Origine : Théorème de Thalès

Arturo · October 2016

Bonjour,

Je souhaiterais savoir par où commencer pour travailler avec les élèves sur le théorème de Thalès.

Propriété 1 concernant sur les côtés proportionnels
Propriété 2 concernant le théorème de Thalès

OU

Propriété 1 concernant le théorème de Thalès
remarque concernant sur les côtés proportionnels.

Que dit l'histoire et l'ordre logique des démonstrations ?
Merci pour votre aide,
A.

Arturo · October 2016

Dans une même idée : vaut-il mieux commencer par les agrandissements, réductions et homothéties puis le chapitre sur Thalès ou inversement ?

Enfin, quelle rédaction adoptez-vous pour le théorème de Thalès : droite sécante, points alignés, triangle dont deux points appartiennent à deux côtés ?

Merci, une nouvelle fois.

Dom · October 2016

Va jeter un œil aux documents ressources (même s'ils contiennent parfois dès choses étonnantes...qui n'étonnent pas tout le monde).

Arturo · October 2016

Les nouveaux documents ressources (de la réforme), ou les précédents ?
Quoiqu'il en soit, je souhaitais une réponse purement mathématique, logique... parce que des fois, les livres et autres documents ressources ne me conviennent pas.

kioups · October 2016

Pour les homothéties, tu ne trouveras pas grand chose dans les ressources des années précédentes. A ce propos, étant qu'il n'y aura pas les transformations au DNB 2017, je n'y passerai probablement pas beaucoup de temps !

Dom · October 2016

@kioups
J'ai cette info mais as-tu une source ?

christophe c · October 2016

@Arturo: précise un peu ce que tu souhaites. Souhaites-tu le prouver?

kioups · October 2016

Dom : oui, ici -> http://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html?cid_bo=106994

christophe c · October 2016

[small]Apparté ON:
@kioups: tu vois bien sur cet exemple (le lien que tu as mis), que quand il veut, le rédacteur d'un ordre sait s'exprimer de manière correcte (il donne un ordre, ne se justifie pas, ne tient pas de discours vaseux mièvre avec description fantasmé d'un réel, etc).
Apparté OFF[/small]

kioups · October 2016

[small]Mais je ne vois pas d'ordre dans les documents d'accompagnement. Ni vraiment de nouveautés par rapport à ce qui se faisait avant. En tous cas, ça ne va changer ma manière d'enseigner.[/small]

Arturo · October 2016

Je ne souhaite rien prouver mais construire mon cours de manière cohérente et logique, et je m'en remets à vous car je n'ai pas de réponses à ces questions.

Je souhaite juste savoir dans quel ordre cela a été introduit (le théorème de Thalès sert-il à démontrer la proportionnalité dans un triangle, ou est-ce le contraire) ?

Le cheminement s'est-il fait ainsi :
Théorème de Thalès -> Proportionnalité -> agrandissement réduction, homothétie,
ou bien
Théorème de Thalès -> agrandissement réduction, homothétie -> Proportionnalité ,
etc.?

Le théorème de Thalès sert-il à démontrer les propriétés sur les agrandissements, réductions, homothéties, ou est-ce le contraire ?
Après, je souhaiterais connaitre la rédaction que vous employez avec vos élèves (plusieurs sont proposées, et je ne sais pas trop laquelle choisir...).

Merci.

christophe c · October 2016

@Arturo: mais il y a en fait équivalence, donc mathématiquement, ça va dans les 2 sens. Il y a un sens trivial, qui est que le théorème de Thalès (ainsi que sa réciproque d'ailleurs) est un cas particulier d'un énoncé général sur les "agrandissements-réductions" (à condition de bien tout mettre dans ledit énoncé). Mais à son tour, il implique (modulo des axiomes bien plus généraux) cet énoncé.

Ton cours théorique, si tu ne prouves rien, peut avoir la forme suivante:

Axiome vox-populi: si les côtés des triangles ABC et A'B'C' sont parallèles 2 à 2 en respectant les lettres alors toutes les longueurs ont été multipliées par un même nombre pour passer de ABC à A'B'C'.

