Inégalité triangulaire

Arturo
Arturo
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

Je prépare le cours sur la construction de triangles en 5ème et avant de commencer cela, je souhaitais intégrer la partie sur l'inégalité triangulaire.
Ci-dessous, ce que j'ai commencé à faire.
Deux choses me posent problèmes et souhaiterais avoir votre avis.
L'inégalité triangulaire concernant des points : je me souviens de d(B ; C) inférieur ou égal ou égal à d(B ; A) + d(A; C),
soit BC inférieur ou égal à AB + AC.
* L'inégalité triangulaire est une inégalité large et en ce qui me concerne, j'ai séparé le cas inégalité stricte (première propriété) du cas égalité (deuxième propriété) : puis-je appeler inégalité triangulaire l'inégalité stricte ?
* puis-je parler d'inégalité triangulaire dans un triangle ?
Dans les manuels, qui ne sont pas une référence mais peuvent aider à la réflexion, on trouve de tout : des raisonnements comme le mien, le titre s'appelle inégalité triangulaire mais ils ne disent pas ensuite ce dont il s'agit, etc.

N'hésitez pas à me donner votre avis, je ne sais vraiment pas comment aborder cette partie de manière simple mais rigoureuse.
PS: je souhaiterais pour le moment, éviter de parler de l'inégalité large et donc me consacrer sur deux propriétés plutôt qu'une seule.
Merci beaucoup.57022

Réponses

  • JJ64
    JJ64
    Salut,

    Perso je parle de l'inégalité large. Ca permet d'introduire le symbole "inférieur ou égal" qui n'a pas forcément été vu en 6ème.
    De plus, l'inégalité triangulaire au sens large est valable pour tous points A, B, C du plan.
    Le problème avec l'inégalité stricte est que tu laisses de côté le cas du triangle aplati, c'est quand même dommage.
    Il te manque également la réciproque dans ta dernière propriété.

    En ce qui me concerne, ce n'est pas une partie qui ne me passionne, je la traite rapidement : elle sert uniquement à justifier l'existence ou non d'un triangle connaissant les longueurs de trois côtés éventuels.
    La seul chose intéressante est pour moi justement le cas particulier de l'égalité!

    JJ
  • Arturo
    Arturo
    Merci pour ta reponse JJ.
    J ai ecrit dans le cours la reciproque dont tu me parles mais je ne l ai pas mis ici car je ne me preoccupe que le l implication directe.

    Pourquoi dis que je laisse le cas du triangle aplati puisque c est ce traite ma deuxieme propriete ?
  • JJ64
    JJ64
    Je n'avais pas compris que tu parlais des triangles aplatis dans la deuxième propriété : pour moi c'est une propriété qui est vraie pour tous points A, B, C du plan.

    Dans le cours, je le rédigerais de cette manière :

    Propriété 1 : Pour tous points A, B, C du plan on a l'inégalité triangulaire (au sens large)

    Etude du cas particulier de l'égalité (sens direct et réciproque)

    Propriété 2 : Application de l'inégalité triangulaire à la construction de triangles dont on connait les trois longueurs (en fait il suffit de regarder une seule inégalité triangulaire pour savoir si le triangle est constructible).

    Cas particulier de l'égalité : on obtient un triangle dit "aplati".

    JJ
  • Arturo
    Arturo
    D'accord, Je vais essayer de suivre ton raisonnement et l appliquer dans la mise en place de mon cours.
    Merci.

    Autre question : puisque tu ne me conseille pas de parler d inegalite triangulaire lorsque l inegalite est stricte, quelle type de question puis je pose aux eleves pour leur demander de m ecrire AB < AC + BC, AC < AB + BC et BC < AB + AC ?
    Avant j aurais demande de me citer les 3 inegalites triangulaires, mais maintenant ?
  • JJ64
    JJ64
    Ce n'est pas ce que je dis : je dis que le cas de l'égalité dans l'inégalité triangulaire est un cas particulier de l'inégalité triangulaire. Quand tu parles d'inégalité triangulaire pour les valeurs absolues l'inégalité est large également.

    Pourquoi cela te dérange d'écrire des inégalités larges au lieu d'inégalités strictes? Comme disait un de mes profs à la fac qui peut le plus peut le moins! :)
  • Arturo
    Arturo
    Je pense que je n ai pas assez precise ma question : les trois inegalites ci dessus sont pour un triangle non aplati.
    J aurais pense demander aux eleves de m ecrire les 3 inegalites que verifient les longueurs des cotes de ce triangle, à savoir inegalite stricte.
    Evidemment les inegalites larges sont aussi vraies mais le but est d etre le plus precis possible tout comme on demande quelle est la nature d un triangle, que la reponse attendue est equilaterai et qu il repond isocele.
  • JJ64
    JJ64
    Ok je crois te comprendre. En fait on n'utilise pas l'inégalité triangulaire pour la même chose.

    Toi tu pars d'un triangle et tu fais écrire les trois inégalités triangulaires.

    Moi j'utilise uniquement l'inégalité triangulaire pour justifier qu'on peut construire ou non un triangles de longueurs de côtés données. Par exemple : peut-on construire un triangle ABC tel que AB = 10 , AC = 7 et BC = 5 ?
    Il suffit de comparer AB et AC + BC (pas besoin de regarder les deux autres) et on conclut avec l'inégalité triangulaire.

