"Droites égales"

Si c'est les mêmes elles sont égales...

Après on peut trouver un compromis informel mais correct. Grosso modo: si $x$ et $y$ sont égaux, toutes les propriétés de $x$ sont vérifiées par $y$...

Quand on parle de droites, je pense que la majeure partie des gens voient la courbe mais pas l'objet mathématique sous-jacent. Du coup parler d'égalité peut problablement paraître incongru, d'autant plus que quand on dessine deux droites confondues, on ne voit finalement qu'une seule droite.
En revanche dire de deux droites qu'elle sont confondues, c'est-à-dire qu'on les confond visuellement, c'est peut-être plus parlant, je suppose.
Bon, c'est une question d'habitude aussi. Si tu fourgues le mot "égales" chaque fois que cela convient, les élèves seront habitués à le dire. D'autant plus qu'on écrit parfois des égalités ensemblistes $(AB)=(CD)$ ou des choses dans le genre, donc pourquoi pas ?
Quand à ton énoncé tordu, je ne l'ai jamais entendu dire, puisque c'est non seulement une évidence, et qu'il est inclus dans la propriété plus générale où les deux droites $d$ et $d'$ sont parallèles (étant bien entendu que des droites confondues sont parallèles).

Eh bien, voici une nomenclature que l'on a bien fait de changer ! (Confondre dans le vocabulaire l'égalité et l'égalité des mesures ou l'isométrie, j'aime pas.)

Personnellement, je suis pour un usage correct des termes logiques et mathématiques. Introduire des choses fausses ou évasives si ça arrive trop souvent vend autre chose qui peut être incombattable à l'usage quand on veut réparer les élèves.

Exemple (local, que je désapprouve) : "sachant que $g(x)=x^2+5$, retrouver à l'aide de la calculatrice l'antécédent de 149", dont la réponse est "on n'a pas assez d'information sur $f$ et $x$ pour répondre"**

Dans le présent fil, les droites sont des ensembles de points, quand elles contiennent les mêmes points elles sont égales*** (de la même manière que deux graphes de fonctions contenant les mêmes éléments, etc), et c'est tout. Le terme "confondue" inventé par la pédagogie, et donc hors-maths, même si je sais bien qu'il a été d'usage, introduit un soupçon de possibilité de différence de deux droites égales qui ne sert personne


@seebsheet, j'ai fait plusieurs posts récents sur le signe "égal", ça doit pouvoir se retrouver.

*** ce n'est pas une évidence, c'est une instance de l'axiome d'extensionnalité en usage dans toutes les maths d'une part "officielles"*** et d'autre part "académiques".

*** par "officielles" j'entends celles des chercheurs et académiciens des sciences, ie les admis tacites en vigueur qu'un referee ne peut pas considérer comme "oublié de mention" par exemple, il n'y a bien sûr pas "d'officialité" au sens légal ou administratif du terme (on pourrait dire conventionnel).

** c'est comme "on suppose que $f(x)=x$, peut-on en déduire $f(3)=3$?" à laquelle la réponse est non autant qu'elle l'est à "on suppose $f(1)=1$ peut-on en déduire $f(2)=2$?"

Salut sebsheep (et les autres),

j'ai essayé de poster ce qui suit mercredi mais j'avais un message d'erreur à chaque essai (edit : j'ai d'ailleurs toujours le même message d'erreur si j'essaie de poster ça directement, il m'a fallu poster un message "essai" puis le modifier).
Je te réponds donc avec un peu de retard.

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Salut sebsheep,

pour te répondre avec mon cas personnel (car il n'y a pas vraiment d'indication dans un sens ou dans l'autre dans les programmes).

sebsheep a écrit:

[...]Et si au contraire on passait un peu plus de temps dessus, avec du coup un "exemple" en plus, celui des droites ? Quitte à y passer plus de temps, à bien expliquer que [AB]=[BA] mais [AB]?[CD] même si AB=CD ? Et poser des questions du genre "(AB)=[AB] ?".
Je n'enseigne pas au collège, ma question est donc : passe-t-on du temps sur genre de distingo ? J'ai quelques échos de profs qui interdisent tout simplement de parler d'égalité entre objets géométriques, alors que ça me semble formateur.[...]

