Raisonnement par l'absurde

Arturo
Arturo
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour à tous,

Pour démontrer qu'un triangle est (ou non) rectangle, il faut utiliser la réciproque (la contraposée) du théorème de Pythagore.
Je pense que cela a dû déjà vous arriver : certains de mes élèves utilisent le théorème de Pythagore pour démontrer que le triangle est (ou ne est pas) rectangle.
Ils ne l'écrivent pas mais présentent, avec leur rédaction bien personnelle (qui, pour la plupart du temps, est bancale), un raisonnement par l'absurde.
Sachant que l'on a étudié la réciproque et la contraposée, je m'attendais plus à cela.
Bien évidemment, hormis les erreurs de rédaction, leur raisonnement est tout à fait correct et je ne compte pas m'en priver.

Si la question est sur 4 points, attribueriez-vous les 4 points à l’utilisation du théorème de Pythagore pour répondre à la question ?
De même,en sachant que le raisonnement par l'absurde n'a pas du tout était travaillé, comment leur expliquer que leur raisonnement n'est pas faux (mais ce n'était pas ce qui était attendu) ?

Je vous remercie par avance pour le partage de vos avis.
Cordialement,
A.

Réponses

  • Alesha
    Alesha
    Arturo a écrit:
    certains de mes élèves utilisent le théorème de Pythagore pour démontrer que le triangle est (ou ne est pas) rectangle.
    Ils ne l'écrivent pas mais présentent, avec leur rédaction bien personnelle (qui, pour la plupart du temps, est bancale), un raisonnement par l'absurde.
    (...)
    Bien évidemment, hormis les erreurs de rédaction, leur raisonnement est tout à fait correct et je ne compte pas m'en priver.

    Tu veux bien exposer ici le raisonnement (par l'absurde) correct qui permet de démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore?
  • Arturo
    Arturo
    Avec les trois longueur, il suppose par exemple que le triangle ABC est rectangle en A.
    Il calcule : BC² = AB² + AC², puis remplace AB² et AC² ..., obtienne BC et vérifie que c'est la même longueur que celle de l'énoncé.
    Je viens, au passage de me rendre compte que ce n'est pas un raisonnement par l'absurde ^^
  • Alesha
    Alesha
    Si on suppose que le triangle est rectangle en A, on ne peut pas montrer qu'on a que le triangle est rectangle en A sans cette hypothèse.
  • Arturo
    Arturo
    Mais en vérifiant la longueur de BC est la même, l'élève en déduit que son hypothèse de départ est bonne, ce n'est pas correct ?
  • Alesha
    Alesha
    Non, ce n'est pas correct. Ton raisonnement est de la forme suivante: tu supposes A (le triangle est rectangle) et A => B (le théorème de Pythagore) et B et tu déduis qu'on a A sans avoir à le supposer.

    Ça n'a aucun sens.
  • kioups
    kioups
    Effectivement, ça n'a aucun sens. Au DNB, malheureusement, ça passe. Dans tes cours, fais tout pour éviter ce genre de raisonnement plus qu'approximatif...
  • Arturo
    Arturo
    D'accord, j'ai dû voir cela je ne sais plus où et du coup, j'en suis venu à croire ce que ce soit correct.
    Mais ce qui est bizarre, c'est que "ca marche".

    On pourrait dire que l'on suppose que le triangle est rectangle, on calcule BC : on obtient la même longueur que celle de l'énoncé, et dans ce cas, c'est que ce que l'on a supposé était correct.
  • Alesha
    Alesha
    Arturo a écrit:
    D'accord, j'ai dû voir cela je ne sais plus où et du coup, j'en suis venu à croire ce que ce soit correct.
    Mais ce qui est bizarre, c'est que "ca marche".

    Tu n'as pu voir ça que chez tes élèves. Qu'est-ce qu'il y a de "bizarre" à appliquer la réciproque du théorème de Pythagore?
    Arturo a écrit:
    On pourrait dire que l'on suppose que le triangle est rectangle, on calcule BC : on obtient la même longueur que celle de l'énoncé, et dans ce cas, c'est que ce que l'on a supposé était correct.

    Pourquoi?
  • Arturo
    Arturo
    En fait, en supposant le triangle rectangle, la longueur BC obtenue est forcément correcte (sauf erreur de calculs) : ainsi, si elle correspond à celle de l'énoncé, le triangle est rectangle, sinon, il ne l'est pas.
    Mais il est clair qu'avec des erreurs de calculs, on peut obtenir une longueur de BC qui ne correspond pas à celle de l'énoncé, annoncer que le triangle n'est pas rectangle alors qu'en réalité il l'est.
  • Alesha
    Alesha
    Arturo a écrit:
    ainsi, si elle correspond à celle de l'énoncé, le triangle est rectangle, sinon, il ne l'est pas.

