Nombre rationnel
Bonjour,
Le terme nombre rationnel est apparu dans les programmes, donc il faut l'employer.
1) Comment définir un nombre rationnel au collège ? Comme étant une fraction ?
2) Toute fraction est un nombre rationnel mais est-ce qu'on peut dire qu'un nombre rationnel n’est pas nécessairement une fraction puisque a =a / 1 ?
3) Enfin, "un quotient de nombres relatifs en écriture fractionnaire" : est-ce que cela se dit ?
Merci.
Le terme nombre rationnel est apparu dans les programmes, donc il faut l'employer.
1) Comment définir un nombre rationnel au collège ? Comme étant une fraction ?
2) Toute fraction est un nombre rationnel mais est-ce qu'on peut dire qu'un nombre rationnel n’est pas nécessairement une fraction puisque a =a / 1 ?
3) Enfin, "un quotient de nombres relatifs en écriture fractionnaire" : est-ce que cela se dit ?
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Le mot fraction désignant une écriture, la fraction $\frac 1 {\sqrt 2}$ ne peut être appelée nombre rationnel.
Classiquement, les rationnels sont les nombres qui ont une écriture sous la forme $\frac n p$, où n et p sont des entiers et p est non nul. Ne pas confondre le nombre et ses écritures, comme tu le fais : "est-ce qu'on peut dire qu'un nombre rationnel n’est pas nécessairement une fraction puisque a =a / 1 ?".
1,22 est un rationnel de même que $1,\bar3$ (évite cependant d'introduire de toi même le tristement célèbre 0,999...).
Cordialement.
NB : Cette définition était courante en cinquième au siècle dernier.
Tu pointes exactement ce qui me posais problème.
Cependant, cette forme de n / p, c'est bien celle d'une fraction.
Tout quotient en écriture fractionnaire peut donc être transformé en une fraction : on dit que c’est un nombre rationnel -> cela est correct si je suis ce que tu me dis.
Mais comment dire "Ainsi, toute fraction est un nombre rationnel mais un nombre rationnel n’est pas nécessairement une fraction" sans faire cette confusion ?
Je ne comprends pas bien où tu veux en venir avec la deuxième partie. Tu persistes à mélanger un nombre rationnel et son écriture fractionnaire.
Ce qui est bizarre c'est que l'on m'a fortement conseillé, en formation lorsque j'étais stagiaire,d'expliquer qu'une fraction était un nombre (afin que les élèves ne la perçoive plus comme "un partage de").
Oui, une fraction est une écriture d'un nombre.
Définition. Une fraction est un nombre (hum!) solution d'une équation du premier degré à coefficients entiers.
Corollaire. Tout nombre à développement décimal fini est une fraction.
Proposition. Si $x$ et $y$ sont des fractions, alors $x+y$ est une fraction.
Preuve. On a (1) $ax=b$ et (2) $ux=v$ pour certains entiers $a$, $b$, $u$ et $v$.
Donc $u(1)+v(2)$ donne $au(x+y)=av+bu$
Bonus : En plus de la preuve, on voit que
$$
x+y = \frac{av+bu}{au}
$$
Et puis, pour réduire une fraction, on peut simplifier une équation dont elle est solution.
Par exemple $4x=6$ a la même solution que $2x=3$.
De plus la définition est indépendante des questions de notation ($\frac{b}{a}$ n'est pas la notation la plus ancienne).
J'arrète là, dix lignes de théorie ne suffisent évidemment pas.
tu es sûr de ton coup pour : $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ est une fraction ? Car pour moi une fraction est une écriture de nombre rationnel de la forme $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
Que ce soit une écriture fractionnaire, j'en conviens.
S
Pourquoi ne pas simplement dire qu'un nombre est rationnel si c'est le quotient de deux nombres entiers ?
$$\frac{0.1}{0.3} ???$$
Rationnel ? Pas rationnel ?
Héhéhé : c'est une écriture fractionnaire d'un rationnel.
définir le mot fraction comme "fraction entre entiers" est très réducteur. On connaît tous les fractions rationnelles ! D'ailleurs dire d'un rationnel que c'est une fraction serait dire qu'un rationnel est un rationnel ! Au fait Samok, comment appelles-tu le résultat d'une écriture fractionnaire ?
En tout cas, il est essentiel de différencier le nombre de ses écritures.
