Attention avec les arbres de probabilités

Monsieur_Machin · November 2016

Bonjour à tous,

Les arbres pondérés sont très utiles pour le calcul de probabilités (conditionnelles).
Le seul problème est qu'il faut les pondérer pour avoir un résultat correct.

Je donne un exemple. On considère l'expérience aléatoire suivante :
Dans un urne, on place 4 jetons indiscernables : 3 numérotés "A" et 1 numéroté "B".
Si on pioche A, on tire au hasard une boule dans l'urne A qui contient 1 boule bleue et 1 boule rouge.
Sinon, on pioche dans l'urne B une boule qui contient 3 bleues et 2 rouges.

Quelle est la probabilité d'avoir une boule bleue ?

Parmi mes élèves (de seconde), ils ont opté l'une des deux manières.

1ere méthode : Un arbre non pondéré : (paradoxe_1.png) avec lequel on trouve une proba de 6/11.
2e méthode : Un arbre pondéré : (paradoxe_2.png) avec lequel on trouve une proba de 21/40.

C'est évidemment la deuxième méthode qui triomphe et pas la première.

En ce qui me concerne, c'est la première fois que je me rends compte de ce fait extra-ordinaire qui dépasse complètement le bon sens ! J'ai étudié pendant pas mal d'années les mathématiques et les probabilités et ce n'est qu'aujourd'hui que je m'en rends compte... Parfois j'ai honte !

Comment faites-vous pour résoudre un tel exercice en classe ? Obligez-vous les élèves à pondérer les arbres ou forcez les vous à avoir un nombre de branches égal partout en deuxième phase de tirage ?

Merci 57464

kioups · November 2016

Dans le premier cas (paradoxe 1), les bleus du B n'ont pas la même "importance" que les bleus du A. Je ne sais pas trop comment expliquer là maintenant mais avec autant de boules dans chaque urne, on retrouve la bonne réponse.

Dom · November 2016

Depuis une dizaine d'années, cela était au programme de 3e.
La limite était à deux épreuves.

Les nouveaux programmes ne suggèrent plus du tout les arbres (le mot n'est pas utilisé) et il n'est pas dit clairement que les deux épreuves sont un attendu de fin de cycle.

C'est bien une erreur d'oublier les arbres comme ça.
Il me semble que pour des expériences à beaucoup d'épreuves, l'arborescence imaginée mentalement permet une meilleure approche.

Pour te répondre, exiger des arbres pondérés est primordial, je pense.

Félix · November 2016

Bonsoir,

Une discussion récente, sur ce forum, avec une élève de 1ère S.
Elle connaissait l'existence des arbres pondérés, mais il a fallu passer aux arbres avec branches équiprobables pour aboutir.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1352442,1352442#msg-1352442

Amicalement

Monsieur_Machin · November 2016

Merci pour vos réponses.

Mais puisque vous parlez des programmes, un collègue de lycée m'a justement dit que les arbres pondérés n'étaient pas au programme de seconde (et donc seuls les arbres non pondérés pouvaient être utilisés). Devant un exemple aussi simple que celui proposé plus haut, je me vois mal comment faire sans.

Dom · November 2016

Je ne sais pas où il a vu cela.
Dans les programmes de 2nde, on parle bien d'arbres. On y voit pas "arbre pondéré" mais il n'est pas dit qu'il ne faudrait pas en parler.
Dans un document ressource on trouve bien explicitement qu'il est encouragé de suivre ce qui a été fait en 3e (arbre pondéré).

Page 11 de ce document : http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Programmes/17/9/Doc_ressource_proba-stats_109179.pdf

Fin de partie · November 2016

Pourquoi y aurait-il équiprobabilité entre les rouges et les bleus sur la dernière "colonne" de l'image paradoxe-1?
Si tu rajoutes les pondérations tu retrouves le bon résultat me semble-t-il.
On enseigne les proba' conditionnelles en seconde? Je ne vois rien dans le programme.

et pour abonder dans le sens de Dom on peut lire dans les programmes:

Pour les calculs de probabilités, on
utilise des arbres, des diagrammes ou
des tableaux.

Dom · November 2016

Le mot "pondéré" n'apparaît pas mais, quand même, c'est fait l'année $n-1$.

