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Relation d'équivalence au collège

Envoyé par Mauricio 
Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Salut à tous,
Ce message s'adresse à ceux qui aurait des vieux manuels de collège.
Dans mon vieux livre de 4ème (Mauguin), on vérifie que la relation bipoints équipollents est une relation d'équivalence. Problème: dans le manuel ni relation d'équivalence, ni quotient ne sont définis.
Je croyais me rappeler que cela faisait partie du programme de 6e, mais dans mon manuel de 6e pas un mot. J'en déduis que c'est en fait le programme de 5e. Mais malheureusement, je n'ai pas de manuel de 5e!!
Une âme charitable pourrait-elle scanner ou photographier:
1. Une page sur la définition de relation d'équivalence
2. Une page d'exercices

Si au passage vous avez des exercices élémentaires sur les ensembles dans vos manuels, je suis preneur.
Merci d'avance,
Mauricio
Utilisateur anonyme
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
une relation d'équivalence $\mathcal{R}$, c'est un truc qui vérifie les 3 propriétés suivantes :
- réflexive : $x \mathcal{R} x$
- symétrique : si $x \mathcal{R} y$, alors $y \mathcal{R} x$
- transitive : si $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} z$, alors $x \mathcal{R} z$
pour tout $x$, $y$ et $z$ dans un ensemble $\mathcal{E}$ ...
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Ezmaths,

tu ne dois pas connaître Mauricio qui sait parfaitement ce qu'est une relation d'équivalence smiling smiley.
Ce qu'il cherche, ce sont des éléments historiques : On a enseigné ça en collège dans les années 1970, pendant 15 à 20 ans.

Cordialement.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
avatar
Je pense que ça faisait partie, en effet, du programme de 5ème.
En sixième on se bouffait des "patates" seulement, avec rien autour, si je me rappelle bien (c'était il y a si longtemps) smoking smiley
(on vous prêtait les livres dans le collège où j'ai fait ma scolarité donc je n'ai conservé aucun livre de cette époque).

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
avatar
Voici un Durrande 5e 1978 page 65


Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Génial Jacquot, c'est ce qu'il me fallait!
Merci.
M.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
C'est assez incroyable quand on y pense. On m'aurait demandé ce que c'était j'aurais sûrement répondu que c'est un bouquin de maths sup ou de L1... Et encore je crois que les relations d'équivalences et tout c'est plus trop au programme de MPSI/MP.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Héhéhé: oui, mais quand on y pense une relation d'équivalence c'est quelque chose de très basique.
Jacquot: il y a encore des exercices sur la page suivante ou non? Les auteurs ne demandent pas de calculer des décompositions en classes?
M.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
@Jacquot

Merci à toi pour cette page d'un manuel de 5ème.
Les relations d'équivalence, c'est tout de même autre chose que scratch, les problemzouverts et les narrations de recherche.....
En 1978, on n'avait pas honte d'enseigner cela dès le collège. En 2017, on pourrait au moins tenter d'introduire ces notions en seconde....
Je me souviens avoir appris tout cela au collège en 5ème en 1983.....et en 4ème on définissait les vecteurs de manière rigoureuse avec les classes d'équivalence.
Je précise que je ne prône pas le retour intégriste aux programmes trop abstraits des années 70, mais on pourrait tout de même rétablir un peu de vocabulaire ensembliste (ensembles, inclusion, intersection et réunion,produit cartésien, relations d'ordre et relations d'équivalence, classes d'équivalence).....en gardant le souci de rester accessible aux élèves.
Cela permettrait de donner davantage de rigueur aux contenus enseignés de la 6ème à la Terminale et contribuerait à relever le niveau.
A quand le retour de vraies mathématiques dans l'enseignement secondaire français ????
On pourrait déclarer en voie d'extinction l'enseignement des mathématiques et réintroduire de la rigueur et du contenu sérieux dans les programmes de la même manière que l'on réintroduit des ours dans les Pyrénées.

PS: Et que l'on ne me dise pas que les rudiments de la théorie des ensembles seraient inaccessibles aux collégiens.
Je connais des personnes d'une cinquantaine d'années qui sont titulaires d'un CAP, qui ont appris tout cela en 6ème et en 5ème.....et qui en gardent un bon souvenir !!!!
Etonnant non ????



