Disparition du raisonnement mathématique
Réponses
-
Bruno, tu as oublié "positifs" :-P
-
Exact, ce qui va sans dire va mieux en le disant
-
@ 1528.
Si tu regardes bien, j'ai commencé par ton 2) et j'ai embrayé sur le 1). Après deux bides, la mort dans l'âme j'ai tenté le dernier coup de bluff, qui a marché à ma grande surprise.
L'argument heuristique de Bruno - que je salue - est celui que j'ai servi à mon lycéen qui n'était même pas à moi. Les chefs d'établissement établissent un cordon sanitaire pour éviter je contamine un postulant au bac.
@GMZM. Heureusement ! Je n'ai aucune idée de ce que peut être un entier non standard. Il faut dire que je supporte Liège au foot.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
@GaBuZoMeu : comment décris-tu qu'un système d'axiome est contradictoire, en assimilant les axiomes à des règles du jeu, c'est à dire comment cela se traduirait-il au niveau des règles du jeu ?
-
@ Dom.
moi tout.
$\N$ est livré avec cinq axiomes (de Peano).
Le cinquième est grosso modo le principe de récurrence. Si tu l'as pas, t'as pas $\N$.
Ton 2) c'est une réécriture de ce cinquième axiome. Pas besoin de raisonner par l'absurde.
Avec le principe de récurrence, tu peux démontrer que toute partie non vide de $\N$ admet un plus petit élément.
Si d'autre part tu as un bon ordre sur un ensemble, tu as un principe de récurrence sur cet ensemble.
C'est dans ce sens qu'il s'agit d'une escroquerie. Pour démontrer quelque chose d'"évident", j'ai utilisé quelque chose d'équivalent. Il se trouve que le lycéen a trouvé plus naturelle la deuxième présentation - le client est roi - au point de prendre ça comme une démonstration du principe de récurrence. Ce qui est vrai. Sans vraiment l'être.
Suis-je plus clair ? Pas sûr.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Merci @ev
En effet c'était pas au point dans ma tête.
Si, si, c'est clair.
Il faudrait que je fouille dans mes archives pour retrouver ce papier "démonstration du raisonnement par récurrence" (c'était une démo par l'absurde, il n'y a que cela dont je me souviens, et aussi qui utilisait "l'existence du plus petit élément").
Ça tombe bien, les archives sont... à la cave.
Et comme je sais que je ne retrouverais pas ce papier, allons à la cave, pour trouver...autre chose...:)o -
@ Dom.
Je suppose que toute partie non vide de $\N$ admet un plus petit élément.
Soit $P_n$ une suite de propositions telles que $P_0$ et $\forall n\in \N,\; P_n \Rightarrow P_{n+1}$.
Je suppose, l'espace d'un instant que je n'ai pas $\forall n\in \N,\; P_n$.
De ce fait l'ensemble $Z = \{ n \in \N, \text{ non } P_n \} $ n'est pas vide. Ergo, il admet un plus petit élément $n_0$.
Attention, $n_0 \neq 0$ parce que je sais que $P_0$, donc que $0\notin Z$. Donc $n_0$ est le successeur d'un entier $m$~: $n0 = m+1$.
Donc $m \notin Z$, sinon il y serait strictement plus petit que le plus petit élément. Désordre.
De ce fait, par définition de $Z$, on a $P_m$. Comme on sais de plus que $P_m \Rightarrow P_{m+1}$, cela entraîne ipso facto $P_{m+1}$ c'est-à-dire $P_{n_0}$. On aurait donc $n_0\notin Z$ ce qui est absurde.
J'ai donc $\forall n\in \N,\; P_n$. C'est bien ce foutu principe de récurrence.
Je ne sais pas ce qu'il y a dans ta cave - ni dans la mienne si ça peut te rassurer - mais cela doit ressembler à ce que je viens de tartiner. C'est, à quelques iotas près, le conte de fées que j'ai raconté au lycéen, héros de mon histoire.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je ne sais pas si je suis "inconsciemment de mauvaise humeur" (en tout cas, c'est sûr, ce n'est pas conscient) . L'invasion pédago est encore à son comble dans ce fil. Et les maths n'ont pas droit de cité.