Tu fais voter, tu ne le présentes pas comme un axiome, mais comme une question avec $\forall A,B,..,C'$ devant.

Une fois acquis que tout le monde est d'accord (par exemple en offrant 20 de moyenne à qui trouve un contre-exemple), tu énonces avec le statut "admis" l'axiome, puis tu en déduis le théorème de Thalès.

Je ne vois pas tellement quoi te dire d'autre :-S

Tu peux aussi "distraire les enfants" avec des montages video lors desquels (avec la même qualité de réalisation que dans Docteur Strange :-D ) on voit que respect des angles => similitude (ie agrandissement proportionnel) aussi tordus que soit les mouvements des entités qui bougent. Mais ça te demandera du taf de construire ces vidéos.

De toute façon, le cours théorique fait 3 lignes et les exercices que tu feras, ce sont eux qui t'informeront de la réception par la classe.

Arturo · November 2016

Bonjour à tous,

J'ai longuement (trop longuement) réfléchi sur la rédaction à aborder.
Je souhaiterais vous en faire part pour que vous me disiez ce que vous en penser.

Théorème :
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
et si AM / AB = AN / AC = MN / BC,
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Réciproque du théorème :
SI AM / AB = AN / AC,
si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A,
si les points A, M et B d'une part et si A, N et C d'autre part sont alignés dans le même ordre
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Contraposée du théorème :
Si AM / AB n'est pas égal à AN / AC,
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Je commence par le calcul des quotients car, c'est ce qui permet de passer à la suite : soit droites sécantes et alignement des points pour montrer le parallélisme, soit pour en déduire qu'il n'y a pas parallélisme.

Je préciserai ensuite que les termes "réciproques" et "contraposée" sont des abus de langage, au sens où elles ne respectent pas tout à fait le sens mathématique.

Qu'en pensez-vous ?

En vous remerciant par avance.

kioups · November 2016

Il y a une erreur dans ton théorème (qui ressemble étrangement à la réciproque)

Pour la réciproque, c'est inutile de dire que (BM) et (CN) sont sécantes en A alors que tu dis ensuite que les points sont alignés.

Dom · November 2016

Je n'ai pas compris tout de suite s'il s'agissait d'énoncer les théorèmes ou bien d'éléments de rédaction.
En géométrie, je préfère des énoncés où on ne nomme pas la figure.
Cela devient une contrainte, je le reconnais.

Énoncé : Si deux droites sécantes coupent deux droites parallèles, alors elles déterminent deux triangles de mêmes proportions.
Trois défauts :
-le terme "déterminer" n'est pas clair.
-il faudrait préciser que les droites parallèles ne sont pas confondues
-il faudrait préciser que les droites sécantes ne sont pas sécantes sur une des droites parallèles

Je commente maintenant ce que tu écris :

1) le sens direct du théorème.
Heu...le théorème ? C'est pas ça, non ? Edit : ce que dit @kioups.

Je propose : (rédaction d'une copie utilisant le théorème)
Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en M
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Donc d'après le théorème de Thales, les triangles MAC et MBD ont les mêmes proportions.
et là on écrit les rapports de longueurs

2) réciproque
La deuxième phrase ne sert à rien (droites sécantes). Edit : ce que dit @kioups.
Je dirais "dans cet ordre" au lieu de "dans le même ordre" mais c'est très accessoire, sans doute.
Je comparerais seulement après, les rapports de longueur.

3) contraposée du théorème.
Dit comme cela, c'est faux, non ? (En échangeant par exemple les rôles de M et N)

Je ne pense pas qu'il faille parler de contraposée, mais c'est vraiment un choix du prof à faire.

Arturo · November 2016

Merci à vous deux, Kioups et Dom, de m'avoir répondu.