Je passe énormément de temps (en 6ème, bien entendu, mais aussi dans les autres niveaux de classe) à faire la différence entre l'égalité des longueurs de deux segments et l'égalité des segments. J'explique en quoi deux segments ne sont pas égaux (sauf cas particulier du type $[AB] = [BA]$, qui est soulevé chaque année par un élève ou plusieurs : "Monsieur, si j'ai bien compris, on a bien le droit d'écrire $[AB] = [BA]$, c'est ça ?").
Pour autant, je ne m'attarde sur l'égalité d'objets géométriques. Lorsque ça se présente, je l'évoque mais mon travail consiste surtout à faire comprendre aux élèves la différence entre une égalité de longueurs et une égalité de segments. Ce qui est déjà bien assez difficile. J'en veux pour "preuve" le nombre d'élèves de 3ème - y compris des très bons - qui écrivent à un moment ou un autre dans l'année : le segment $[AB]$ est égale à $3 cm$ (ou, en version mathématique, $[AB] = 3 cm$).

sebsheep a écrit:

wam a écrit:

Pour moi (dans mon cours), deux droites confondues sont un cas particulier de deux droites parallèles (i.e. non sécantes) qui me permet de combattre la croyance, chez les élèves, que "droites parallèles" signifie "droites qui ne se touche(ront) pas (jamais)

Et comment fais-tu (c'est une vraie question de curiosité) ?

1. On définit d'abord les droites sécantes (deux droites qui se coupent/croisent).
2. On définit ensuite les droites parallèles comme étant des droites qui NE sont PAS sécantes.
Pas de problème pour les élèves qui accepte facilement qu'on donne cette nouvelle définition (en venant de primaire, selon le cas, les définitions que j'obtiens de leur part sont :
* des droites qui ont le même écart ;
* des droites qui ne se toucheront jamais ;
* des droites qui ne se couperont jamais).

Une fois cette définition acceptée, on l'illustre par un "schéma" classique avec deux droites (strictement) parallèles.
Puis je trace une droite et j'y place quatre points $A,B,C,D$.
S'ensuit alors un dialogue ressemblant à celui-là (je résume) :

Moi : "les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?"
Les (des) élèves (en chœur - bon, j'exagère un peu -) : "Non"
Moi : "Pourquoi ?"
Les (des) élèves : "bin parce qu'elles se touchent"
Moi : "vous pouvez me rappeler la définition de deux droites parallèles" ?
J'interroge les élèves volontaires jusqu'à obtenir (*) : "deux droites parallèles sont des droites qui ne sont pas sécantes, ce sont donc des droites qui ne se croisent/coupent pas". ((*) ce n'est pas immédiat, même si on vient de donner une "nouvelle" définition, elle n'est pas encore bien ancrée dans les têtes))
Moi : "Je reviens à la question initiale : les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent-elles ?"
Les (des) élèves : "Non"
Moi : "donc sont-elles parallèles ?"
(moment de silence/réflexion)

Les élèves finissent par admettre qu'avec notre "nouvelle" définition, ces deux droites sont bien parallèles puisque non sécantes. Je leur dis qu'on parle alors de droites confondues comme on parlait de points confondus dans un chapitre précédent.

Tous les élèves, évidemment, n'accède pas à la compréhension de ce truc immédiatement et, surtout, pour certains il y a maintenant trois "cas" de position de deux droites : les sécantes, les parallèles, les confondues (voire 4 : les perpendiculaires...). Mais bon, si j'arrive, en fin d'année, à ne plus entendre "des droites parallèles sont des droites qui ne touchent pas" (et surtout ne plus entendre "des droites parallèles sont des droites qui ne se couperont/toucheront jamais"), je pense que j'ai fait un pas trop mauvais boulot sur le sujet.