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Ramon Mercader.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
avatar
@ Mauricio,
Voici la page suivante (fin du chapitre) avec partition en classes d'équivalence.
Je trouve qu'il y a peu d'exercices.
@ Ramon,
C'est vrai qu'on faisait des math dans ces années-là, mais il se trouvait aussi des gens pour râler, regrettant que ces apports théoriques ne laissaient plus assez de temps pour développer la virtuosité en calcul.


Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Héhéhé écrivait:
-------------------------------------------------------
> Et encore je crois que les
> relations d'équivalences et tout c'est plus trop
> au programme de MPSI/MP.

Si, c'est au programme de MPSI. Il y a la notion générale de relation binaire, les relations d'équivalence, les relations d'ordre et la relation de congruence sur les réels ou les entiers. Pour les relations d'équivalence, il y a la notion de classe d'équivalence... mais les ensembles quotients sont hors-programme (même en spé, où on n'étudie que Z/nZ).
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
@Jacquot:
C'est vrai qu'on faisait des math dans ces années-là, mais il se trouvait aussi des gens pour râler, regrettant que ces apports théoriques ne laissaient plus assez de temps pour développer la virtuosité en calcul.


J'ai été élève au collège de 1981 à 1985. Je ma souviens que l'on avait eu assez de temps pour tous ces apports théoriques sans que cela n'empêche
ni l'apprentissage soutenu du calcul algébrique, ni de faire de la géométrie sérieuse avec de vraies démonstrations. Tout cela ne peut que marquer de façon positive un élève qui aurait quelques aptitudes pour les mathématiques.
Si j'avais été collégien ou lycéen aujourd'hui, je pense que les cours de "pseudo-mathématiques" m'auraient beaucoup moins intéressé. Cela ne m'aurait probablement pas incité à faire des études supérieures de mathématiques.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Merci Jacquot pour cette deuxième page.
@Ramon: je me demande à quel point cela a pu nous marquer. Est-ce que ça a développé chez nous un certain goût de l'abstraction? Je ne sais pas. Je me souviens que parfois c'était très simple et d'autrefois incompréhensible et, que l'enseignant avait du mal à faire la différence entre les deux.

J'ai l'impression que cette période était une phase d'expérimentation pédagogique et que nous n'avons jamais pris le temps d'analyser les résultats de l'expérience.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
@Mauricio

Je suis trop jeune pour avoir connu l'enseignement secondaire des années 70. Je suis entré en 6ème en 1981.
Par conséquent, je n'ai vu que la queue de cette comète mais c'était parfois très abstrait pour des élèves de 11-12 ans.
Je me souviens d'un cours de 6ème ou le prof nous avait défini la somme de deux entiers naturels en utilisant le cardinal de la réunion de deux ensembles disjoints...
On pourrait cependant réintroduire un peu de théorie des ensembles en adoptant un point de vue un peu plus concret comme cela est le cas en probabilités lorsque l'on utilise un diagramme avec des "patates".
Je pense que cela pourrait intéresser de nombreux élèves.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Ramon Mercader.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
avatar
Mauricio:

Moi, ce dont je me souviens de mes années de mathématiques de 5ème-6ème, je suis entré en 6ème à la rentrée 1977, c'est d'un professeur brutal et froid, voire méchant. Je me souviens de séances de type TD, il envoyait des élèves au tableau avec le commentaire "on va jouer à la visite d'embauche" ou un truc comme ça. Tu n'avais franchement pas envie de te retrouver au tableau. Ce type ne m'a pas donné le goût des mathématiques, il me faisait peur et j'en pleurais parfois. Il avait très probablement la paix dans ses classes, c'est clair, avec ses manières de faire. Heureusement en 4ème-3ème j'ai eu un autre prof' nettement plus chaleureux, un vrai numéro dans le genre mais un brave type: ancien instit' propulsé prof' de collège, c'était un truc courant à l'époque parait-il.