Oups, en effet, chose importante, comme vous le dites : il y a une coquille dans le théorème.
Je rectifie, théorème :
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
et les droites (MN) et (BC) sont parallèles ,
alors AM / AB = AN / AC = MN / BC.

Si je comprends bien, vous me dites que préciser "droites sécantes" et "alignement de points" ?
Si tel est le cas, je suis d'accord avec vous.
La "mode" étant de parler des points alignés, je conserve donc cette condition.

Pourquoi ne pas commencer par l'égalité des rapports ou non puis par l'alignement des points, Dom ?
Ca permettrait de savoir, tout de suite, si l'on parle de la réciproque ou de la contraposée.

Je comprends ta remarque, pour la contraposée, Dom : mais je ne suis pas parvenu à trouver de contre-exemple (et qui démontre que ce que j'ai écrit est faux).
Je dois ajouter la condition sur les droites sécantes ou sur les points alignés ? Quel est le "mieux" ?

Et que pensez-vous de la précision sur les abus de langage, en sachant que j'ai expliqué aux élèves comment obtenir la réciproque / la contraposée d'un énoncé ?
Ca permet de rebondir dessus.
J'ai cherché à savoir s'il existe d'autres appellations de cette réciproque et de cette contraposée (au même titre que les propriétés 1, 2 et 3 de la droite des milieux) mais je n'ai rien trouvé à ce sujet.

Dom · November 2016

Ok pour le théorème.
[small]Un dernier détail : les points A, B, C, M et N doivent être tous distincts.
D'ailleurs, si dans la première phrase, on n'a pas les 5 points de la figure, alors cela est faux (trouver un contre-exemple). [/small]

Pour la précision (lors de la rédaction de la réciproque) :
Si on ne parle que de "droites sécantes" et de rapports égaux, la réciproque peut ne pas s'appliquer, donc c'est à exclure (trouver un contre-exemple).
Si on parle de "points alignés dans le bon ordre", alors la réciproques s'applique bien (enfin, elle est vraie quoi).
Enfin, parler de "points alignés" (dans ce cas) signifie que les droites sont sécantes (sauf dans le cas où tous les points sont alignés, ça rend les droites parallèles, mais ce n'est pas gênant car la conclusion est encore vérifiée).

Je ne préconise pas l'égalité des rapports en premier car il me semble que l'on regarde d'abord si l'on est dans une "bonne configuration" avant de se lancer. Mais logiquement on peut faire ce que l'on veut.
C'est un choix du prof. C'est davantage psychologique que mathématique.

Dans la contraposée que tu as écrit on trouve une coquille (négation oubliée) et il manque une hypothèse pour que çe soit vrai. Si, si, on trouve des contre-exemples !
Par exemple en ne mettant pas M sur (AB)...

Arturo · November 2016

Dom,
je reprends la contraposée :
Si les points A, M et B et A, N et C ne sont pas alignés dans le même ordre et si AM / AB n'est pas égal à AN / AC,
alors les droites (MN) et (BC) NE sont PAS parallèles.
Est-ce mieux ?

Une question : n'y a-t-il pas une expression plus rigoureuse que des points alignés et ordonnées ? Car il me semble que cela n'ai pas beaucoup de sens qu'un ordre de points...

kioups · November 2016

Non, la "contraposée" de Thalès, ça serait :
Les points A, M, B et A, N, C sont alignés (dans le même ordre, même si ça n'est pas vraiment important, mais c'est histoire d'avoir une rédaction proche de la réciproque).
Les rapports ne sont pas égaux donc les droites ne sont pas parallèles.

Dom · November 2016

C'est encore peu orthodoxe...

La véritable contraposée n'est d'ailleurs dans aucun bouquin.
C'est à peu près normal, la négation de "l'égalité" des trois rapports est pénible à écrire (c'est en fait la négation de trois égalités simultanées).
Ainsi, on se place dans une configuration précise où seul la première égalité est niée pour entraîner le non parallélisme.

On pourrait récrire le théorème de Thalès pour que sa contraposée soit celle du collège.