Je rappelle que:
1) l'axiome de récurrence est un axiome "cru" par tout le monde, mais très puissant
2) Qu'il n'y a strictement aucune corrélation "particulière" entre le fait "de le croire" (à part chez les déjà grands qui débattent de constructivisme etc, mais eux, ils sont grands, ils savent de quoi ils parlent) et le fait pour un gamin 2016 de rédiger des preuves qui l'exploite
3) Qu'il n'y a plus de démonstration dans le secondaire depuis maintenant longtemps (à part encore un peu au collège, au lycée, les profs distribuent juste des photos de preuves affichées au palais de la découverte, comme les profs de SVT distribuent des photos d'éléphants).
4) A la suite de (3): que les gamins "ne parviennent pas" (et n'essaient même pas...) à rédiger des preuves. Ajouter "par récurrence" après le mot "démonstration" est un délire supermalsain de pédago, pour le plaisir de parler de la récurrence. Pour insister et le dire autrement: tous les gamins qui rédigent correctement des démonstrations de ce dont ils sont sûr rédigent tout autant correctement des peruves par récurrence. On a $A\subset B$. Mais $A,B$ sont évidemment très petit, puisque $A$ doit occuper moins de 0.3% de la population des S en FranceAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Dans ce texte,
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Preuves-ROC-Cours-VP.pdf
Dans la toute première démonstration par récurrence, la façon dont cela est rédigé.
(je rédigerais de la même façon dans le contexte).
L'élève qui n'exécute pas sans réfléchir et qui se laisse atteindre par ce qu'il lit, il doit s'arracher les cheveux.
Le texte prétend démontrer une propriété P(k), pour tout k entier, et la première chose qui est faite est de supposer P(k) vraie pour on ne sait quelle valeur de k. :-D
Quand un élève de terminale S remarque cette arnaque, en apparence, cela doit être coton pour trouver des arguments convaincants sans l'arnaquer. :-D -
Fdp : Ce texte est, à mon avis, très mal écrit :
1) sortir l'hypothèse de récurrence de l'hérédité de sorte que la nature de l'hérédité n'est pas clairement identifiée : à savoir, démontrer que "pour tout $k\in \N$, $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.
2) faire une démonstration par récurrence dans une situation où il n'y en a absolument pas besoin (la propriété 2).
Je remarque d'ailleurs que tu forces le trait en utilisant la même lettre $k$ alors que l'auteur du texte prend la précaution psychologique d'employer deux lettres différentes $n$ et $k$. -
GaBuZoMeu:
C'est une modification cosmétique pour l'élève.
La rédaction d'une démonstration par récurrence à l'usage d'élèves de terminale comportera toujours une arnaque, en apparence, autrement tu rentres dans des considérations qui ne peuvent pas être complètement appréhendées par un élève de cette classe car il n'a pas la maturité mathématique pour les comprendre. C'est du moins ce que je pense. -
C'est ton avis et je ne le partage pas. Maintenant on peut toujours s'arranger pour embrouiller un élève en lui racontant des sornettes. Comme faire une démonstration par récurrence de la "propriété 2" du texte que tu as mis en lien, alors qu'il n'y a pas de récurrence à faire. Es-tu au moins d'accord sur ce point (qu'il n'y a pas de récurrence à faire) ?
-
Citation GaBuZoMeu :
Maintenant on peut toujours s'arranger pour embrouiller un élève en lui racontant des sornettes.
Comme ici (GaBuZoMeu) :
C'est un axiome, une règle du jeu.(Je ne suppose pas qu'on présente les axiomes de ZF au lycée pour démontrer le principe de récurrence). Si on joue le jeu, on joue suivant les règles, qu'on les aime ou pas.
En effet en math on a tendance à refuser les systèmes d'axiomes prouver inconsistant, donc ton exemple est une sornette, à moins que tu sois en mesure de nous dire ce qu'est un jeu avec des règles du jeux inconsistantes... -
GaBuZoMeu a écrit:Maintenant on peut toujours s'arranger pour embrouiller un élève en lui racontant des sornettes.