Comment dans un cours de 5ème pourrait-on illustrer la notion de classes d'équivalence sans aller chercher des exemples artificiels à la c..? Les fractions sont le seul exemple que je vois qui ne soit pas artificiel à ce niveau de classe.
(je ne crois pas qu'il y ait de définition formalisée d'un angle au collège)

(les êtres humains n'ont pas attendu d'identifier et de donner un nom à cette structure pour faire des calculs avec les fractions ce qui laisserait comprendre qu'il faudrait plutôt aller du particulier au général et pas faire le contraire comme c'était à la mode dans ces années-là me semble-t-il)

La nostalgie et la mémoire, qui réécrit le passé disparu, ne sont pas des arguments pour prôner un type d'enseignement plutôt qu'un autre.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Dom
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Je prends la discussion malgré la digression : en effet, rien que le fait d'utiliser des notations entre accolades est certainement bénéfique.
J'ai envie d'encourager cela dès que possible : liste de diviseurs, (ensemble) solution(s) d'équations, intersection de droites (avec la difficulté de distinguer un élément de son singleton...).

Ne nous trompons pas : mettre cette partie du bouquin au programme ne changerait pas grand chose.
Une vertu, oui, l'abstraction serait travaillée et l'on verrait que le niveau des élèves serait distingué (je parle du classement) , en partie.
Une autre : cette abstraction entraîne des preuves "formelles" (par définition).
Enfin, selon les exercices, des compétences en calcul peuvent être vérifiées : il suffit de créer des lois où la transitivité, la symétrie ou encore la réflexivité y feraient appel.

Bon, je ne plaide pas véritablement.
Dom
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
@fdp
Les segments, la longueur, la mesure de la longueur sont un exemple.
Les angles, cela ferait quand même du bien : rien que distinguer la figure et sa mesure (sans même les classes d'équivalences).
Les triangles malheureusement appelés "égaux" dans les programmes.
Les congruences en arithmétique ne demandent pas grand chose (sauf ce qui n'est pas maîtrisé : les tables, la division euclidienne).
Les écritures fractionnaires comme tu le dis.
La même chose avec la soustraction : 5-1=6-2 etc.

Mais je ne plaide pas, là encore, je reste indécis sur la question.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
avatar
Citation
Dom
Une vertu, oui, l'abstraction serait travaillée

A propos d'abstraction, dans une classe de 3ème tu peux faire l'expérience suivante:

Tu donnes la formule de l'aire d'un objet géométrique qui n'est pas un carré, un cercle, un triangle ou un rectangle, avec une figure. Tu donnes des valeurs aux paramètres dont dépend l'aire de cet objet et tu demandes de donner une valeur approchée de l'aire en question.

N'est-ce pas plus utile qu'un élève soit capable de l'abstraction nécessaire pour faire cet exercice que des trucs artificiels qui ne peuvent trouver leur justification et leur intérêt qu'éventuellement des années après dans la scolarité d'un élève?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Dom
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Quand je parle d'abstraction, ici c'est pratique dans le sens où il n'est pas nécessaire d'avoir des acquis (sauf lecture, compréhension d'un texte).
Il faut savoir apprendre par cœur (même sans comprendre) puis comprendre en appliquant les définitions.
On voit sûrement ceux qui savent se débrouiller avec une définition, ceux qui ne veulent (ne peuvent ?) pas apprendre, et ceux qui savent apprendre mais ne savent pas appliquer.

Très important : je refuse l'idée que l'on apprendrait des choses "utiles".
D'abord il faut définir ce mot. "Utile" pour quoi ?
Ensuite, tout ce qui est fait à partir du collège, ce n'est que de la culture générale. Un tronc commun.
C'est en voie Pro, que les trucs utiles arrivent (et pas toujours).
C'est idéologique, j'en veux bien en convenir : on n'apprend pas des trucs utiles quand on rentre en 6e.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Pour les classes d'équivalences, j'ai trouvé un exemple tres simple et tres parlant sous Wikipedia : dans une bibliothèque (ou le CDI de l'établissement) on définit la relation d'équivalence "avoir le même numéro ISBN" pour des livres. C'est très concret, on comprend très facilement que deux livres différents (mon manuel et celui d'un autre élève) sont équivalents, et à quoi ça sert.