    Pourquoi?
  • Arturo
    Arturo
    Parce que le calcul effectué est correct : à partir de deux longueurs, en supposant le triangle rectangle, on peut déterminer la troisième.
  • Alesha
    Alesha
    Je suis à court, là. Pourtant, en tant que mathématiciens tous les deux, on devrait raisonner de la même manière.
    A un moment, tu as accepté que le raisonnement de tes élèves était incorrect; si c'est clair pour toi, c'est que la discussion n'a plus lieu d'être, mais j'avais encore un doute.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.
    Arturo a écrit:
    En fait, en supposant le triangle rectangle, la longueur BC obtenue est forcément correcte (sauf erreur de calculs) : ainsi, si elle correspond à celle de l'énoncé, le triangle est rectangle, sinon, il ne l'est pas.
    J'ai l'impression que tu dis que si la conclusion est juste, c'est que l'hypothèse l'est. Bizarre !!
    Rappel :
    1=2
    donc 2 = 1
    en additionnant membre à membre
    3=3 C'est "correct", donc 1=2 est prouvé ????

    Ton travail est, entre autres, d'apprendre à tes élèves à rédiger sainement une preuve, en leur apprenant à partir des hypothèses, pour en déduire, par application de règles des maths (et de la logique) la conclusion.

    Cordialement
  • Arturo
    Arturo
    Vous avez raison : merci de m'avoir éclairé.
  • 4fois
    4fois
    Bonsoir
    "l'égalité de Pythagore caractérise les triangles rectangles" cf Eduscol et programme 2008.
    Contraposée, théorème, réciproque, quels intérêts?
  • kioups
    kioups
    Ben, il y a eu une réforme depuis...
  • 4fois
    4fois
    Une réforme? Oups, je n'en ai pas entendu parler, cela a eu lieu quand?
    Laissez-vous entendre que tout est revenu comme avant?
  • kioups
    kioups
    Ouh la, non ! Mais les programmes parlent explicitement du théorème de Pythagore et de réciproque (idem pour Thalès).
  • Dom
    Dom
    Edit : ce message était pour @4fois.
    Oui...mais...
    La réforme distingue bien le théorème de sa réciproque.
    Cependant, on y trouve une phrase qui dit de ne pas pénaliser si le mot réciproque est oublié ou s'il est utilisé de manière superflue...
  • kioups
    kioups
    C'est ce que je dis plus haut concernant le DNB. Dans mon collège, on a toujours empoté le théorème et la réciproque et sanctionner, on ne va pas changer maintenant.
  • blaise
    blaise
    Il n'y a pas le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée !

    Il y a le théorème de Pythagore et sa réciproque, point.

    Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore, en faisant un raisonnement par contraposition (si le triangle était rectangle, on aurait blablabla, or on a patati, donc le triangle n'est pas rectangle)

    Théorème : $A \Rightarrow B$
    Réciproque : $B \Rightarrow A$
    "Contraposée": $ \neg B \Rightarrow \neg A$ et donc c'est la même proposition que $A \Rightarrow B$. Ce n'est pas une autre proposition !
  • samok
    samok
    Moâ je n'exige pas de savoir qu'il n'y a pas de différence entre la réciproque de la contraposée et la contraposée de la réciproque.

    Voilà c'était ma blague ,
    voui voui je sais,
    c'est par là

    bonnet de nuit,
    S
  • kioups
    kioups
    On a toujours "empoté"... saleté de correcteur, je ne sais plus ce que je voulais mettre...
  • Arturo
    Arturo
    Je pensais que c'était une proposition équivalente et non la même ?
  • soland
    soland
    Théorèmes direct, réciproque.

    Preuve
    (1) directe,
    (2) par contraposition,
    (3) par l'absurde,
    (4) par récurrence faible ou forte,
    (5) Par épuisement des cas, ou des auditeurs,
    (6) par parité (genre : le nombre de points fixes de $f$ est impair),
    (7) par contemplation,
    (8) par référence obscure (mais c'est le théorème de l'amplitude maximale de Pouët),
    (9) par intimidation (Tout le monde sait ça, où avez-vous fait vos études?),
    (10) en renversant la charge de la preuve (c'est un exercice pour la prochaine fois),
    (11) par absconsité (on utilise l'invariant transverse des variétés 3-lisses),
    (12) en agitant les bras,
    etc. Et j'en oublie.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bravo Soland,

    Mais comment démontrer que (8) et (11) sont équivalents ?
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