Tu peux aussi pratiquer cette technique éprouvée:
On te pose une question,
Tu réponds par une explication sans te soucier d'être compris.
L'interlocuteur te demande des clarifications parce qu'il n'a rien compris,
Tu lui réponds sans te soucier d'être compris.
Au bout de deux ou trois questions, l'interlocuteur va lâcher l'affaire. :-D
Et celui qui croit donner des explications sera peut-être convaincu que l'autre a compris.
Et celui qui pose les questions sera convaincu qu'il est trop stupide pour comprendre et il arrêtera de poser des questions.
PS:
J'avais un prof' de fac qui dans ses cours s'arrêtait et demandait qu'on lui pose une question.
Tous les gens de l'amphi se regardaient étonnés et se demandaient s'ils allaient oser poser une question, si la demande était bien sérieuse. -
FdP : Je remarque que tu évites soigneusement de répondre à ma question précise :Es-tu au moins d'accord sur ce point (qu'il n'y a pas de récurrence à faire) ?
-
Puisque FdP continue d'arroser la ligne de touche :GBZM a écrit:Es-tu au moins d'accord (...) qu'il n'y a pas de récurrence à faire ?
Je réponds à sa place : Effectivement, le collègue qui a sorti la machine à récurrer à fond aurait très bien pu la laisser au garage.
Après, rédiger une récurrence, est délicat. Si on fait le ménage à fond dans les coins, la rédaction devient d'une lourdeur pénible. Or je distingue la démonstration sauce Christophe, objet idéal faisant apparaître tous les détails, et la démonstration pédagogique, en classe, qui doit expliquer et si possible convaincre.
Cela dit, j'évite comme la peste l'expression "hypothèse de récurrence". A mon sens, elle ne fait qu'empirer la confusion que signale FdP, et dont il est peut-être même victime.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Citation GaBuZoMeu :
Je remarque que tu évites soigneusement de répondre à ma question précise
Et alors, cela ne te dérange pas de le faire :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1332870,1334154#msg-1334154
Citation ev :
Puisque FdP continue d'arroser la ligne de touche
GaBuZoMeu aussi alors si tu pouvais également répondre pour lui cela serait top, merci. -
pourexemple a écrit:GaBuZoMeu aussi alors si tu pouvais également répondre pour lui cela serait top, merci.
Je n'ai pas l'heur de comprendre tes questions. Je n'ai pas non plus la témérité de risquer mes derniers neurones valides dans une quète - que je subodore désespérée - à leur trouver un sens.
Curieusement, je n'ai pas ce même problème avec les questions de GBZM. Ce qui ne veut pas dire que je sais y répondre.
Maintenant, toi, pourexemple, peut-être pourras-tu répondre à la place de FdP à ma question, dont j'ai la vanité de penser qu'elle est compréhensible.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je ne me sens pas obligé de répondre à des questions sans grand sens. On peut fixer des règles du jeu qui permettent de démontrer à la fois A et non A. Et alors ? J'aimerais bien que tu répondes à cette question : "Et alors ? Quel est le problème ?". Je t'ai déjà posé cette question, tu n'y as pas répondu.
-
GaBuZoMeu a écrit:faire une démonstration par récurrence dans une situation où il n'y en a absolument pas besoin (la propriété 2).
Il n'y a pas de démonstration unique.
Mais il est vrai que c'est un peu exagéré d'avoir recours à une récurrence pour démontrer la propriété.
Soit $(u_n)$ une suite de réels tel que pour tout n, $u_n\in I$ avec pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$
Soit $f$ une fonction de I dans I.
Si on a pour tout $x$ de I, $f(x)\geq x$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.
L'auteur parle d'une récurrence facile.
Si on a pour tout x de I, $f(x)\geq x$ alors en particulier, puisque pour tout n $u_n$ appartient à $I$, on a donc pour tout n
$f(u_n)\geq u_n$ et puisque $u_{n+1}=f(u_n)$ cela signifie bien que $(u_n)$ est croissante.