Voici le lien : [https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27équivalence]

Mon fils de 10 ans a très bien compris, et je crois que cela aurait été compréhensible par beaucoup d'enfants de son âge voire même plus jeunes, même si c'est vrai qu'il est particulièrement curieux (c'est le même qui l'autre jour s'intéressait aux "différentes tailles d'infini" ; pour la relation d'équivalence, il me posait la question après que j'ai abordé le sujet avec le grand frère qui est en 1ereS à propos des vecteurs).



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Laurette.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
@Dom: [www.les-mathematiques.net]

Ce qui m'a toujours intéressé en maths, c'est l'acte gratuit. Au collège et au lycée, les maths me plaisaient car elles me donnaient l'impression de ne servir à rien....tout en constituant un édifice intellectuel inébranlable.
Dès que cela devenait "concret", cela m'intéressait beaucoup moins car cet aspect concret me paraissait artificiel.
Si les maths avaient été enseignées pour "être utiles à autre chose", cela m'aurait prodigieusement ennuyé et je n'aurais certainement pas fait d'études supérieures en mathématiques...

PS n°1:
La physique au lycée était pour moi le seul domaine où cette "utilité des maths" avait un réel intérêt. Mais aujourd'hui, quand on regarde les programmes de physique au lycée, on se dit que ces passerelles entre maths et physique ont été rompues.

[Modéré. Hors-sujet]



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par michael.
Dom
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
En effet : les mathématiques sont une discipline, comme un sport avec ses règles pour le dire vite, comme la philosophe ou le français avec les règles du discours, etc.

Évidemment, l'utilité intervient dans la construction de l'esprit. On le constate plus tard.
D'autres disciplines, voire toutes les autres, aident à cela aussi.

Je maudis notamment le prof d'anglais qui justifierait sa discipline "parce que c'est la langue la plus parlée dans le monde" (que la phrase soit juste ou fausse).
Il fout en l'air l'allemand, l'espagnol, l'italien, le latin, le finnois, le flamand, le grec ancien...

Bon j'ai dit "participer" malgré la digression.
Je ne pense pas répondre (sur ce fil) aux contradicteurs, que je ne méprise pas car il s'agit bien d'un avis, d'un point de vue que l'on est en droit de ne pas partager. Je répondrai ailleurs, le cas échéant.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
Petite remarque acide au passage :

On peut s'émerveiller des exercices issus du cours scanné plus haut, et, par exemple, prétendre évaluer quelque chose en demandant de déterminer l'ensemble de définition d'une fonction en seconde, sans se rendre compte d'aucune contradiction.

Qu'est-ce qu'une relation binaire? Qu'est-ce qu'une fonction? Sans définition de l'une ou de l'autre, est-ce faire des maths que de poser des questions les concernant?

edit : après relecture et auto-interrogation : le scan évoque le graphe de la relation ; l'ouvrage donne-t-il une déf d'une relation binaire? J'imagine que oui ; ce qui rend ma remarque bien peu pertinente... quoique ...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Etoile Barre.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
@Ramon: je suis rentré en 6ème deux années après toi, mais j'ai eu droit à tout ça aussi. Tu as visé juste, je fais effectivement la théorie des ensembles au moment des proba. Mais en fait j'ai remarqué que d'une part c'est très formateur et d'autre part les élèves sont très intéressés. Je me rends compte que manipuler des ensembles finis c'est beaucoup plus facile et ça leur permet de comprendre plein de choses sur les mathématiques (avant j'y étais opposé mais il n'y a que les imbéciles etc.)
Du coup, je me demande dans quelle mesure, cette abstraction ne nous a pas nourri. Je pense juste que la réalisation était imparfaite.

Mauricio



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Mauricio.
Re: Relation d'équivalence au collège
il y a deux années
@Fdp: merci pour ton témoignage. Pour moi aussi ça n'a pas été simple, nous étions un des premiers collèges ZEP, ambiance... Mais il ne faut pas tout mélanger et je pense qu'il y a de bonnes choses. J'écris un livre, tu le liras (peut-être), tu me diras (peut-être).
M.
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