Arnaque à la racine

L'élève a bien raison ! La définition est fautive.
La racine de $a$ est le nombre positif ou nul qui élevé au carré donne $a$.

D'ailleurs, je vois ça dans l'autre sens : on a deux solutions...et c'est pour ça que l'on choisit d'en nommer une.

Il n'y a pas toujours deux solutions ...

P.S. did63, c'est difficile de comprendre ce que tu racontes.

P.P.S. Une présentation qui ne prête pas à contestation :
Théorème (démontré ou admis) : Soit $a$ un nombre réel positif ou nul. L'équation $x^2=a$ a une unique solution réelle positive ou nulle.
Définition : Cette unique solution positive ou nulle s'appelle la racine carrée de $a$.

Si tu ne prouves pas, tu admets en énonçant explicitement le résultat admis. C'est la seule façon honnête de procéder, et ta petite histoire montre que tu ne peux pas escroquer les élèves en cachant ce que tu admets.

De même, je ne comprends plus quel est le réel problème.

Il me semble hors de question de prouver l'existence de la racine carrée.
Dès lors, on l'admet explicitement (sans cacher ce qu'on admet sous l'étiquette "définition" !)
Ensuite, on fait quelque chose : sachant que $\sqrt a$ est l'unique réel positif ou nul dont le carré est égal à $a$, on démontre que l'ensemble des solutions de $x^2=a$ est $\{-\sqrt a, \sqrt a\}$ .

P.S. La vidéo, bof.

Bonsoir did63,

et la diagonale d'un carré de côté 1 mètre, elle n'existe pas ? Personnellement c'est ainsi que j'arrive à me convaincre de l'existence de $\sqrt{2}$.

S

Il n'en reste pas moins qu'il faut toujours admettre que, pour tout réel $a\geq 0$ (oubli réparé, merci Dom), l'équation $x^2=a$ admet une solution positive ou nulle (l'unicité peut se démontrer).

Si on veut définir la fonction racine carrée par, pour tout $x$ réel positif, $\sqrt{x}:=$"LA solution positive (ou nulle) de l'équation d'inconnue $X$, $X^2=x$, qu'est-ce qui nous empêche, où est l'arnaque?


Ce qui est implicite est que l'équation a $X^2=x$ a au plus deux solutions a une ou deux solutions distinctes si $x\geq 0$.
Et il est clair que si $X_0$ est une solution alors $-X_0$ est aussi solution (distincte de la première si $x$ est non nul) par les règles sur les puissances.

PS:
Ce qui fait que si $X^2=x>0$ a une solution on est assuré que l'une de ces solutions est strictement positive.

Fdp, je me répète, mais ce qui est implicite et qu'il faut expliciter si on veut être honnête, c'est qu'on admet que si $a\geq 0$, alors l'équation $x^2=a$ a une solution positive ou nulle.

Je vois que tu as corrigé ta précédente intervention suite à ma remarque.

Mojojo a écrit:

mais les mathématiciens ont une fâcheuse tendance à créer de toute pièce des solutions aux équations qui n'en n'ont pas...

Les mathématiciens ont la tendance, qui n'est pas fâcheuse du tout, de donner des noms aux objets qu'ils manipulent.

L'équation,
$X^2=1.2345678901234567890....$

a bien deux solutions réelles. Si j'ai envie d'appeler la solution positive $\sigma$ j'ai bien le droit.
Ma notation a un intérêt que si elle est utilisée par beaucoup d'autres (enfin, c'est une condition nécessaire mais pas suffisante probablement)


PS:
Par ailleurs,
Pourquoi noter la solution positive de $x^2=2$, $\sqrt{2}$, plutôt que $A,B$ ou $\gamma$ ou que sais-je encore?
Parce que le choix de la notation permet de donner un nom uniforme à toutes les solutions positives des équations $X^2=a\geq 0$ et que tous ces nombres entretiennent des relations entre eux donc on a besoin d'en mobiliser plusieurs en même temps

Je viens de cacher 16 messages partis à la dérive.
Restons dans le sujet de la discussion.
Merci.
AD

Tu retrouves la même difficulté en terminale.

On demande de démontrer par l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction $f$ que l'équation $f(x)=0$ a une seule solution $\alpha$ appartenant à un intervalle donné.

Par exemple, $f(x)=x^3-x-1$ sur $\mathbb{R}$

Dans des exercices de bac, après cette démonstration tu avais une question du type:

Montrer que $\alpha^3=\alpha+1$ on peut aussi penser à, montrer que $\dfrac{1}{\alpha}=\alpha^2-1$

Selon moi, ce genre de questions ne devaient pas rencontrer un franc succès dans leur résolution. B-)-

PS:
Je ne suis pas certain qu'à la sortie de collège un jeune puisse imaginer qu'une équation puisse avoir exactement deux solutions. Les équations du premier degré débouchant sur: une solution/pas de solution/une infinité de solutions.