"On suppose que pour un certain k entier P(k) est vraie".
On veut démontrer que P(k) est vraie pour tout $k$ mais on suppose que c'est vrai pour un certain entier. L'entier n'étant pas précisé on peut penser que c'est n'importe quel entier, c'est à dire tous les entiers... (c'est ce qu'on est en droit de se dire en lisant la phrase mise entre guillemets) -
Et bien moi je m'y essaye (question de @ev au sujet d'une phrase incomprise de @fdp) :
Je crois que @fdp a voulu dire quelque chose d'équivalent à cela :
Propriété $Tom$ : Si A est fausse alors (A=>B) est toujours* fausse.
Selon moi, la propriété $Tom$ est fausse et on a même :
Si A est fausse, alors (A=>B) est toujours vraie.
On démontre cela avec des tables de vérités, à mon niveau.
@cc l'a démontré avec un judicieux "ou" en parlant de Mickey.
Ainsi, c'est le contraire, cher @fdp, si une hypothèse A est fausse, alors il est inutile de se soucier de la conclusion B, on aura aucun problème à démontrer l'assertion : Si A alors B.
Ne mengueulez pas, s'il vous plaît.
D'ailleurs je sens le mélange et d'autres confusions de ma part...
*j'ai écrit "toujours" pour énerver @cc [small]hihihi[/small] -
@ Dom.
Même les copies que je corrige en ce moment sont plus cohérentes.
Tu fumes corriges quoi en ce moment ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je me souviens de notre premier cours en Sup à la rentrée 72, Logique, diverses joyeusetés, un peu de booléen (je ne sais plus si le prof a employé le terme), les tables de vérité pour les principaux connecteurs, et, in fine :
"Par convention, à partir de maintenant, nous ne travaillerons plus qu'avec des propositions dont la valeur de vérité est VRAI" -
Fdp : Enfin, tu as fini par répondre ; en noyant un peu le poisson.
Tu continues d'entretenir la confusion, en prétendant prouver que c'est forcément confus pour un élève, au point qu'on arrive à se demander si ce n'est pas aussi confus pour toi.Fdp a écrit:On veut démontrer que P(k) est vraie pour tout k mais on suppose que c'est vrai pour un certain entier.
On est dans l'étape d'hérédité Ce qu'on veut montrer à cette étape, c'est :
"Pour tout entier k, si P(k) alors P(k+1)."
Il n'est pas question à cette étape de montrer "Pour tout entier k, P(k)."
Une fois cette étape passée (ainsi que l'étape d'initialisation), on fait appel au principe de récurrence, axiome qui affirme
Si P(0) et si (pour tout entier k, si P(k) alors P(k+1)), alors pour tout n, P(n).
Je me sens bête de rabâcher ça. -
Une petite chose me gêne dans la présentation habituelle de la récurrence, c'est l'initialisation en zéro.
Ainsi, pour les factorielles, on définit 0!
Pour Fibonacci, on définit F0.
Rien à redire, c'est beaucoup plus propre, plus esthétique, et ne pas le faire induit un sentiment d'incomplétude, voire une gêne.
Cependant, et même si cela peut n'avoir aucun intérêt et si je ne vois pas, en ce moment, de cas où cela s'appliquerait, il me semble que l'on n'altère pas la nature du procédé en imaginant des situations où on serait amené à faire l'initialisation pour n=2 ou n=3, sans se préoccuper des valeurs inférieures, en insistant bien entendu sur le "Vrai à partir de n=2 (resp. 3)". -
@ev : tu demandes des précisions à Fin de Partie.
@GaBuZoMeu : Tu parles de voir les axiomes comme des règles du jeu et faire des maths comme jouer à un jeu, et quand on joue à un jeu on en accepte les règles sinon le jeu est changé (car les règles sont changées).
Mais alors un jeu où on peut déduire n'importe quoi reste un jeu qui fait travailler l'imagination par exemple, alors qu'une théorie axiomatique contradictoire n'a aucun intérêt, si ce n'est d'exister, et je ne connais pas de jeu sans intérêt, autre que son existence.
