équation irrationnelle

Bonjour kolotoko,

Je note f la fonction numérique'' racine carrée '' .

En tant que vétéran du forum, tu pourrais essayer de taper ce genre d'énoncé en $\LaTeX$

Ce n'est quand même pas bien difficile, il te suffit de taper
$\sqrt {x^2 + 16} + \sqrt {x^2 - 12x + 117} = \sqrt {205}\$. sans le dernier antislash rouge \.

Bien sûr, tu taperas lentement le temps de t'habituer à la syntaxe, mais tu progresseras bien vite et bientôt tu prendras plaisir à écrire joliment tes formules mathématiques sur notre cher forum.

Voir aussi par ici:
https://fr.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Écrire_des_mathématiques#Symboles
pour ma part, j'ai rangé cette adresse dans "Mes favoris"

PS n'oublie pas de faire alors un aperçu avant de poster pour vérifier que ton code $\LaTeX$ est bien passé.

Amicalement. jacquot

Bonjour,

Le minimum global de la fonction $\displaystyle x \mapsto \sqrt {x^2 + 16} + \sqrt {x^2 - 12x + 117}$ sur $\R$ est justement $\displaystyle \sqrt{205}$ à l'optimum $\displaystyle x= \frac{24}{13}.$

J'ai du mal à voir l'intérêt de l'exercice.

Tu bricoles ton équation pour qu'il n'y ait que des solutions entières et un un algorithme donne la solution. B-)-

(la somme de deux entiers positifs qui est égale à un entier positif)

Depuis quand n'enseignes-tu plus, kolotoko ?

Kolotoko,

ce n'est pas la question de la résolution (quoique !), c'est qu'ils ne comprennent pas ce qui est écrit. le calcul littéral est enseigné essentiellement en quatrième sur des questions très simples, la racine carrée n'est vue qu'en troisième. La notion de fonction aussi.
Tu devrais quand même regarder les programmes avant d'affirmer ça !

Je peux te dire que même avec mes quatrièmes d'excellent niveau de 1974, ou mes très très bons troisièmes de 1976 je n'aurais pas fait ce genre d'exercice. Même si certains étaient capables de le faire en troisième. Et le niveau était incomparablement meilleur qu'aujourd'hui.

Cordialement.

Effectivement,

le théorème de Pythagore est introduit en quatrième. Il n'y a pas de racines carrées dans le théorème de Pythagore, ni dans sa réciproque.

Et as-tu vu que les identités remarquables sont introduites en fin de troisième, leur utilisation, en particulier pour de la factorisation ne se fait qu'en seconde ..

Bon, tu te faisais une idée des compétences des collégiens qui n'a aucun rapport avec la réalité, ça arrive ...

Bonjour,

mise à part la provocation de sieur kolotoko, il est balaise ce problème, dans sa conception.
Merci, je mets ça de côté.
(Je n'ai pas fait la même figure que Jacquot, mais les ingrédients pour la résolution sont les mêmes).

-> question indiscrète : c'est de vous sieur kolotoko ?

S

En fin de troisième, dans un "problème". Mais on risque de mâcher le travail avec des indications trop dirigées.

Plutôt lycée, en DM.

Bonjour.

Une méthode pour se débarrasser de la racine carrée dans $\sqrt{a}=b$ consiste à élever les deux membres au carré, ce qui donne $a=b^2$.

Une autre, didactiquement intéressante, consiste à utiliser l'identité $(U+V)(U-V)=U^2-V^2$ :
$$
(\sqrt{a}-b)=0 \Rightarrow (\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)=0 \Leftrightarrow a-b^2=0
$$

Embarqué dans ce train de pensée, on se souviendra du polynôme de Héron
$$
(U+V+W)(-U+V+W)(U-V+W)(U+V-W) = -U^4-V^4-W^4+2U^2V^2+2U^2W^2+2V^2W^2
$$
via lequel on peut se débarrasser de deux, voire trois racines simultanément.
Voici ce que cela donne pour l'équation de kolotoko :
$$
-(x^2+16)^2-(x^2-12x+117)^2-205^2+2(x^2+16)(x^2-12x+117)+2\centerdot 205(x^2+16)+2\centerdot 205(x^2-12x+117) =0
$$
C'est équivalent et pas plus compliqué que la méthode que cherche à induire kolotoko.
Si l'on trouve cette méthode trop compliquée, c'est probablement l'équation posée au départ qui l'est.
Il faudrait peut-être se restreindre à des équations du type $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x+2}$.