Pour revenir à la définition que tu proposes pour les droites parallèles, j'en fais une propriété :
Définition : deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.
Propriété (conséquence de la définition) : deux droites parallèles ont soit zéro point commun, soit une infinité de points communs.

m.

Salut sebsheep,

très rapidement :

* pour la définition de "deux droites qui se coupent/croisent" (j'utilise "se croisent" dans mon cours) : "deux droites qui ont un et un seul point commun".
* deux droites parallèles sont donc deux droites non-sécantes, c'est-à-dire deux droites qui n'ont pas un seul point commun : elles en ont donc $0$ - pas de souci pour les élèves - ou strictement plus que 1 (là, ça coince).
Comme on a vu précédemment que par deux points distincts, il passe une et une seule droite, on en déduit que deux droites ont soit $0$, soit $1$, soit une infinité de points communs (évidemment, je ne formalise aucune preuve de ce fait).

Je n'ai rien contre ton approche à partir du nombre de points communs, la mienne est d'ailleurs très proche (je fais constamment le va-et-vient entre les définitions données dans le cours et les "propriétés sous-jacentes" sur le nombre de points communs), ça me semble plus plus "naturel" (et plus proche des "habitudes" des élèves arrivant de primaire) de faire comme je fais.

À noter que dans le programme, il n'est fait aucune mention de tout ça (cf. ici, page 17), voici ce qui est écrit :

Connaissances :
Notions de parallèle, de perpendiculaire


Capacités :
- Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la
parallèle à une droite donnée.
- Utiliser différentes méthodes

Commentaires :
Il est seulement attendu des élèves qu’ils sachent utiliser en situation ces notions, notamment pour la reconnaissance de deux droites parallèles ou pour leur tracé.
Ces capacités prennent leur sens lorsqu’elles sont mobilisées pour résoudre un problème : reproduire une figure, en compléter un agrandissement ou une réduction déjà amorcée, construire une figure d’après une de ses descriptions.


* Concernant les notations : bien sûr que l'oubli des significations des notations est un problème pour plusieurs élèves.
Encore que, lorsque tu écris au tableau, à n'importe quel niveau, $[AB]$, $[AB)$, $(AB)$ et que tu demandes aux élèves ce que cela signifie, presque tous te répondent correctement segment/demi-droite/droite (un peu plus d'échec pour la demi-droite), sans plus de précisions (je veux dire par là, qu'à part en 6ème où on (je) bosse beaucoup la lecture de ces notations, les élèves de 4ème/3ème ne te diront jamais "le segment qui a pour extrémités les points $A$ et $B$", ils se contenteront de "le segment $AB$").
En revanche, pour la notation $AB$, il y a déjà (beaucoup ?) plus d'élèves incapables de répondre (beaucoup répondent "les points $A$ et $B$ quand on revoit les notations).

Alors, évidemment, il m'arrive de lire des horreurs comme "la droite $(AB)$ mesure $3 \, cm$" mais, clairement, l'erreur la plus courante concernant les notations de géométrie concernent la confusion entre segment et longueur. Et ce, quel que soit l'âge et, même, le "niveau mathématique" de l'élève.
Cette année, par exemple, en 3ème (23 élèves), un seul n'a encore jamais écrit un truc comme $[AB] = 5 \, dam$ sur sa copie ou son cahier (pourtant, j'ai quelques "très bons" - sans lancer de débat sur la signification de ce qualificatif - dans la classe). L'élève en question est particulièrement doué de mon point de vue. Il a plein d'idée, n'écrit rien à la légère, est très autonome et a une capacité de mémorisation assez impressionnante. Pour la petite histoire, il a réussi à avoir 20 de moyenne à l'année avec moi l'an passé (première fois en 10 ans d'enseignement que ça m'arrive), n'a perdu qu'un point cette année sur un QCM et n'a encore jamais été incapable de résoudre un exercice "du programme" (j'entends par là, un exercice autre que ceux que je prépare pour les plus rapides), y compris des exercices assez complexes de géométrie demandant 4 étapes de démonstration (l'utilisation de 4 théorèmes/propriétés) sans indication aucune. Idem pour les problèmes dits "ouverts" ou ce genre de chose.