Bon après la question n'est pas évidente, et je te remercie d'avoir essayé d'y répondre.
Je vais en rester là de peur qu'à ton habitude, arriver à court de contre-arguments, tu ne demandes la fermeture de ce fil, et comme ta voix, dans ce forum, est exhaussée (mettre (quelque chose, ou plus rarement quelqu'un) dans une position (plus) élevée), cela pourrait donner lieu à une fermeture effective.
Bonne journée. -
On ne reviendra pas sur le voie ni sur le exhaussée.
Il n'est pire sourd que qui ne veut pas entendre. -
Si tu veux montrer par récurrence "Pour tout entier n supérieur ou égal à 1789, P(n)", tu appelles Q(n) le prédicat P(1789+n) et tu fais une démonstration par récurrence habituelle de "Pour tout entier n, Q(n)" (avec initialisation à 0). L'axiome de récurrence couvre tous les cas.
-
Il n'est pire aveugle que qui ne veut pas voir,
-
pourexemple, explicite ton commentaire !
Bruno -
Je n'ai pas du tout apprécié que GaBuZoMeu ai demandé la fermeture d'un fil auquel il ne savait pas répondre,
ok, je reconnais comprendre vite mais que pour cela il faut m'expliquer lentement, et que GaBuZoMeu avait déjà donné pas mal de son temps, et qu'il en avait peut être assez de cette conversation, mais il aurait pu laisser l'opportunité à quelqu'un d'autre d'essayer de répondre. -
Ce qui n'a rien à voir avec cette discussion.
Bruno -
Merci GaBuZoMeu pour ta réponse sur l'initialisation de la récurrence.
(Et mes excuses pour avoir écorché ton pseudo dans le MP que je t'ai envoyé ce matin, je fais pourtant attention à ne pas intervertir les lettres de ton pseudo, que déjà j'abrège, et pourtant je viens de constater que je suis tombé à pieds joints dedans !) -
GaBuZoMeu:
Tu me convaincs moi parce que je sais, au moins un peu, ce dont tu parles et surtout ce que tu omets de dire.
Mais celui qui n'a pas ces références, lui il ne fait que lire un texte en Français avec seulement sa compréhension de la langue. S'il lit, supposons "que truc est vrai" et qu'on lui demande de le démontrer par ailleurs, il a de quoi se gratter la tête s'il s'intéresse un peu à ce qu'il fait. B-)- -
d'un fil dans lequel tu t'obstinais à ne tenir aucun compte des démonstrations que je faisais de la fausseté de tes simili-argumentsd'un fil auquel il ne savait pas répondre, -
[small]Je corrige mes copines !
Flûte :-(, marre de ce correcteur pornographique.
J'écris trop bite sûrement.[/small] -
Pourrais-tu préciser ? A quoi fais-tu allusion ?Fdp a écrit:surtout ce que tu omets de dire.
C'est volontairement que tu oublies les quantificateurs avec obstination ?S'il lit, supposons "que truc est vrai" et qu'on lui demande de le démontrer par ailleurs,
"truc" est "Pour tout entier n, P(n)" (en français). Où fait-on cette supposition dans la démonstration de l'hérédité ? -
GaBuZoMeu:
Dans le PDF que j'ai indiqué on lit textuellement.
Hypothèse de récurrence: On suppose que pour un certain k de N, P(k) est vraie.
Celui qui lit le Français comprend qu'on suppose que pour ce certain k indéfini P(k) est vraie mais ce certain k est un des nombres pour lequel on voudrait démontrer que la propriété concernée est vraie. Moi, j'y vois des raisons de se gratter furieusement la tête. :-D -
Fdp : J'ai déjà écrit ce que je pensais de ce texte, en particulier à propos de "l'hypothèse de récurrence". Ceci étant dit, où lis-tu "On suppose que pour tout entier k, P(k) est vraie" ? :-D
Et je répète une nouvelle fois qu'on est dans l'étape de démonstration de l'hérédité, c.-à-d. la démonstration de "Pour tout entier k, si P(k) alors P(k+1)". B-)
Par ailleurs, je répète ma question : qu'est-ce que j'omets de dire ? X:-(
[size=x-small](j'ai mis quelques smileys, puisque tu sembles les apprécier).[/size] -
GaBuZoMeu:
"Pour tout",ou "Pour un certain", on peut suspecter, même si c'est à tort dans le cas d'espèce, et si on lit le Français, une arnaque.
