Introduction aux nombres complexes au lycée

$x+a=b$ n'a pas toujors de solution sur $\mathbb{N}$
$x\times a=b$ n'a pas toujors de solution sur $\mathbb{Z}$
$x^a=b$ n'a pas toujors de solution sur $\mathbb{Q}$ (ni sur $\mathbb{R}$)

Et : l'introduction de $i$ résout bien d'autres problèmes que celui soulevé par $x^2=-1$.

On commence par une étude expérimentale. On demande aux lycéens de se lever et de faire face à la fenêtre. Puis de faire un quart de tour dans le sens trigonométrique. Tout le monde se retrouve face au mur du fond (cela peut prendre plus ou moins de temps selon les compétences). Puis on demande de faire un deuxième quart de tour. Tout le monde se retrouve alors face à la porte (idem). On se rassied, et l'on demande de noter dans le cahier, d'une belle écriture ronde: un quart de tour suivi d'un quart de tour fait un demi tour. Si l'on note le quart de tour par $i$, cela donne $$i\times i= -1$$ Il reste ensuite à en tirer les conséquences. Il y en a un certain nombre.

Cordialement, Pierre.

Bonjour,

Parce que quand on fait deux demi-tours on revient comme avant : $-1 \times -1=1$ Le $1$ c'est un tour complet.

nicolas.patrois a écrit:

[...] avec un nombre supplémentaire $i$ dont le carré vaut -1.

monsieur, monsieur, moi je sais : le carré de $i$ c'est $i^2$ !!! mais si $i$ est positif, son carré est positif ... et si $i$ est négatif, son carré est aussi positif :-S ... c'est mon prof. de maths de collège qui m'a appris ça ... donc, y a pas moyen d'avoir un carré négatif (et puis, ça foutrait en l'air toute la géométrie de Pythagore : il y aurait des triangles dont l'hypoténuse serait plus petite blabla) ... z'avez fumé quoi, monsieur ??? je veux bien la même chose ...

Personnellement je démystifierais les choses, en expliquant que $\C$ ce n'est rien d'autre que $\R^2$ auquel on veut donner une multiplication.

Les élèves à ce moment diraient certainement "mais monsieur, il suffit de poser $(x,y)(u,v) = (xu,yv)$" auquel cas il faut expliquer pourquoi on ne prend pas cette définition, a priori raisonnable. (On veut pouvoir inverser tous les nombres sauf $0$)

Et dans un second temps, je montrerais en quoi ces couples de réels permettent de résoudre toutes les équations à coefficient réels (ou complexes d'ailleurs).

Précisément Dom, en général on explique aux élèves qu'on introduit de nouveaux nombres (un peu magiques, on sait pas d'où ils sortent) qui vont permettre de résoudre toutes les équations. Et a posteriori on dit qu'on peut les voir comme des points du plan, mais je remarque que c'est souvent anecdotique dans la tête des élèves.

Alors que non, pour moi l'aspect géométrique est essentiel. Comprendre que multiplier par $i$ c'est faire une rotation de 90 degrés, que prendre le conjugué c'est faire une symétrie axiale etc... Je propose vraiment de les définir via le plan, montrer de manière immédiate les implications géométriques (translations quand on additionne, rotation et homothétie quand on multiplie, etc ...) et après passer aux équations.

Si mes souvenirs sont exacts, en prépa HEC ou Math-sup, j'introduisais les complexes comme dit Nicolas Patrois, ce sont des nombres $a+bi$ avec $a$ et $b$ réels et $i^2=-1$, avec les opérations habituelles. Ce nombre $i$ est nouveau, comme sont nouveaux les nombres fractionnaires ou les nombres négatifs pour qui ne connaît que les entiers naturels, les bien nommés. Quant aux réels, ce sont bien les objets numériques les plus énigmatiques...
Procéder ainsi, c'est selon moi la méthode la plus efficace et la plus courte. Les introductions historiques ont leur charme mais on pourrait par exemple se borner à faire faire un exposé à ce propos.
Les élèves adoptent sans souci la « règle du jeu », comme disait mon bon maître Lespinard, et on avance.
On peut traiter en exercice les matrices 2x2 qui donnent les complexes.
Comme je l'ai souvent dit ici, il n'est pas opportun de faire des constructions d'ensembles de nombres avant bac+3.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Si on a le temps (!!), une ou deux leçons de discussion sur le thème
Quid si $i^2=-1$ ?
intéresseront peut-être les élèves.

Moi aussi, je faisais $a+\text{i}b,$ avec $\text{i}^2=-1.$

Je me souviens encore de la définition du cours:
On admet que l'on peut construire un sur-ensemble de $\mathbb{R},$ noté $\mathbb{C},$ dont les éléments sont appelés nombres complexes (ou imaginaires) et vérifient :
1. $\mathbb{C}$ est muni d'une addition, d'une soustraction, d'une multiplication et d'une division qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ (mêmes règles de calcul).
2. $\mathbb{C}$ contient un élément $\text{i}$ vérifiant $\text{i}^2=-1.$
3. Tout nombre complexe s'écrit de façon unique sous la forme $z=a+\text{i}b,$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

Concernant Cardan, je ne faisais que le mentionner pour dire d'où tout cela venait. La partie historique/considérations métaphysiques prenait 10/15 min au plus.