En fait, je suis convaincu que cette différence entre longueur et segment est extrêmement difficile à appréhender pour les élèves (et pas seulement eux, d'ailleurs).

Pour ma part, sans mettre $0$ à un exercice complet pour un élève qui fait une confusion dans les notations, je pénalise systématiquement une mauvaise utilisation de celles-ci. Dans tous mes devoirs contenant de la géométrie, il y a un barème incluant des points sur la bonne utilisation des notations.
Et je suis intransigeant (*) : une erreur est sanctionnée d'un $0$ sur ce barème "spécifique" (qu'il soit sur 1, 2 ou 5 points) et les élèves le savent parfaitement (idem pour les classes sans note - 6ème, 5ème chez nous -, d'ailleurs, j'évalue au plus bas la maîtrise de cette compétence s'il y a une erreur, au maximum si tout est nickel).
Mais peut-être que je devrais être encore plus intransigeant et "sanctionner" sur l'ensemble de l'exercice (c'est bien possible).

m.

(*) je pénalise même lorsque l'élève écrit € au lieu de $\in$, "\\" à la place de "//" ou "||" (idem si l'élève met un petit codage d'angle droit sur le symbole "perpendiculaire", etc.). Sans parler des phrases sans verbe parce que "et" au lieu de "est", "son" au lieu de "sont", etc. que je pénalise au sens au motif qu'elles n'ont pas de sens.

@FdP: ça n edevrait pas, j'ai rappelé 1001 fois la définition** de $=$ qui devrait être le signe le plus respecté en maths. Et il n'y a aucune difficulté autre que mathématique à accepter son utilisation. Ne pas confondre avachissement et difficulté.

** $u=v$ signifie (c'est à dire "est une abréviation de") "tout ce qui arrive à $u$ arrive aussi à $v$"

Personnellement, je trouve la phrase parfaitement claire, que dire d'autres? Toute propriété de $u$ est une propriété de $v$? J'ai encore utilisé "tout" mais en plus de ça, j'ai introduit une redondance inutile: le mot "propriété" (surtout pour les zenfants").

D'ailleurs ce "tout" est important. Exemple: $3+4$ est un produit (c'est un fait relativement mal connue chez les zenfants), j'ai souvent demandé ça en interro et obtenu à 80% la réponse fausse "non". Par contre, une fois connue la définition du signe $=$ et appliquée, un certain nombre d'élèves sont plus attentifs à bien l'utiliser (et ne confondent plus un nom et ce que ce nom désigne entre autre)

M'enfin, tu sais bien que derrière le mot "tout" se cache quelque chose de précis (la preuve avec la manière d'écrire l'élément en question, par exemple) et pire, l'expression "ce qui arrive" est d'une implacable ambiguïté.

Définis ce "tout" et définis ce que veut dire "arriver" pour continuer la discussion.

Edit : @Laurette, que n'as tu pas dit...ça va remettre deux thunes dans l'bastringue... (Humour pour ceux qui connaissent)

Précision @Laurette, si tu préfères, $u\in \{x\mid x=u\}$ donc $v\in \{x\mid x=u\}$ donc $v=u$ (des fois que les objets qui parlent te choqueraient)

@dom, je ne cherchais pas l'argument d'autorité du tout là :-S je t'informais c'est tout (je témoignais).

Si "Tout c'est vraiment tout" alors la manière d'écrire le nombre ou l'élément aussi. Réponds au moins là-dessus.