Il faut réfléchir à tout ça.

Autre réflexion : dans les "bonnes configurations" que se passe-t-il si la troisième égalité à lieu ? A-t-on à coup sûr du parallélisme ?

Ha sacré Thalès !!!

Arturo · November 2016

Si je comprends bien, Kioups, préciser l'ordre des points n'est pas utile dans la contraposée ? Je peux me limiter à l'alignement ?

Dans certains manuels, il précisent, pour la contraposée :
points distincts, droites sécantes, rapports non égqux donc droites non parallèles.
Pourtant, tu m'as dit ci-dessus, Dom, que "Si on ne parle que de "droites sécantes" et de rapports égaux, la réciproque peut ne pas s'appliquer, donc c'est à exclure (trouver un contre-exemple)".
Je sais qu'il ne faut pas se fier au manuel, mais j'aimerais comprendre.

Je demandais cela concernant l'alignement des points car certains remplacent cela par :
"A appartient au segment [MB] et [CN] ou n’appartient à ni l'un ni l'autre"
C'est peut-être plus rigoureux ?

Dom, à quoi ressemblerait la véritable réciproque du théorème de Thalès et sa véritable contraposée si le théorème s'écrivait :
A, B, M, C, N 5 points distincts.
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
et les droites (MN) et (BC) sont parallèles ,
alors AM / AB = AN / AC = MN / BC.
Parce justement, j'y ai réfléchi mais je ne suis pas sûr de moi.

Enfin, n'existe pas une rédaction du théorème pour aquelle la contraposée et la réciproque porterait ce nom à juste titre et non par abus de langage ?

PS: tu pourrais préciser ta penser pour :
"Autre réflexion : dans les "bonnes configurations" que se passe-t-il si la troisième égalité à lieu ? A-t-on à coup sûr du parallélisme ?"

Merci à vous deux pour les réponses à ces questions.

kioups · November 2016

Pour la réciproque, un contre-exemple serait d'avoir les points alignés, mais pas dans le bon ordre. On peut alors avoir égalité des rapports mais pas du tout parallélisme.

Dom · November 2016

Je vais proposer un énoncé du théorème de Thalès : (dans la forme que tu cherches, avec les lettres)

On considère cinq points distincts $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ tels que les points $C$, $A$, $N$ d'une part, et $B$, $A$, $M$ d'autre part sont alignés dans le même ordre[large]*[/large]

Théorème de Thalès : Si (1) $(BC)$//$(MN)$, Alors (2) $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.
Réciproque du théorème de Thalès : Si (2), Alors (1).
Contraposée du théorème de Thalès : Si non(2), Alors non(1). [small]edit : août 2017 oubli du "non"[/small]
---

J'ai mis la contraposée à la fin mais elle a sa place en deuxième, bref...

Ainsi, en séparant "la configuration" de l'énoncé de Thalès, je garde la configuration dans tous les cas.
Y'a plein de trucs cachés au foutu collège (je parle des programmes et des bouquins).
Dans le théorème, par exemple, points alignés dans l'ordre n'est pas utile car le parallélisme "l'oblige".
La deuxième égalité (que je n'ai pas écrite) : c'est une conséquence de la première égalité (celle un est écrite dans mes énoncés) et de la configuration elle même (triangles semblables en raison du parallélisme).

[large]*[/large]Dans l'énoncé général, l'expression "même ordre" est préférable car elle veut signifier qu'il s'agit de l'ordre d'énonciation des triplets. Mais c'est assez ambigu.
Par contre, lors de la rédaction, je pense que "dans cet ordre" est préférable. Mais c'est un détail...
Pour s'en passer, il faudrait dire $A\in [BM]$ ou des trucs de ce genre.
Dans l'énoncé général, une écriture du genre $A \in [NC)$ doit suffire à envisager toutes les configurations.

christophe c · November 2016

@Arturo: ça ne te plaisait pas http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1348792,1349052#msg-1349052 ?