Il est aussi intéressant, après avoir parlé du plan complexe (en fin de leçon, quand les concepts sont un peu assimilés), de poser le problème de comment munir $\mathbb{R}^2$ d'une structure de corps qui serait un sur-corps de $\mathbb{R},$ où le complexe $(1,0)$ s'identifie au réel 1 et $(0,1)$ à $\text{i}$.
L'addition est naturelle : $$(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').$$ Elle correspond à l'addition des vecteurs, ou à
$$(a+\text{i}b)+(a'+\text{i}b')=(a+a')+\text{i}(b+b').$$
La multiplication pose problème puisque si l'on pose $$(a,b)\times (a',b')=(aa',bb')$$ (cf produit scalaire), on n'a pas de corps - par exemple $(1,0)\times (0,1)=(0,0).$
Pour avoir une structure de corps, on doit prendre
$$(a,b)\times (a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b),$$ ou $$(a,b)\times (a',b')=(aa'-bb',-ab'-a'b).$$
En fait, je ne me souviens plus trop de la façon dont j'avais procédé (ni si les deux possibilités ci-dessus sont bien les seules envisageables), mais je me souviens avoir fait à ça avec une bonne classe il y a 5/6 ans et que ça c'était bien passé et avait été bénéfique pour les bons élèves.

En terminale S je fais groupe , anneau puis anneau quotient enfin
les nombres complexes avec R[X]/(X^2+1) .

Je faisais ça... en maths Sup, au bout d'un mois... et ces 2 dernières années, il y en avait bien 10% qui,bien que connaissant déjà les nombres complexes, ne comprenaient pas un traitre mot de ce que l'on faisait !

À vrai dire, j'ai actuellement quelques élèves de Maths Spé qui sont toujours allergiques aux nombres complexes et repassent à chaque fois en parties réelle et imaginaire !! (et pour faire des transformées de Fourier, c'est franchement pas la meilleure solution )

Je ne crois pas que motiver les complexes plus longuement que par "on souhaite trouver un ensemble dans lequel toute équation de degré 2 admet une solution" soit vraiment utile.

Certes, la définition de la multiplication sur $\R^2$ est tout aussi arbitraire qu'introduire un nouveau nombre $i$ tel que $i^2=-1$, mais elle a comme intérêt de montrer que les nombres complexes ne sont pas des choses magiques mais au contraire des choses bien connues.

Beaucoup d'étudiants qui entrent à la fac ne savent pas ou ne se sont jamais rendu compte que $i =(0,1)$, pour eux c'est un nombre mystique. Certains n'ont d'ailleurs rien compris à la forme polaire, alors que si on leur introduisait les nombres complexes comme des points du plan, la forme polaire devient extrêmement naturelle. Pareillement beaucoup d'élèves m'ont déjà demandé "monsieur comment on prouve que deux complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle et imaginaire le sont" alors que c'est une trivialité incroyable si on voit les complexes comme des couples.

Tout dépend si on veut mettre l'accent sur les nombres en tant que tels ou plutôt sur le fait d'introduire une nouvelle opération (la multiplication).

De même que skyffer, je pense que l'approche de DSCH est la plus intéressante : elle permet de justifier de façon efficace l'intérêt de manipuler les racines carrées de nombres négatifs. On peut ensuite justifier de façon rigoureuse les calculs proposés en introduisant les nombres complexes comme couples de réels et terminer en introduisant les notations classiques.

La multiplication sur $ \mathbb{R}^{2} $ n'a d'ailleurs rien de compliqué, si on commence par manipuler de façon purement formelle les racines carrées négatives comme le propose DSCH : dans ce cadre, il n'existe qu'une seule façon cohérente de définir le produit $ \left(a+b\sqrt{-1}\right) \left(c+d\sqrt{-1}\right) $.

@oka : Chaurien a pourtant raison. Je peux très bien introduire formellement $i$ tel que $i^2 = -1$ et définir les opérations sur $a+ib$ et voir que ça fait un corps.

Le problème de le faire dans ZF est un faux problème, car d'une part c'est très facile à faire, je prend n'importe quel ensemble pas dans $\mathbb{R}$ et je le définis comme $i$, avec les opérations voulues dessus, d'autre part ça n'apporte rien au niveau terminale.

C'est exactement comme quand on définit la droite réelle achevée $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigcup \{\infty\}$. C'est quoi $\infty$ ? On s'en fout, ce qui compte c'est comment on définit les opérations dessus. Si on veut le définir proprement dans ZF on dit par exemple que $+\infty = \{\mathbb{R}\}$ et $-\infty = \{\{\mathbb{R}\}\}$, mais ça ne présente aucune difficulté et ça n'a aucune importance.

Chaurien a écrit:

La structure-quotient est une notion difficile. Il y a bien longtemps qu'on a renoncé à l'enseigner en classes préparatoires, je dirais bien trente ans au moins

J'étais en maths sup en 1988-1989 et les structures quotients étaient au programme. Cela permettait à partir de N de construire Z puis Q puis R (grâce aux suites de Cauchy) puis C de façon totalement rigoureuse.