Tu as l'air de confondre le nom et ce qu'il désigne. Ils sont différents (et même très différents!!!!!) eux. . Il n'y a aucun rapport entre <le mot P.A.R.I.S> et Paris. Lepremier a cinq lettres l'autre non. Etc.... Tu fais semblant ou quoi????? Ne me dis pas que tu confonds les deux quand-même (tu connais la blague à que je fais souvent à ce propos: "à supposer que Dieu n'a pas de défaut et que ne pas exister est un défaut, on en déduit que Dieu existe". Seuls ceux qui confondent un mot et ce qu'il signfie ne voient l'énormité de l'erreur dans la blagounette*)

* autre version: les lingots d'or gratuits sont rares, donc ils sont chers (bien qu'ils soient gratuits). Ceci se prétendant contrevenir (en exploitant une erreur enfantine) à l'idée que les produits rares sont chers.

Tu penses vraiment que 441 est un nombre à 3 chiffres?

Bon, ben c'est simple. Tu perds encore en crédibilité.
Ce n'est pas moi qui confond. Et prétendre que tu crois cela de moi ne t'honore pas.
Mais, toi, en disant "tout c'est vraiment tout", tu n'analyses pas quel impact dévastateur cela peut avoir.
Tu n'avances pas, tu ne progresses pas.
Je te laisse là. Non par méchanceté, mais parce que je suis faible. Pardonne-moi.
A bientôt.

@dom soyons honnête, tu es vraiment moralement injuste avec ma réponse.

Si tu fais semblant de confondre un mot et sa cible, ne me reproche pas de te demander si tu les confonds. Je ne fonctionne pas au sous-entendu.

Que tu veuilles attirer l'attention sur cette grave erreur (confondre un mot et sa cible), tant mieux, mais explicite ton souci. Cette erreur est la plus précocement combattue (ou devrait l'être) et elle tient au simple fait de parler ou écrire. C'est vers les ages de 4 à 7 ans qu'on en débat. Presque plus personne ne la fait ensuite (et heureusement, ça relèverait d'un grave handicap mental).

Le fait que les non matheux "semblent" pouvoir la faire en maths n'attestent pas du tout qu'ils la font "sincèrement". Ce n'est pas un problème de "l'enseignement des maths". (C'est comme les gens qui prétendent que les élèves confondent A=>B avec B=>A, c'est pitoyable)

Personne ne fait cette erreur***, et les copies (pas les gens, les copies!) qui la produisent, ne le font que parce que leur auteur n'est pas matheux, n'en a rien à faire et donc écrit des stupidités syntaxiques pour faire du remplissage (en sachant très bien que pour lui c'est du chinois)

Amène-moi un citoyen lambda, matheux ou pas, peu importe qui m'écrit "J.e.a.n" sur un papier quand je lui demande d'aller me chercher Jean. Celui ou celle qui fait ça (et toute précaution de contexte prise), tu sais aussi bien que moi, qu'il est en permission de sortie d'un séjour à l'HP pratiquement continuel.

En résumé, si tu voulais aborder ce marronier, c'était à toi de le détailler. Je ne fonctionne pas aux sous-entendus. Et je maintiens mon "tout".

@FdP: non, mais qu'est-ce que tu veux que je fasse de plus?

christophe c a écrit:

Que tu veuilles attirer l'attention sur cette grave erreur (confondre un mot et sa cible), tant mieux, mais explicite ton souci. Cette erreur est la plus précocement combattue (ou devrait l'être) et elle tient au simple fait de parler ou écrire. C'est vers les ages de 4 à 7 ans qu'on en débat. Presque plus personne ne la fait ensuite (et heureusement, ça relèverait d'un grave handicap mental).