Sinon, pour les énoncés du TT les plus esthétiquement disposés, fouille google (et wiki), doit bien y avoir des typographies qui te taperont dans l'oeil, non?

J'en ai vu une pas mal de dom dans la fenètre popup tout à l'heure, mais le fil s'est allongé.

Arturo · November 2016

Il y a beaucoup de choses à tenir compte et de possibilites que c'est à s'y perdre.

@ Kioups : je peux donc me contenter dans la contraposee de parler de l alignement sans preciser l ordre mais tu me conseilles de l indiquer pour rester prche de la redaction de la reciproque, c'est ça ?

D'accord, Dom, mais l'alignement des points, indiqué dans le debut du theoreme doit tout dememe etre verifié, non ?
Qu'appelles-tu "configuration de l enonce" et "configuration de Thales"
Par configutmration de l enonce, tu entends "contexte" ?
Si c est le cas, cela rejoins ma precedente question sur le fait que le contexte doit quand meme etre verifié.

Mais j avoue que ta proposition est interessante mathematiquement.
Le fait que tu ecrives "C, A et N alignes dans le meme ordre que B, A et N", cela peut-il etre remplace par la proposition que je t ai soumise dans le msg precedent (A appartient à [BM] et à [CN] ou à ni l un ni l autre) ?

Dom · November 2016

Oui, telle que je l'ai proposé, pour appliquer le théorème, ou la contraposée, ou la réciproque, on doit être dans cette configuration (i.e.: les points alignés dans l'ordre d'énonciation - c'est cela que j'ai appelé configuration de l'énoncé dans mon message, en effet, oralement on peut parler de contexte).
Et c'est une des raisons pour laquelle je dis que je préfère en parler en premier, avant "les calculs".
En gros "on décrit d'abord la situation, le contexte, pour pouvoir se poser la question de l'utilisation de Thalès".

Pour Pythagore, on n'a pas ce problème.
Disons que c'est comme s'il fallait vérifier qu'on a affaire à trois points, dans l'idée...

Retour sur une de tes questions :
En effet, pour la contraposée, ne pas préciser "points dans cet ordre" mais parler des droites sécantes semble suffire.
Cependant je dirais comme @kioups. Rédiger comme pour la réciproque.
Mais c'est à se demander si on ne crée pas de la confusion avec ces notions difficiles. Cela donne un modèle, une recette, et on sort de la pédagogie. Il n'y a pas à culpabiliser de trop non plus.
Ou alors parler toujours des points alignés dans cet ordre, que ce soit pour le théorème ou la réciproque ou la contraposée.

Autre point de vue : parfois on ne dit pas "contraposée" mais on commence un raisonnement par l'absurde pour dévoiler que l'on utilise le théorème et non pas la réciproque.
"Si les droites sont parallèles, alors on a l'égalité" or "comme on n'a pas l'égalité" on en déduit que les droites ne sont pas parallèles".
On n'a pas eu à parler "des points dans cet ordre" car on à appliqué le théorème.
C'est donc certain que ce n'est pas nécessaire.

Autre question encore :
Oui, avec des "appartient" et des "segments" ou "demi-droites" on peut se passer des "alignés dans l'ordre".
Mais d'ailleurs, je pensais avoir répondu à cela, plus haut. Dans l'astérisque rouge [large]*[/large]

@cc
Pas compris l'histoire du popup.
Ou alors c'est le téléphone qui n'affiche pas bien tout ça...?

Arturo · November 2016

Je comprends tout à fait Dom, cette histoire de contexte / configuration, mais il me semble qu'il faut, dans la rédaction, s'interroger si le contexte est vérifié ou non.
Donc, finalement, que l'on écrive : "Soient 5 points distincts et deux droites sécantes" ou "Soient 5 points distincts, si deux droites sécantes", il faut dans les deux vérifier que les deux droites sont sécantes et l'écrire dans la rédaction, non ?
Parce que, lorsque les droites des milieux étaient au programme, on était obliger de vérifier toutes les conditions (en tout cas, c'est ce que je faisais) : on aurait aussi pu parler de contexte.
Pour être plus clair, c'est que les propriétés ayant plusieurs conditions ont des réciproques et contraposées alambiquées à écrire mathématiquement parlant.
J'essaie de trouver quelque chose de simple mais surtout rigoureusement juste.