Aussi, avec une urne, deux branches signifie "deux couleurs".
Cela ne renseigne pas assez.

Selon moi, un arbre représente l'expérience complètement. Une personne qui voit l'arbre doit pouvoir récrire l'énoncé complètement. Les pondérations sont donc essentielles.

Fin de partie · November 2016

Comme déjà indiqué je ne vois pas trace de probabilité conditionnelle dans les programmes de seconde en mathématiques (mais peut-être ai-je mal regardé) alors je me demande comment sont justifiés les règles de calcul liés à un arbre?

Quel sens donner au produit des pondération sur les arêtes d'un arbre sans savoir ce qu'est une probabilité conditionnelle?
Je n'ai rien contre les recettes en mathématiques mais il ne faut pas que cela ressemble (trop) à de la magie-bonneteau. B-)-

Dom · November 2016

La "seule" propriété est admise : on multiplie les probas rencontrées sur le chemin.
Sans parler de probas conditionnelles.

Monsieur_Machin · November 2016

Si on se réfère effectivement au programme, les probas conditionnelles ne doivent pas être enseignées en seconde. A partir de là, il n'est pas possible de justifier le calcul des probabilités à partir d'un arbre pondéré, comme le disait Fin de Partie.

Bon, j'en déduis que mon exercice est hors programme de seconde...

Dom · November 2016

C'est pourtant faisable en 3e :-S
C'est la limite du programme de collège, certes.

Je ne m'engage pas, par contre, quant aux nouveaux programmes (2016) mais c'est "encore dedans" semble-t-il.

Inutile de parler de probabilités conditionnelles (ça c'est hors programme).

Fin de partie · November 2016

Dom:

Et si on (un élève) te demande pourquoi on multiplie les poids sur les branches et pourquoi ne pas les ajouter?
On ne multiplie pas des kilogrammes de carottes par des kilogrammes de carottes :-D

Dom · November 2016

Une probabilité n'a pas d'unité ;-)

Pour la question que tu poses, en effet, c'est admis.
Beaucoup de choses le sont, notamment dans le secondaire dans le domaine des probabilités.
Pourquoi cette question qui, à mon sens, n'est pas dans le sujet du fil ?

Je ne dis pas que c'est inintéressant :
Ça a donné un débat presque passionné si je me souviens bien : démontre-t-on vraiment que c'est le produit ou bien le définit-on comme cela ?

Fin de partie · November 2016

En fait, il y a des additions et des multiplications.. B-)-

On reprend l'arbre qui figure sur l'image paradoxe 1, on met des poids de 1 sur toutes les branches et on obtient le résultat (faux) mentionné 6/11 en faisant la même cuisine (injustifiable en seconde semble-t-il). :-D

Dom · November 2016

Pour les additions, si c'est bien ce dont tu parles, c'est une histoire d'événements incompatibles (la probabilité de l'union disjointe est la somme des probabilités).

Enfin, bon, on peut tergiverser encore longtemps : c'est au programme. Que ce soit justifié ou non.

dido · November 2016

Si on imagine 10 boules dans chaque urne du deuxième tirage avec la même proportion de rouges et de bleues (dont 5/5 pour A et 6/4 pour

, on arrive bien à 21/40. Il faut maintenant trouver une explication compréhensible à des 2nd, il est probablement moins dangereux d'admettre les arbres pondérés.

JPGLS · April 2021

Je pense que la bonne réponse est 6/11.
En effet un arbre pondéré s'applique sur une partition d'un univers bien défini.
Il me semble qu'ici on change d'univers (ou que l'univers à prendre en compte n'est pas celui que vous utilisez dans l'arbre que vous proposez) et que donc les probabilités à calculer sont celles des espaces produits.
Si je me trompe... merci de m'avertir !

biely · April 2021

Ces histoires d’arbres sont un joyeux bazar depuis pas mal de temps. Logiquement l’arbre pondéré doit apparaître au même moment que la formule de la probabilité conditionnelle que l’on voyait en terminale (une aberration d’attendre la terminale!) et maintenant en première (c’est déjà mieux...). On voyait dès la troisième des manuels où ils mélangeaient les deux types d’arbres avec la formule magique ’’on multiplie les probabilités le long du chemin’’ et les élèves faisaient de la magie et ensuite confondaient des P(A inter

et les P(B sachant A). Le programme actuel de seconde ne se mouille pas trop en parlant d’arbres mais sans précision (il me semble). Je pense qu’il faut être logique: soit on explique la probabilité conditionnelle et on peut parler d’arbres pondérés soit on se restreint aux arbres non pondérés .

marsup · April 2021

(Pour te répondre explicitement, JPGLS : oui, tu te trompes, et je t'en avertis comme tu le demandes.