Cordialement.
J'ai un doute : n'as-t-on pas déjà eu ce débat ? :-)
On a les natures des nombres et leurs écritures (cela a été dit) et on a une caractérisation.
Nature
1) entier
2) nombre décimal
3) nombre rationnel
Écriture
1) on peut l'écrire en écriture décimale sans utiliser la virgule.
L'écriture décimale (propre) ne contient que des 0 dans la partie décimale.
2) on peut l'écrire en fraction décimale.
L'écriture décimale (propre) ne contient que des 0 à partir d'un certain rang.
3) on peut l'écrire en fraction.
L'écriture décimale contient une période à partir d'un certain rang.
4) une écriture fractionnaire désigne simplement une écriture en quotient (de ce que l'on veut, avec un dénominateur non nul).
Sur le terme fraction : il est vrai qu'à part désigner une écriture particulière, parfois le mot "fraction" désigne un nombre.
Je ne sais pas si cette pratique est issue d'un abus de langage.
On a la même chose avec : « le nombre deux virgule cinq".
On prononce une écriture décimale «deux»-«virgule»-«cinq» que l'on désigne comme un nombre.
On devrait plutôt dire : « le nombre deux et cinq dixième ».
Évidemment quand on prononce «deux» on ne sait pas ce dont on est en train de parler (écriture en chiffre ou nombre).
Je distingue par exemple : « le nombre deux tiers » de « la fraction deux sur trois ».
La première locution désigne un nombre, l'autre une écriture possible de ce nombre.
Bien sûr qu'on s'arrache la tête et qu'on fait mal aux mouches.
Je persiste : je préfère garder le mot "fraction" pour désigner une écriture particulière.
Pour moi : $\frac{2\pi}{3\pi}$ est un rationnel qui n'est pas ecrit en fraction.
Pire : $\frac{\pi+4-\pi}{5}$ n'est pas non plus une écriture en fraction.
Je n'ai jamais retrouvé la source (non officielle !) qui exigeait que dans une écriture en fraction, le numérateur et le dénominateur devraient être des entiers écrits en écriture décimale. Certes c'était pousser le bouchon un peu loin.
@gerard0
Je suis surpris de ce radical "inchassable" dans l'exemple que tu prends.
Edit : oui on a eu ce débat, j'ose le dater de plus d'un an, peut-être deux.
Un rationnel est le quotient de deux nombres.
Si ces deux nombres sont entiers, on appelle ce nombre fraction s il est ecrit avec en ecriture fractionnaire.
Un nombre rationnel en ecriture fractionnaire a au moins le numerateur ou le denominateur qui n'est pas entier
?
Si vous considerez qu une fraction est une ecriture, quelle difference avec une ecriture fractionnaire ?
dans mon jeune temps, on m'a appris à éliminer les radicaux dans les dénominateurs des fractions (à l'époque, on ne faisait pas la différences entre "fraction" et "écriture fractionnaire"), comme dans l'exemple que j'ai donné. Il est vrai qu'on considérait que c'est à l'élève de se débrouiller à comprendre (beaucoup renonçaient !), mais on évitait la tétracapillectomie.
Enfin, je pense qu'on sera d'accord que le principale n'est pas les mots qu'on va employer, mais ce qu'il en restera dans la tête des élèves. Avoir compris avec des mots flous est mieux qu'apprendre par cœur ce qu'on ne comprend pas :-)
Cordialement.
Même pi / e ?
Tu crois vraiment que "Un rationnel est le quotient de deux nombres" ??? $\frac 1 {\sqrt 2}$ est un rationnel ?
J'ai été surpris moi aussi, la première fois par cette expression, car je n'en avais aucune souvenance du temps où j'étais au collège. Je me suis dit que c'est pour distinguer fraction, une écriture d'un nombre rationnel comme j'ai écrit plus haut, et d'autres écritures avec une barre de fraction où tout est permis au numérateur et au dénominateur (sauf 0). Et je dis cela à mes élèves depuis longtemps, voilà pourquoi je m'inquiète et te demande sieur Gérard si tu es sûr de ton coup.