Astérix rouge :
"Pour s'en passer, il faudrait dire A appartient à [BM] ou des trucs de ce genre.
Dans l'énoncé général, une écriture du genre A appartient à [NC) doit suffire à envisager toutes les configurations".
Je ne comprends pas bien la première et la deuxième phrase.

Parfois, à vouloir trop bien faire on se heurte à des difficultés qui sont tout autre... Quel dommage...

@cc : j'ai lu ta réponse, et merci de m'avoir répondu ; mais celle-ci ne semblait pas adapter à des collégiens...
Je n'y ai pas trouvé une réponse qui me convenait.

Dom · November 2016

En effet, d'une manière ou d'une autre il faut parler, disons-le comme ça "de la configuration du théorème ou contraposée ou réciproque".
Pour rester rigoureux, lorsqu'il faut rédiger une preuve :
Si je souhaite calculer une longueur, ou plus généralement, démontrer une égalité de rapport de longueurs on peut choisir :
-les droites (AB) et (CD) son sécantes en E
-les droites ( ) et ( ) sont parallèles
-d'après le théorème de Thalès, les triangles ... et ... ont les mêmes proportions :
- ....=....=....

Si je souhaite démontrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles, on peut choisir :
-les points , , d'une part et , , d'autres part sont alignés dans cet ordre
- .../... = et .../...=
-on étudie les produits en croix [small](il y a d'autres méthodes, bien sûr)[/small]

- [small]deux cas se présentent [/small]
- .../...=.../... (resp. .../... n'est pas égal à .../...)
-d'après la réciproque du théorème de Thalès (resp. d'après le théorème de Thalès)
-les droites (...) et (...) sont parallèles (resp. les droites (...) et (...) ne sont pas parallèles)

Remarque : inutile de parler de contraposée, surtout avec les difficultés que l'on vient de discuter. Même le mot réciproque est délicat selon les énoncés que l'on choisit pour le théorème.

Laissons tomber l'astérix rouge. De toute manière ce n'est pas nécessaire.

Arturo · November 2016

D'accord et merci d'e prendre tout ce temps pour me répondre, Dom.
Ultime question : sais-tu, par hasard, pourquoi on ne fait pas avec Thalès ce que l'on fait avec les droites des milieux, à savoir parler de "Théorème 1, 2 et 3" plutôt que d'utiliser un langage mathématique qui est faux.

Dom · November 2016

Je ne sais pas trop. Un contexte historique peut-être ?

Amusant : Si j'en crois l'ordre choisi (1,2 et 3).
Le théorème 1 est la réciproque du théorème de Thalès (conclusion : c'est parallèle), le théorème 2 est la conséquence du parallélisme donc la conséquence du théorème de Thalès (conclusion : égalité avec des longueurs sur les côtes parallèles - la deuxième égalité dans les rapports de Thalès) et le théorème 3 est le théorème de Thalès (conclusion : égalités sur les longueurs des côtes non parallèles).

Les théorèmes 1 et 3 sont sont souvent présentés comme réciproque l'un de l'autre.

Arturo · November 2016

J'ai choisi cet ordre parce que c'est l'ordre avec lesquels on les traite en général, rien de mathématique là-dedans, en tout cas, ce n'était pas voulu.
Tu penses que je peux les nommer ainsi et travailler avec comme pour les droites des milieux ?

Dom · November 2016

Je dirais que l'on peut tout faire. Voire que c'est légitime de renommer à sa sauce.
Cependant, je ne le conseille pas, pour plusieurs raisons :
-dans une copie, théorème 1, n'est pas acceptable, par exemple au DNB.
-pire, même si je n'y crois pas, si jamais le sujet contenait une indication ou une consigne "appliquer le théorème de Thalès au triangle", l'élève serait pénalisé.
-au lycée, la "marque Thalès" suffit à effectuer des raisonnement rapidement, le cas échéant.

