication. C'est une enquête à la fois troublante, intéressante, et amusante :
http://www.math.uqam.ca/~boileau/Textes/Commutativite.pdf
Bonne lecture.
Il me rappelle par opposition les tests sur le problème de l'âge du capitaine où les réponses étaient données par des élèves (et même des instituteurs et professeurs) alors qu'il n'y avait aucune donnée pertinente.
Et surtout quand j'ai lu l'article, j'ai immédiatement pensé aux problèmes d'arrondis des calculs par ordinateur, je n'ai même pas réussi à lire qu'il avait fait un calcul exact. Donc pour moi, la commutativité est bien un article de foi (basé sur les différentes preuves que j'en ai eues, évidemment).
Cordialement.