Le résultat d'une écriture fractionnaire, je ne sais pas où tu veux m'amener, je ne vais pas répondre. Allez, oui, juste pour voir : j'appelle cela quotient = le nombre qui multiplié par truc donne bidule. Et toi, en toute sérénité : veux-tu bien fonder ton $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ est une fraction, ou mettre en cause mon cheminement : fraction et écriture fractionnaire sont des expressions différentes, pourquoi deux expressions pour dire la même chose ? Entendu qu'Arturo se place dans l'enseignement de choses du collège.
S
Quotient de deux nombres relatifs ?
Donc 23 / 37 est une fraction et 2,3 / 3,7 n'en est pas une ?
C'est un peu réducteur.
Mais du moment qu'on pose une définition claire et suffisamment acceptée...
J essaie de relier vos idees afin de ne pas faire d erreur. C est pourquoi j ai tout reecris dans mon antepenultieme message.
Kioups... tu m as perdu...
S
Le contraire de ne pas être le quotient de deux nombres entiers n'est pas être le quotient de deux nombres qui ne le sont pas ! Ton exemple ne pose a priori aucune difficulté à des élèves s'ils ont déjà vu les écritures fractionnaires et LE résultat primordial les concernant. En sixième, je faisais voir aux élèves : on ne change pas un quotient si on multiplie son dividende et son diviseur par un même nombre non nul (ou son numérateur et son dénominateur lorsqu'on manipule des écritures fractionnaires). Mais peut-être tout cela a disparu du programme de cycle 3...
Toujours est-il qu'il vaut mieux introduire la notion de nombre rationnel un bon moment après voir vu ces notions.
La définition usuelle, dite simplement d'une autre façon, est parfaitement claire aussi : un nombre est rationnel s'il peut s'écrire comme une fraction (en étant entendu qu'une fraction s'écrit avec des nombres entiers).
Cette "autre" définition équivalente n'implique pas immédiatement que $\dfrac{0,1}{0,3}$ n'est pas un nombre rationnel, ni que $-3$ ou $\dfrac{\dfrac{15}{10}}2$ n'en sont pas.
D'ailleurs, moi qui ai la flemme de chercher dans les nouveaux programmes, en quelle année du cycle 4 nous préconise-t-on d'introduire la notion de nombre rationnel ?
La notion est de toute façon difficile, car elle donne tout de suite naissance à la question : comment montrer qu'un nombre n'est pas rationnel ?
@gerard0 : J'ai trouvé ceci :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1169135,1169135
@Arturo : je pense que tu mélanges les écritures fractionnaires (qui incluent les fractions) et le fait d'être un nombre rationnel.
"Un rationnel est le quotient de deux nombres". Non
"Un nombre rationnel en écriture fractionnaire a au moins le numérateur ou le dénominateur qui n'est pas entier." Non
Une écriture fractionnaire est une façon d'écrire un nombre comme un quotient. Par exemple, le nombre qui a pour écriture décimale 0,75 peut s'écrire $\dfrac{7,5}{10}$, qui est une écriture fractionnaire de ce nombre. On peut aussi écrire $\dfrac 34$ pour ce même nombre. Tous les nombres peuvent s'écrire en écriture fractionnaire (il suffit d'écrire que ce nombre est égal à lui-même divisé par $1$). En fait, il existe une infinité d'écritures fractionnaires pour un même nombre donné.
Un résultat important : si $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres, $b$ et $c$ n'étant pas nuls, alors $\dfrac ab=\dfrac{a\times c}{b\times c}$.
Application : $\dfrac{2,5}{5,06}=\dfrac{2,5\times 100}{5,06\times 100}=\dfrac{250}{506}$
Une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers s'appelle une fraction.
Un nombre qui peut s'écrire comme une fraction est dit rationnel.
Par exemple, $0,75$ et $\dfrac{2,5}{5,06}$ sont des nombres rationnels. Tous les nombres entiers sont des nombres rationnels (il suffit d'écrire un tel nombre comme le quotient de lui-même par $1$). Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, mais c'est en général très difficile de démontrer qu'un nombre n'est pas rationnel. Par exemple, le nombre $\pi$ n'est pas rationnel. On dit qu'il est irrationnel.
@samok: même chose pour moi : quand j'ai commencé à enseigner, je parlais uniquement de fraction, et j'ai appris qu'on devait faire cette nuance pour les collégiens.
Essayons quand même de ne pas nous énerver, il s'agit apparemment d'une thème de discussion sur lequel les gens sont souvent en désaccord ! (:D
Demandes-tu d'expliquer (oserais-je dire "démontrer" ?) pourquoi tel ou tel nombre est rationnel ?