Tu auras compris que mes arguments ne sont pas mathématiques...(sauf le premier, presque).

Arturo · November 2016

Je te remercie Dom, pour cet échange, ainsi que pour avoir répondu à toutes mes questions et vais faire de mon mieux pour être le plus rigoureux sur Thalès, avec ce qu'il m'est possible de faire en termes de rédactions..

Arturo · August 2017

Bonjour,
Est-il nécessaire d'évoquer l'alignement des points dans la contraposée du théorème de Thalès ou le fait de démontrer que les quotients (qui vont bien) ne sont pas égaux (d'ailleurs, dites-vous qu'ils sont inégaux ? Ou ce terme est-il consacré aux inégalités ?) suffit à démontrer que les droites associées ne sont pas parallèles ?
Merci à vous.

Dom · August 2017

Je crois qu'on avait fait le tour de la question l'an dernier.
N'était-ce pas toi d'ailleurs à l'origine du fil ?

En gros, le sens direct et la réciproque sont assez mal nommés au collège : rien n'interdit de faire de la rigueur et de changer les énoncés.
Je vais voir si l'on peut retrouver cela..

Dom · August 2017

Ici je crois : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1348792,1354122#msg-1354122

Mathurin · August 2017

Bonjour,
pardonnez ma naïveté, je ne suis pas prof, mais comment concrètement démontrez-vous le théorème de Thalès au collège ?
- Est-ce par la méthode des aires (cf Euclide) ex :

?
- Est-ce par les vecteurs ou les coordonnées ? ( ce qui supposerait une notion implicite d'ev)
- Est-ce par une méthode "expérimentale" ex: en se ramenant au "principe de la carte" (toute carte décrit une surface plane en multipliant les distance par un même rapport qui est son échelle et en conservant les angles, principe admis en primaire de mon temps et auquel ou peut ramener la configuration de Thalès) ?
- Est-ce par une autre méthode plus ou moins "à l'estomac" ?

Merci de votre réponse.

Dom · August 2017

Avec les programmes en vigueur : méthode des aires.
Pour les inspecteurs et les profs, c'est génial car on revoit plein de choses : égalités des aires pour les triangles de même base et même hauteur, égalité des produits en croix, quelques manipulations algébriques avec des écritures fractionnaires.
Malheureusement, c'est quand même très coton pour un élève même avec les connaissances réacquises.

Les autres méthodes sont inabordables à mon sens du fait que les outils ne sont pas au programme.
J'ai réfléchi avec les homotheties mais rien trouvé.

Évidemment comme c'est un théorème affine, ça gêne quand même d'utiliser l'euclidien.

On pourrait aussi partir du théorème des milieux (qui désormais n'est plus écrit explicitement - ni implicitement - dans les programmes) et résoudre les cas "rationnels". La conclusion par densité (sans le dire comme ça) semblerait évidente pour les élèves "on peut montrer que cela fonctionne même quand ce n'est pas rationnel".

pldx1 · August 2017

@Dom.
Discussion entre enseignants: l'aire n'est pas une notion euclidienne. Elle mesure le quotient entre la surface à mesurer et une certaine surface standard (le parallélogramme construit sur les vecteurs unités). Cela se fait par pavage... ou par rapport de déterminants. Evidemment, il n'y a pas d'invariance par rotation tant qu'il n'y a pas de rotations. D'un autre côté, il y a comme une difficulté à définir ce qu'est le transport parallèle d'un pavé tant qu'il n'y a pas la propriété de Thalès. L'affirmation aire implique Thalès n'est pas bien claire. (fin discussion entre enseignants).

Et donc, comme il faut bien commencer quelque part, on part des aires, qui semblent bien perçues et dont les propriétés sont bien admises.

Cordialement, Pierre.