Comme disait Monsieur_Machin il y a 4 ans :

1ere méthode : Un arbre non pondéré : (paradoxe_1.png) avec lequel on trouve une proba de 6/11.
2e méthode : Un arbre pondéré : (paradoxe_2.png) avec lequel on trouve une proba de 21/40.

C'est évidemment la deuxième méthode qui triomphe et pas la première.

Mathurin · April 2021

JPGLS,
plus précisément, dans l'arbre non pondéré, les boules terminales n'ont pas le même poids.
Celles du haut valent la moitié d'un quart, soit un huitième.
Celles du bas valent un cinquième d'un quart, soit un vingtième
Trois huitièmes plus trois vingtièmes, valent bien vingt-et-un quarantièmes.
Cordialement

JPGLS · April 2021

C'est sympa d'avoir porté attention à mon commentaire.
Cela dit je ne vois rien dans ce qui vient de m'être signalé qui m'encourage à changer d'avis et je m'explique:
un arbre pondéré s'applique sur une partition d'un univers parfaitement défini.
Ici l'univers est un produit d'univers (ou espaces) et l'arbre proposé dans "Paradoxe_2.png" ne le respecte pas.
En revanche "Paradoxe_1.png" modélise cet espace produit (à sa façon mais toutefois correcte).
Je lui accorde donc mon crédit.
Merci encore pour vos remarques. Bien sûr elles m'intéressent parce que c'est le même problème que celui d'un tirage dans une urne suivi d'un second tirage sans remise. Et il se trouve que dans ce cas particulier l'arbre que certains y appliquent n'est pas correct mais donne des résultats qui le sont. En effet le calcul des probabilités sur l'espace produit donne des résultats identiques.
En d'autres termes : lorsqu'il n'y a pas de remise il y a deux univers (ou espaces) différents. Un arbre ne peut donc pas s'appliquer même si dans ce cas les résultats fournis sont bons.
Or dans le cas proposé par Monsieur_Machin il y a trois univers (espaces) et là l'arbre ne fonctionne plus du tout.
Bon, encore merci pour vos commentaires.
Je veux bien avoir tort mais il faut me convaincre objectivement. Alors n'hésitez pas !
Bien amicalement (sans Covid)

marsup · April 2021

expérience 1 a écrit:

J'ai un dé à six faces. Je le lance.

Si le dé donne 6, je pioche dans une urne avec une boule bleue et c'est tout.
Si le dé donne autre chose que 6, je pioche dans une urne avec une boule verte et c'est tout.

expérience 2 a écrit:

J'ai un dé à six faces. Je le lance.

Si le dé donne 6, je pioche dans une urne avec une boule bleue et c'est tout.
Si le dé donne autre chose que 6, je pioche dans une urne avec un million de boule vertes et c'est tout.

Pour chaque expérience, quelle est la probabilité de piocher la boule bleue ?

Qu'est ce que c'est intéressant, et profond !! :-?

Mathurin · April 2021

Je ne comprends pas:

JPGLS a écrit:

un arbre pondéré s'applique sur une partition d'un univers parfaitement défini.
Ici l'univers est un produit d'univers (ou espaces) et l'arbre proposé dans "Paradoxe_2.png" ne le respecte pas.

Merci
Cordialement

biely · April 2021

Je vois un autre paradoxe: comment être inscrit sur ce site depuis 5 ans et poster seulement aujourd'hui son premier message?:-D (je parle de JPGLS)

marsup · April 2021

Mathurin, tu connais bien, je pense, cette stratégie :

J'utilise improprement de la terminologie univoque et rigoureuse.
Du coup, ce n'est pas très clair ce que je veux dire.
J'en profite pour tenter de mettre le doute à tout le monde.