Il me semble que je faisais des exercices du style : "écrire ces quotients comme des fractions".
Avec les nouveaux programmes, je ne vois pas bien quoi faire... On est censés commencer les opérations seulement en 4ème...
Je definissais un nombre rationnel comme le quotient de deux nombres relatifs (je ne me suis pas restreint ax entiers) : j aurais dû dire plutot quotient de deux nombres decimaux d ailleurs.
C'est en ce sens qu'on n'a jamais affaire à des décimaux, a priori, ni à des irrationnels.
Évidemment, ensuite on étend à ces nombres là.
C'est ce qu'évoquait @gerard0 à propos des fractions rationnelles (sur l'anneau des polynômes) : le numérateur et le dénominateur sont des éléments de l'anneau et pas d'autre chose.
@kioups a quand même laissé une coquille vus par certains, d'après ce que je lis : "une fraction est une écriture rationnelle".
Cela m'a fait marré quand j'ai imaginé un gosse arriver là (ce qui n'existe pas) et sauter après deux heures de réflexions sur un tube d'aspirine. Je plaisante, bien sûr, et ne dénonce rien. C'est pour partager une image mentale cocasse.
Bon, et sinon, si on revenait sur ce qu'est un nombre décimal...
Il semble quand meme que la considerer comme un nombre soit ce qu il y a de plus pratique.
On calcule parfois "une fraction d'une quantité".
C'est là qu'on peut donner la propriété : Pour $a$, $b$ et $c$ non nuls, on a $a\times\frac{b}{c}=\frac{a\times b}{c}$ que je conseille de démontrer.
Je pense (j'insiste lourdement) que c'est un abus de langage : on appelle aussi fraction le nombre représenté par l'écriture en fraction.
On peut même dire, cela revient au même : on note a/b le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Ainsi 3 et 3 / 1 sont rationnels tous deux mais seul 3 / 1 est une fraction.
Vous en pensez quoi ?
Pas "tous deux", puisqu'il y a un seul nombre le rationnel noté 3/1 est le rationnel noté 3.
On voit ici les limites du nom fraction pour dire "rationnel" :-) Si "fraction" désigne le nombre alors 3 et 2,45 sont des fractions.
Je sais Gerard mais comment faire dans ce cas pour "bien" faire des maths proprement avec autant de subtilités... ? :-S
Donc oralement, utilise le maximum de mots, même flous, puis si tu tiens à donner des définitions, choisis-les simples. Mais correctes. Autrement dit, tu dois toi-même être parfaitement au clair sur le vocabulaire mathématique, quitte à ne pas l'utiliser avec tes élèves. ici, tu dois parfaitement savoir ce qu'est un rationnel (pas le quotient de deux nombres) et les différentes façons de l'identifier. C'est ce qu'on appelle la culture mathématique du prof.
Cordialement.
On choisit de dire "écriture en fraction".
Un rationnel est un nombre qui peut être écrit en fraction.
Tous les quotients d'entiers sont des rationnels.
Certains quotients de nombres non entiers sont aussi des rationnels (car ils peuvent être rendus égaux à des quotients d'entiers etc.).
- Le quotient de $N$ par $D$ est le nombre qui, multiplié par $D$, donne $N$.
- On le note en écriture fractionnaire $\dfrac{N}{D}$
- Si $N$ et $D$ sont des entiers, l'écriture fractionnaire $\dfrac{N}{D}$ est appelée une fraction.
Lorsque le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers (dénominateur non nul), elle a le sens de nombre lorsque l'on fait référence au quotient de ces deux entiers et sens d'écriture particulière de l'écriture fractionnaire lorsque l'on fait référence à son écriture ?
Qu'en pensez-vous ?
Deux fractions égales signifie selon moi "deux écritures en fractions qui désignent le même nombre"
C'est comme quand on dit que "Deux virgule cinq est égal à deux virgule cinquante" : on parle des écritures décimales pour désigner des nombres.
En tous cas, le message de @blaise est concis est très clair, notamment le troisième tiret.
Pourtant quand on fait un calcul avec une succession d egalité, toutes les ecritures du calculs representent tous le meme nombre...
Gerard0 : besoin de tes lumieres : on confond ici ecriture et nombre non ?