Christophe, très peu d'élèves de 6ème (et même de collège) sont capables de faire clairement la différence entre un nombre et son (ses) écriture(s). Ce n'est pas quelque chose de simple, loin s'en faut.
Par exemple : 100 % des élèves de collège (que j'ai eu en cours depuis 10 ans que j'enseigne) parlent de "nombres à virgule" à un moment ou un autre. Et ce n'est pas faute de combattre cette expression toute l'année, dans toutes mes classes.

D'ailleurs, plus généralement, définir ce qu'est un nombre est d'une difficulté sans nom et on est vite amener à faire la confusion entre un nombre et son écriture sans même s'en rendre compte.

En ce sens, je rejoins Dom sur l'ambigüité (pour les élèves) liée à la définition que tu donnes du symbole "=". Ce "tout" n'est pas clair il recouvre bien des sous-(mal)-entendus.

Je serais moralement injuste :
Cela fait des lustres que je ne parviens pas à te montrer que le mot "tout" dans cette définition est plutôt un "tout" du langage courant (pour l'auditeur non averti). Et cela est appuyé par le verbe qui suit "arriver", encore interprété (sauf par toi) comme usité dans le langage courant. Et je l'ai dit : définis ce "arriver" mathématiquement pour lever l'ambiguïté.

Sur la confusion écriture/nature de l'objet : "Presque plus personne ne la fait (et ca relèverait d'un handicap mental) "
Argument établi, comme cela. Ressaisis-toi !

Les gens prétendraient que les élèves confondent une cause et une conséquence :
Argument établi, comme cela. Ressaisis-toi !
Rien qu'à regarder les débats de nos élites, on ne trouve que des erreurs* de ce type.
* je mets erreur, car j'exclue les stratégie malhonnêtes politiciennes par exemple.

Après tout cela, rends-toi bien crédible en allant donner des leçons sur les règles du débat contradictoires...

L'intervention de @michael te suscitera peut-être réflexion.

A bientôt.

@Laurette : L'inclusion de $u$ dans $v$ se traduit par $\forall x (x \in u \to x \in v).$
Ce que christophe propose pour définition de l'égalité c'est $\forall x (u \in x \to v \in x)$ ce qui est très différent. Je ne vois pas où est le problème ?

@Laurette, je vais être plus explicite.

Autrement dit, tu dois remplacer dans ta tête chaque occurence de $x=y$ par ce que ça abrège.

Ce qui donne:

supposons que tout ce qui arrive à $u$ arrive à $v$.
Comme $u$ peut dire "tout ce qui m'arrive arrive aussi à $u$", il s'en suit que
$v$ peut dire "tout ce qui m'arrive arrive aussi à $u$", donc
tout ce qui arrive à $v$ arrive à $u$.

Où vois-tu un signe =?

Comme te le fait remarquer Cyrano, en maths, il faut lire avec précision ce qui est écrit, sinon on fait des contre-sens. Dès ton premier post d'ailleurs, et j'aurais dû te le faire remarquer (j'ai eu la flemme) tu avais parlé d'inclusion ce qui n'a rien à voir avec la choucroute.

PS: "peut dire" abrège "pourrait dire sans mentir s'il pouvait parler". Et évidemment ce n'est qu'une version sans variable liée que j'ai inventé pour les zenfants. Tu traduiras sans problème en termes formels, ou dois-je le faire?

Bon, je le fais: supposons $\forall x: a\in x\to b\in x$. Comme $u\in \{t\mid \forall x: t\in x\to u\in x\}$, il s'en suit que $v\in \{t\mid \forall x: t\in x\to u\in x\}$ donc $\forall x: v\in x\to u\in x$.

Sieur cc,

personnellement ça me choque que des termes mathématiques prennent conscience d'eux mêmes et parlent, voire parlent tout seul.
Cela me dérange d'autant plus que tu tiens souvent comme seulement probant, les discours formels.

Je suis content que d'autres personnes du forum le relèvent, comme j'ai pu le relever (pitié ne me demande pas les liens), je me sens moins con face à toi qui dis des trucs que je ne comprends pas.