    Au niveau 5ème, ça me semble la seule utilisation pratique de l'inégalité triangulaire.
    J'espère avoir été plus clair.

    JJ
  • Arturo
    Arturo
    En fait, je souhaitais l'utiliser pour les deux : dans un triangle, il y a "3 inégalités triangulaires" et pour vérifier qu'un triangle non aplati soit constructible, je vérifie que la plus grande des longueurs est inférieure à la somme des deux autres.
    Mais, du coup, je suis embêté car dans mon premier cas, je ne sais pas comment appeler ces trois inégalités...
  • JJ64
    JJ64
    Pourquoi tu veux l'utiliser dans le premier cas ?
    C'est tout simplement l'inégalité triangulaire qui s'applique (dès que tu as trois points du plan c'est important de le mentionner me semble-t-il : tu n'as pas besoin de parler de triangle pour parler de l'inégalité triangulaire!)
  • Dom
    Dom
    1) L'inégalité triangulaire dit que quelle que soit la position des points A, B et C on a AB<=AC+CB.
    2) Ainsi dit, l'ordre des lettres n'a aucune importance (en raison du quel que soit).
    3) On raisonne : si AB est la plus petite longueur, c'est une évidence ! si AB est une longueur comprise entre les deux autres, c'est encore une évidence.
    Le cas le plus pertinent est celui où AB est la plus grande longueur.
    Cela peut être un théorème : Si une figure est un triangle, alors la longueur du plus côté est inférieure ou égale à la sommes des deux autres longueurs.

    Ensuite les exercices peuvent suggérer trois rédactions distinctes :
    A) le plus grand dépasse strictement la somme des deux autres : "le triangle n'existe pas" ou "la figure est impossible" ou ...
    B) le plus grand est strictement inférieur à la somme des deux autres : "le triangle existe" ou ... et si les dimensions sont raisonnables, il faut prendre un compas.
    Remarque : pour assurer les chances de construction dans un cadre, il vaut mieux commencer par le plus grand côté.
    C) le plus grand égale la somme des deux autres : "le triangle existe et est aplati" ou "les trois points sont alignés" ou $A \in [BC]$ ou ...
    Remarque : il faut bannir la construction au compas, voire la sanctionner...(à débattre)
  • Arturo
    Arturo
    Merci pour vos réponses.

    Je voulais l'utiliser dans le premier cas pour que les élèves se rendent compte que dans un triangle qui n'est pas plat, les trois inégalités strictes de longueurs sont vraies.
    Ce n'est pas aussi évident que cela pour les élèves.
    Je comprends cependant ta remarque, comme trois points définissent un triangle, cela est vrai aussi dans un triangle.
    Mais l'idée d'expliquer que dans le cas d'un triangle justement, ces inégalités sont strictes me paraissaient intéressants.
    Lorsque celui-ci est plat, il y a égalité.
    Voilà le raisonnement que j'ai.
    Pour résumer : inégalité large (inégalité triangulaire) à partir de trois points puis application :
    1) triangle non plat (inégalité stricte)
    2) triangle plat (égalité)
    Cependant, je ne sais pas si dans le 1), je peux dire que c'est une égalité triangulaire ni dans le 2) si je peux parler d'égalité triangulaire..
  • JJ64
    JJ64
    Tout à fait d'accord avec Dom, ce qui est "formidable" avec l'inégalité triangulaire c'est que la seule hypothèse est d'avoir trois points.
    Ils n'ont même pas besoin d'être distincts!

    Pour montrer la limite de la construction au compas, on peut choisir 3 longueurs où on a "presque" l'égalité : certains élèves obtiendront un triangle aplati, d'autres non (on peut aussi le faire quand il y a égalité d'ailleurs)
  • JJ64
    JJ64
    Je parlerais dans le 2) plutôt du cas particulier de l'égalité dans l'inégalité triangulaire. C'est un peu lourd j'en conviens ceci dit!
  • Dom
    Dom
    On peut expliquer que l'on souhaite écrire tous les cas où le triangle existe : cela introduit bien le "strictement inférieur ou égal".
    Le cas d'égalité est aussi une inégalité (large) !

    Là où j'ai un doute, subitement, c'est le statut d'axiome de l'inégalité triangulaire.
    J'imagine que sans "bonne construction du plan" comme au collège, alors c'est bien un axiome (i.e. un propriété indémontrable).
    Mais je ne suis pas si sûr de moi si le coup.
  • Arturo
    Arturo
    Okay, je comprends.
    Et pour terminer sur le vocable à avoir pour le 1) ? Inégalité triangulaire ou non ?
  • Dom
    Dom
    Dans certains cas, l'inégalité triangulaire est une égalité.
  • Arturo
    Arturo
    et dans certains cas, l'inégalité triangulaire est donc une inégalité stricte ?
  • JJ64
    JJ64
    Je ne pense pas que ta question ait un sens : l'inégalité triangulaire est une inégalité large. Pour certains points on a une inégalité stricte (qui entraîne l'inégalité large) et pour certains points on a une égalité.
    Pour éviter de distinguer les cas, on l'écrit sous la forme d'une inégalité large.
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