Les contributeurs comme ça essaieront de te convaincre que $13 = 74$.

Dom · April 2021

Je crois que pour comprendre les arbres, il faut prendre deux expériences distinctes.
Un dé, puis une pièce.
L’issue est un couple (deux épreuves).
(1;F) ou (1;P) ou etc.
Et on multiplie les probas de chaque branche.

Ensuite enchaîner deux expériences dont l’issue de la première donne un arbre différent pour la seconde expérience.

Mais je ne sais pas si j’ai bien compris le questionnement finalement.

beagle · April 2021

[Il n'est pas correct d'effacer un message dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. Je le rétablis. (T. P)]

l'arbre numéro 1 est le moins pénible, il est tout à fait correct.

La justification de multiplier les probas de branches ne vient pas des probas conditionnelles,
cela vient tout simplement de la somme des probas fait 1

donc A bleu + A rouge doit faire le A total
et c'est quoi une fraction de fraction,
ben la multiplication des fractions

3/4 = 3/4*1/2 + 3/4*1/2

pas besoin de Bayes pour faire des fractions de fraction !

Dom · April 2021

Oui mais bon, on pourrait bricoler une proba qui fait 1 sans faire la somme des produits.
C’est bizarre comme argument ou alors je ne l’ai pas compris dans sa pertinence.

Ça fait penser à l’élève qui ajoute des fractions : « bah on fait plus en haut et en bas, ça doit bien faire ça, qu’est-ce que ça peut être d’autre ? ».

beagle · April 2021

bah une fraction de fraction c'est multiplier les deux fractions
c'est antérieur aux probas ce truc.
Si tu divises une part de tarte en deux morceux de tartes,
c'est idem a ce qui se passe ici,
mais bon,
c'est de la tarte en génral pour convaincre dom

marsup · April 2021

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1362532,2229778#msg-2229778

Désolé, mais je ne comprends pas du tout ce que tu dis, beagle, et je ne suis pas sûr là où tu veux en venir. Tu veux bien tenter de redire ?

Dom · April 2021

Mouais.
On a le droit de ne pas faire de maths, dans ce cas je suis d’accord.

marsup · April 2021

Stricto sensu, les probas, ça date de Blaise Pascal, alors que la règle de 3 était très bien connue d'Euclide, donc, dans ce cas-là... Il faut accorder le point.

Après, je ne suis pas trop sûr que les probas, ce soit juste une affaire de fractions...

beagle · April 2021

[Il n'est pas correct d'effacer un message dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. Je le rétablis. (T. P)]

lorsque on redivise une branche, somme des probas de cette redivision doit donner la proba de la branche
cela repose uniquement sur somme des probas fait 1
(meme si ce 1 est ici une fraction) (pas besoinde Bayes pour savoir que c'est un changement de 1, c'est ici naturel)
et fraction de fraction c'est multiplier les fractions

alors les branches ne doivent bien sur pas avoir d'intersection, mais c'est comme cela que l'on fait tout le temps,
jamais vu de redivision de branches avec intersection

beagle · April 2021

On a le droit de ne pas faire de maths, dans ce cas je suis d’accord."

c'est un peu dégueux
somme des probas fait 1 est un axiome des probabilités.
et cela suffit à monter l'arbre, n'en déplaise

marsup · April 2021

Si tu nous dis où tu veux en venir, beagle, ça fait gagner du temps à tout le monde.

Là, pour l'instant, tu nous expliques que les hypothèses des formules fondamentales des probas, tu les trouves raisonnables.

C'est du travail ok, mais moi aussi je les trouve raisonnables. On est d'accord.

beagle · April 2021

[Il n'est pas correct d'effacer un message dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. Je le rétablis. (T. P)]

somme des probas fait 1 suffit à monter l'arbre avec multiplication des probas de branche.

C'est un axiome des probabilités,
c'est pas du raisonnable

faites ce que bon vous semble.

marsup · April 2021

En fait, personne n'a dit que c'était dur.

On s'énerve un peu pour rien, mais bon c'est la vie.

Je crois qu'on est tous d'accord, à vrai dire.