Une proposition qui n'est valable que si tu as fait le "cours" sur la racine carrée après avoir vu les fonctions : tu pars de la représentation graphique de la fonction carrée pour exhiber des antécédents, j'imagine que cela lui permettra d'admettre l'existence sans penser qu'il y a une arnaque...

Pour rebondir sur une remarque de did63 :

mais ça suppose connu la construction de $\R$

Oui et si tu veux prouver (vraiment hein, sans agiter les mains) l'existence de $\sqrt{x}$, tu n'as pas le choix. De la même façon que comme évoqué par Dom l'équation $ax=b$ n'a pas de solution dans $\Z$, on est obligé de construire un nouvel ensemble pour avoir une solution. C'est la même chose pour la racine : on peut considérer que les élèves ne connaissent que $\Q$ et dans ce cas, $x^2=a$ n'admet pas (toujours) de solution, on est obligé de construire un nouvel ensemble pour avoir une solution.

Dans les deux cas, on ne dit pas grand chose sur la résolution de l'équation : on invente une solution de toute pièces, mais on n'est pas avancé sur la "valeur" de cette solution. C'est un peu le sens de la vidéo de Micmath que tu as partagée ; d'habitude j'apprécie ses vidéos mais je trouve que sur le coup M. Launay est très maladroit et je pense que son message ne peut pas être perçu correctement par des zenfants ou béotiens en maths (qui retiendront essentiellement "les profs de maths nous ont menti !").

Concrètement je présenterais la chose à des élèves en disant que $\frac{a}b$ et $\sqrt{a}$ sont des calculs "en suspens" : on ne sait pas exactement ce que ça vaut et on ne veut pas de valeurs approchée car si on effectue des calculs plus tard on aura des problèmes de précisions. Surtout pas en leur parlant de construction d'ensembles.

Sebcheep a écrit:

on ne sait pas exactement ce que ça vaut

Cette phrase est troublante car elle peut avoir plusieurs sens.
Ce nombre est changeant, suivant le jour (la saison, l'humeur de celui qui le calcule...) il a une valeur différente?

Mais on sait qu'on ne peut pas se passer de ces nombres.



On peut construire très précisément la diagonale d'un carré avec une règle non graduée et un compas et donc si on veut une valeur approchée de $\sqrt{2}$ on peut toujours mesurer le segment obtenu. B-)-

Par ailleurs, on n'a pas besoin de connaître de valeur approchée de la racine carrée d'un nombre pour obtenir des relations simples qui relient ce type de nombres.

Exemple,
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ avec $a,b$ positifs.

C'est bien tout l'intérêt d'avoir choisi une notation comme $\sqrt{a}$ et pas $toto_{18012017}$ pour $\sqrt{2}$ par exemple.

PS:
Autrement, je trouve intéressant de rappeler, en effet, que la notation $\dfrac{b}{a}$ vient de l'impossibilité de toujours trouver des solutions de l'équation $ax=b$ dans $\mathbb{Z}$

A ce compte-là on n'est pas loin de dire que $\pi$ ou $e$ n'existent pas.

En réponse à Benoit.

La chose qui me dérange c'est qu'il enrobe le message de tellement d'explications "vulgarisantes" que par moment c'était presque faux (ou alors trop subtilement vrai pour être perçu correctement).

Notamment, il glisse allègrement sur les fractions où l'on rencontre exactement le même problème.

Pire, à 5min30 il assène (violemment) qu'à l'équation $x^2=4$ on n'a "PAS LE DROIT" de répondre que la solution est $\pm \sqrt{4}$. Et juste après, il dit textuellement "racine de 4, c'est interdit" :-X .

Au yeux du matheux chevronné, ça peut paraître un détail, pour les néophytes, ce sont les choses qu'ils vont retenir. Donc did63 je te déconseille de passer cette vidéo à ton élève.

Bref, je critiquais plus la forme que le fond.


@Fin de Partie

Effectivement ma tournure n'est pas heureuse et n'était pas destinée brute de décoffrage à des élèves, mais plus à un "pro" de l'enseignement qui saurait préciser le sens de ma phrase. Mais effectivement, il vaut mieux être précis même (surtout?) dans cette optique, je reformule donc (ça reste du "vite tapé, pas forcément présentable tel quel à des élèves"):

"la recherche d'une solution numérique [à une équation de la forme $ax=b$ ou $x^2=a$] ne donnant pas (toujours) un nombre décimal, on ne peut que calculer une valeur approchée de la solution. Faire ainsi est gênant car cela peut donner des résultats (très) faux dans les calculs futurs."