Sieur FdP fait bien de parler des vecteurs, ces trucs égaux mais pas à la même place. Mais bon quel prof dit que l'on ne parle pas du même signe "=" en seconde ? Toi ? Comment ? En combien de séances ? Et ils pourraient l'expliquer aux autres élèves des autres classes qui ont un professeur qui ne s'engage pas dans ce nuancier ?

S

En effet la confusion arrive à son paroxysme lorsque la démonstration est vulgarisée en "$x$ peut dire $moi=x$".

C'est un choix que je ne comprends pas mais, bon laissons cela.
C'est comme le mot "abrège" au lieu de "signifie que". Mais je ne discute pas ces choix (liberté pédagogique).

Je reviens à la discussion originale :

Ce symbole "=" s'utilise toute la formation (école, collège etc.), pour les nombres et les longueurs, masses, vitesses, etc.

En géométrie, on le fait peu, mais on peut justifier comme cela a été dit (l'égalité signifie que c'est le même objet, le même élément).
Les droites égales, les segments égaux, les points égaux ne posent pas de problème de définition, a priori.

Malheureusement, pour les angles, notions la plus difficile d'après moi, il est encore utilisé à tort ou en tout cas d'une autre manière.
On confond même l'angle et sa mesure alors qu'on sanctionne la confusion "[AB] = AB" fermement.

Pas simple...

(l'égalité signifie que c'est le même objet, le même élément).

1) donc tout ce qui arrive à l'un arrive à l'autre puisque tout ce qui arrive à l'un arrive à l'un :-D

2) exercice que je donnais souvent (et certains trouvaient!!!) en début de sixième: $<<$ donnez-moi une définition du signe $=$, une vraie pas un truc circulaire où on réutilise un synonyme (genre "même", "identique", "pareil", etc) $>>$
Ils n'avaient pas le choix il fallait qu'ils le fassent (ils ne pouvaient esquiver comme sur un forum :-D ) . La récompense était élevée. Et bien 1/50 peut-être parvenait à trouver SEUL!

3.1) ta parenthèse (si mon point 2 ne le dit pas assez clairement) est ce qu'on appelle une définition circulaire, vide. C'est l'un des gros dangers de l'enseignement. Quand on ne dit rien, on ne dit rien de faux, mais on n'informe pas. (qu'est-ce qu'un chien? L'animal qui aboie! Que veut dire aboyer? C'est le cri du chien).

3.2) Autre exemple (vu dans un livre d'un gars qui se veut pourtant très pédagogue mais qui n'a pas réfléchi concrètement: "on s'est donné une fonction $f$ (de E dans F) quand pour chaque $x$ de $E$, on s'est donné un donné un élément $f(x)$ de $F$". C'est terrible pour les lecteurs ou les auditeurs d'un cours une définition circulaire: on a envie d'envoyer des tomates à leurs émetteurs ou de dire "ah ah, très drôle"

Malheureusement, pour les angles, notions la plus difficile d'après moi, il est encore utilisé à tort ou en tout cas d'une autre manière.

Le point de vue (inconscient, que je formule à sa place) d'un élève lambda n'est pas ça: il la trouve surtout imprécise. Il faut dire qu'elle est tout à fait imprécise dans la tête même de leurs enseignants, donc il ne faut pas s'étonner. Une des grosses erreurs qui est faite est d'ailleurs d'avoir pédagogiquement inventé les angles non orientés. Des fois on se demande ce que les pédago ont dans le crâne. Les élèves n'ont pas de soucis avec les angles orientés (la question n'est pas de savoir s'ils les aiment), qui leur apparait plus précise.

Je ne dis pas qu'ils n'existent pas mathématiquement, je voulais dire (je me suis effectivement mal exprimé) d'en avoir concocté une soit disant version pour les zenfants (au motif que "ce serait plus simple à digérer")