Bisous à tout le monde, et bon courage pour la rentrée en distanciel !

biely · April 2021

Beagle
L’arbre n’est pas du tout indispensable, c’est juste un support. Les probabilités sur l’arbre ne sont que la traduction de l’énoncé et par exemple la probabilité de 3/5 qui est sur cet arbre est bien une probabilité conditionnelle non? Bon bref...

Dom · April 2021

On jette un pièce 1 (0,6 pour Pile) puis une pièce 2 (0,9 pour Pile).

(P;F) a donc pour probabilité un truc, je le note $p$.
(P;P) a donc pour probabilité un truc et, d'accord, c'est $0,6(1-p)$.
Cela je l'ai bien compris et ça utilise bien "la somme fait 1", ici la somme fait "0,6".

Mais pourquoi $p$ = 0,6x0,1 ?
Pourquoi $p$ ne pourrait pas être autre chose ?

J'essaye de comprendre et je n'ai compris que : " Voyons puisque 0,6x0,1 + 0,6x0,9 = 0,6, alors ça ne peut être que ça !".
Je force le trait : " Voyons puisque ça marche, alors c'est ça ! ".

Et je dis que je trouve cela un peu léger.

Si on creuse en terme d'ensemble produit, ce n'est pas si simple il me semble.
Une discussion avait été ouverte là-dessus.

Remarque : en effet ça s'énerve et en plus ça juge "patati Dom", "patata".
Beaucoup font cela sur le forum et dans la vraie vie. Je ne comprends pas cela comme un argument. Et bien au contraire ça sort souvent (là, je ne sais pas) à défaut d'argument.
Mon passage sur "les maths" est là pour dire qu'une démonstration doit être propre.
Je retiens bien volontiers l'argument heuristique ou empirique ou encore "l'intuition"... ça me va pour l'esprit.
Mais ensuite... on fait des maths.

marsup · April 2021

la probabilité de 3/5 qui est sur cet arbre est bien une probabilité conditionnelle

Bah oui, évidemment tu as raison, biely !Même si beagle n'a pas énoncé clairement sa thèse, on a l'impression qu'il ou elle désapprouve le fait de donner d'appeler ceci "probabilité conditionnelle". C'est stérile ou néfaste d'empêcher autrui de développer du vocabulaire.

beagle · April 2021

Dom je n' y arrive pas car je ne sais pas si les deux pièces sont indépendantes.

Dans l'exo de base de ce fil de discussion ce qui se passe après A est défini et se subdivise, c'est marqué.

Dans ton énoncé je ne sais pas comment cela se subdivise pour la pièce 2.

Dom · April 2021

Ha ! Ok.
L’issue de la pièce 2 est indépendante de l’issue de la pièce 1 (c’est pour ça que j’ai écrit la probabilité « fixe » d’ailleurs).
Je représente l’arbre avec deux branches (pièce 1) puis encore deux branches (pièce 2) à chaque branche précédente.
Ça donne quatre issues (quatre couples).
Visuellement ça donne le premier dessin du message original.
Seules les probabilités sont changées en celles que j’ai écrites.

Je cherche la probabilité de chaque couple.

beagle · April 2021

la piece 2 est 0.9 pile
j'aurais 9 pile pour 1 face
j'ai proba (PP) = 9 proba(PF)
proba P piece 1 = 0.6= 9 proba(P) + proba (PF)
10 proba (PF) = 0.6

Dom · April 2021

Hum...

beagle · April 2021

on peut le prendre de cinquante manières reposant sur les proportions
les fractions de fraction
Je ne suis pas contre les probas conditionnelles.
C'est très bien de les définir.
Mais on fait des probas conditionnelles avec juste la proportion DE A DANS B.
bon je crois qu'on avait déjà discuté de ça sur forum proba.
Lorsque tu apprends probas conditionnelles, tu fais des proportions de ... dans...

les tableaux deux rangées deux colonnes pour apprendre probas conditionnelles
c'est la mem chose que lorsqu'on apprend fractions de fractions avec des tartes.

Bref le sujet est tarte.

marsup · April 2021

Bon alors là 8-)

Moi, je trouve que la dérivation, c'est idiot : j'arrive à trouver les mêmes résultats juste avec des limites.

J'ai le droit à ma médaille ?

beagle · April 2021

Je n'ai pas de soucis avec cela,
les collégiens qui maitrisent Lebesgue et Kolmogorov peuvent le faire.