Chaurien a écrit:

Une des plus grandes folies des programmes post-soixante-huitards fut la construction de Z en classe de Cinquième (!) comme ensemble de classes d'équivalence de couples d'entiers naturels (!!).

J'ai appris cela en maths sup....Aujourd'hui, je suis sûr que beaucoup d'étudiants en mathématiques ignorent cette construction....
Il était prématuré de parler de cette construction en 5ème. Cela nous rappelle que l'enseignement des maths depuis 1968 est victime d'expérimentations criminelles émanant de personnes totalement coupées des réalités (trop grande abstraction dans les années 70, algorithmique et lois continues aujourd'hui...) et qui se moquent totalement de ce que peut être un élève moyen....

Je me souviens avoir lu un manuel de Terminale A (!!!!!!) des années 70 dans lequel l'ensemble des nombres complexes était construit au moyen de la méthode exposée par @rebellin dans son message. C'est-à-dire (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b') et (a,b)x(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b) et tout ce qui en résulte.

Quand j'étais en TC, notre excellent prof nous avait d'abord montré les insuffisances successives des ensembles N, Z, Q et R dans lesquels on ne pouvait résoudre certaines équations. Ensuite, il nous avait expliqué comment Bombelli avait pu résoudre l'équation x^3-15x-4=0 en osant introduire la racine carrée de -121 dans ses calculs.
L'introduction du nombre i arrivait alors de façon "presque naturelle" et nous pouvions alors admettre son existence sans trop sourciller.
Je pense que cette présentation reste la plus raisonnable pour rester accessible à des élèves de TS.

skyffer3 a écrit:

Je n'ai pas compris comment cette histoire d'élèves qui tournaient sur eux-mêmes donnait la moindre intuition sur sans l'avoir jamais vu avant. En quoi la multiplication fait une rotation ?

Comme disait mon prof de physique de taupe :"C'est facile quand on sait !"................

pldx1 a écrit:

marche, marche, marche, quart de tour, marche, marche.

Garde à vous !!!! Repos.....

Mais ça designe quoi $ a+ib$ si tu as seulement introduit $i$ ?

Il y aurait encore bien des choses à dire dans cette discussion très intéressante.

Juste un mot à propos de la remarque de Ramon Mercader sur un manuel de Terminale A (littéraire) des années 1970. C'est probablement :
Pitel, Durant, Touyarot, L'heure de mathématique en Terminale littéraire, Fernand Nathan 1968, 176 p.

C'est un excellent ouvrage, fruit de la collaboration de deux professeurs de mathématiques et d'un professeur de philosophie, qui présente un cours de mathématiques avec une réflexion appuyée sur des extraits de Platon, Descartes, Kant, Hadamard, Dieudonné et autres penseurs d'envergure.

Bon, il est conçu pour d'excellents élèves de cette filière, qui n'existaient (et n'existent) probablement qu'à l'état de trace, comme on dit en chimie. Mais en tant que livre, par exemple pour des gens comme nous, j'en conseille la lecture. On le trouve encore pour pas cher, ce qui n'est pas le cas des livres de Bréard.

Bonne journée.
Fr. Ch.

NB. Un forumeur pourrait-il m'expliquer comment on fait ces jolies citations encadrées de messages d'autrui ?

ev a écrit:

Tu cliques délicatement dessus.

Merci beaucoup, j'ai cliqué brutalement et ça marche aussi ;-)
Bonne journée.
Fr. Ch.

ev a écrit:

Chaurien ne pas éreinté pour ma syntaxe.

Peut-être un problème avec la sainte taxe.

On peut bien introduire formellement les complexes par la multiplication des $a+ib$ mais il faut montrer le plus vite possible que cela precipite dans un monde coherent: racines des polynomes de degree 2 et 3 d'abord. Mais ensuite, je montre vite en L1 que $\lim_n(1+z+\cdots+\frac{z^n}{n!})$ existe. On le note $e^z.$ Et quelle stupefaction d'avoir ensuite rapidement $e^{z+z'}$, la definition de $\cos \theta$ et de $\sin \theta$ a partir de $e^{i\theta}$ ou $e^{i\pi}=-1.$ C'est comme cela que fait Dieudonne, et c'est tres bien.

@ P.
En L1 comment prouves-tu : $e^{z+z'}= e^z e^{z'} $ ?

De fait, j'utilise $\exp$. Le reste se fait bien a partir d'une etude correcte de $ t\mapsto \cos t, \sin t$ Voir le tome 1 de Dieudonne , traite d'analyse.

Oups ! Il faudra que je regarde la série. Je ne connais pas ces trois personnes, mais ils ont du talent.

Bonjour,

un nombre complexe étant une similitude directe du plan euclidien canonique, elle-même étant un pouvant se coder par un vecteur, on peut dans le même temps faire correct et très vite abréger pour écrire des a+ib dans tous les sens. Les deux exposés ne sont pas en conflit dès lors qu'on accepte d'admettre en introduction les propriétés des similitudes.

Bonne soirée.