Démontrer que tous les éléments d'un ensemble possède une propriété, c'est par voie de conséquence, démontrer qu'un élément en particulier possède cette propriété.
Maintenant si au cours de la démonstration tu écris:
supposons que cette propriété est vraie pour un certain élément de cet ensemble, si tu te permets cette supposition tu peux tout aussi bien supposer, tant qu'à faire, que la propriété est vraie pour tout élément de cet ensemble, l'arnaque est presque la même. :-D
(note qu'en Français le mot certain est utilisé dans l'expression: je suis certain qui signifie qu'on exprime une certitude) -
Je crois que la discussion s'enlise dans un ergotage sans aucun intérêt. Et tu n'as toujours pas répondu à ma question : qu'est-ce que j'omets de dire ?
Si on arrêtait là ? -
L'étape de l'hérédité consiste à montrer que:
Pour tout n, $A_n=>A_{n+1}$
On en a rien à cirer, à cette étape, des valeurs de vérité des $A_n$
Ce qui permet d'affirmer, sauf erreur, que pour tout $n$, $A_0=>A_n$ est vraie et on a en toujours rien à cirer des valeurs de vérité des $A_n$
Pourquoi dans la plupart des rédactions d'un raisonnement par récurrence les auteurs commencent par vérifier que $A_0$ est vraie pourquoi ils ne commencent pas par l'étape de l'hérédité qui valide que potentiellement un truc peut survenir et ensuite, on vérifie $A_0$ et le truc potentiel devient effectif.
La difficulté que je vois est la différence qu'il y a entre quelque chose qui est potentiel et quelque chose qui est effectif. -
Je pense que d'une part, c'est toujours plus long de démontrer l'hérédité que l'initialisation (on se fout de la pertinence de la sémantique) et d'autre part si on prouve l'hérédité mais que l'initialisation n'a pas lieu, alors on se tire une balle !
Aussi, attention, lors de la démo de l'hérédité, il "faut" être dans les conditions de l'initialisation (sinon on prouve que toutes les personnes de ce forum ont le même sexe).
Franchement, est-ce une vraie question de bonne foi ? -
"Franchement, est-ce une vraie question de bonne foi ?"
Franchement, est-ce une vraie question de bonne foi :-) ? -
Il avait été donné un exemple d'une propriété sur les entiers dont on peut démontrer la potentialité (l'hérédité) mais qui en fait n'est jamais vraie. C'est fascinant et montre bien que ce qui est potentiel ne devient pas nécessairement effectif.Dom a écrit:Franchement, est-ce une vraie question de bonne foi ?
Si tu veux insister sur la différence entre ce qui est potentiel et ce qui est effectif, tu ne commences pas, à mon humble avis, par indiquer que telle chose est effective (l'initialisation dans laquelle le fait que $A_0$ est vraie n'est plus potentielle mais effective) tu commences par indiquer ce qui est potentiel.Dom a écrit:sinon on prouve que toutes les personnes de ce forum ont le même sexe
Je suis intéressé par cette "preuve". B-)- -
Pardon pour la question sur la bonne foi.
J'ai écrit cela rapidement et c'est agressif, après tout.
La preuve erronée arrive mais c'est bien connu et on en a parlé il y a moins d'un mois. -
Dom:
J'ai pris tes mots au sérieux, je me disais que tu avais un exemple sur une situation compréhensible par le plus grand nombre où l'hérédité est vraie mais pourtant la propriété affirmée est fausse. -
n = n - 3
Si c'est vrai pour k, ça l'est pour k+1...
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 26
+16 Invités