À la question on ne peut comprendre les probas conditionnelles qu'avec la définition.
réponse, non
on peut calculer avec filles_garçons fumeur non fumeurs
on peut calculer proba de fumeur sachant fille sans aucune définition.
Cela signifie juste que c'est une notion antérieure à sa définition.
Ce qui ne signifie pas que l'on doit rester là dessus,
juste que c'est antérieur

enfin bref...

Dom · April 2021

Pas si tarte.

$O_1=\{ P_1;F_1 \}$ muni de $p_1$.
$O_2=\{ P_2;F_2 \}$ muni de $p_2$.

L’expérience « première pièce puis deuxième pièce avec indépendance » est modélisée par $O_1\times O_2$ muni de $p_{1,2}$ que l’on note $p$ pour se simplifier la vie.
Mais je ne vois pas pourquoi il est évident qu’il existe un seul $p$ et pourquoi c’est celui-là.

N’est-ce pas une définition, plutôt ?

Transposons : (je simplifie en prenant le cas où les deux arbres accrochées aux branches - l’épreuve 2 - sont les mêmes)
J’ai une fonction $f$ définie sur $\{0 \ ;1\}$ avec $f(0)+f(1)=1$.
J’ai une fonction $g$ définie sur $\{0 \ ;1\}$ avec $g(0)+g(1)=1$.
Je décide de travailler sur $\{ 0 \ ;1\} \times \{ 0 \ ;1 \}$ avec une fonction $p$ telle que $p(0 \ ;0)+p(0 \ ;1)+p(1 \ ;0)+p(1 \ ;1)=1$.
Est-ce que cette fonction $p$ est unique ?
Non, et on est tous d’accord là-dessus.

On décide d’ajouter des choses alors. Lesquelles ?

Édit : mais pourquoi effacer ses messages comme ça ?!
Il n’y a aucune atteinte à personne et aucune honte à avoir.
On discute.

beagle · April 2021

Si pas un dialogue honnète, chacun exprime sa position et laisse les choses en état.
Je vais voir pour supprimer d'autres messages.

L'affirmation on ne peut utiliser l'arbre de probabilité pour le calcul sans avoir vu et défini les probas conditionnelles,
est pour moi un point de vue.
Je pense que l'on peut déjà faire des probas et calculs à support de l'arbre, à support de tableaux (encore plus pédagique pour probas conditionnelles) avant les définitions.

Alors l'arbre qui a besoin de Bayes:
3 jetons A. Si A alors moitié bleu moitié rouge

Bayes à la cuisine:
on fait une tarte aux fruits de deux couleurs:
3/4 de la tarte est rouge , et les fruits rouges c'est moitié fraise, moitié cerise

Quel % d'exos sans bayes sont conditionnels?
Pour les enfants étudiés qui font un seul sport,
75% font un sport de ballon
les spors de ballon, pour 50% les enfants font foot, 50% font ( basket ou hand).

Je laisse voir si c'est comparable à faire l'arbre avec les limites ou avec des fonctions qui feraient que ...

Il existe des problèmes de probas où sans définir Bayes (juste parce qu'on y va ) on peut résoudre en utilisant les chiffres de %,
souvent plus facile que les décimaux.,
Si 3 jetons blancs sur 4 c'est que si je prends 100 lancers j'ai 75 blancs en moyenne,
sur les 75 blancs j'aurais en moyenne 37.5 boule bleue 37.5 boule rouge,...

Dom · April 2021

Sur ce thème je suis d’accord.

Tous les profs de collège qui ont eu à enseigner les probas et les arbres à deux épreuves n’ont jamais prononcé « probabilité conditionnelle » (sauf pour la culture générale des élèves, peut-être).
Ils ont admis le théorème « on multiplie les probas des branches du chemin ».
Et les élèves (disponibles) ont su très bien résoudre les exercices à plusieurs épreuves.

Je ne discute pas ce point.
Je parle juste de ce théorème que tu crois avoir démontré.
Je dis que la démonstration proposée utilise ce que l’on veut démontrer.
Voir l’exercice avec les fonctions $f$ et $g$.

Attention avec les arbres de probabilités

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 4