cos(a+b) au lycée

Cedv · March 2017

Bonjour,

je ne trouve pas facile de motiver l'étude de ces formules de trigonométrie (1ère S ; T STI) :

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b ; sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a.

Quelles sont les motivations ? Que fait-on vraiment au niveau lycée de ces formules ? Construire de nouvelles valeurs exactes de cosinus et sinus (genre pour pi/12...) et puis ??

Finalement il n'y a pas beaucoup de genres d'exercices différents. Que faites-vous avec vos élèves ? Démonstration de ces formules puis quelques exercices comme pi/12 ?

Je suis preneur d'idées sur ce thème.

Merci !

Cyrano · March 2017

Par exemple résoudre l'équation $a\cos(x)+b\sin(x) = c$ demande d'utiliser des formules de trigos et de telles équations peuvent apparaitre en physique et ailleurs.

De manière générale, les élèves ne demandent pas beaucoup de motivations pour les formules de trigos, j'ai remarqué souvent que c'était leur chapitre préféré car ça ressemble à un "jeu". D'une certaine façon ils aiment les maths pour elles-mêmes avec cette méthode sans avoir besoin de trouver une quelconque utilité.

Ramon Mercader · March 2017

Cyrano a écrit:

D'une certaine façon ils aiment les maths pour elles-mêmes avec cette méthode sans avoir besoin de trouver une quelconque utilité.

Cela fait du bien de lire de tels propos !!!
Les mathématiques sont une discipline à part entière. Il serait temps de s'en rendre compte. Les élèves peuvent s'intéresser aux maths pour ce qu'elles sont....
Les situations pseudo-concrètes sont en général totalement artificielles et contribuent en général à appauvrir le contenu mathématique....
Conséquence de tout cela: après le bac de plus en plus d'élèves se détournent des mathématiques....

Arnaud_G · March 2017

Ramon Mercader > 100 % d'accord avec toi, mais arrives-tu à tenir ce genre de discours devant n'importe qui ?

Ramon Mercader · March 2017

Arnaud_G a écrit:

mais arrives-tu à tenir ce genre de discours devant n'importe qui ?

Qu'entends-tu exactement par "n'importe qui ?"

Cyrano a écrit:

j'ai remarqué souvent que c'était leur chapitre préféré car ça ressemble à un "jeu"

cocosisi et sicosico.....

Arnaud_G · March 2017

Beaucoup de monde :

- ceux qui n'ont pas fait un lycée général
- ceux qui n'ont pas fait d'études supérieures scientifiques
- ceux qui n'ont jamais aimé les maths
- ceux qui disent n'avoir jamais rien compris aux maths
- ceux qui trouvent que ça ne sert à rien pour 90 % de la population
- ceux qui trouvent que les maths ne sont qu'un outil intellectuel pour les autres sciences (physique principalement, mais aussi sciences éco et sociales)
- ceux qui n'utilisent pas de maths dans leur job excepté les tables, la division et les pourcentages (et encore...).
- j'en passe et des meilleurs ....

PS : j'ai déjà rencontré des gens dans chacune de ces catégories, difficile de leur faire comprendre que les maths sont une fin en soi.

nicolas.patrois · March 2017

Elles peuvent servir en électricité quand tu veut ajouter deux signaux électriques.

gauss · March 2017

Raymond résume à merveille ce que je pense de toutes ces pseudos activités d'approche, qui au final sont souvent bancales et ne motivent rien.

Toutes les théories du gourou Chevallard de la didactique ont imprégné l'enseignement hélas, personnellement, je ne fais jamais d'activité d'approche (artificiel et perte de temps).

Je note que depuis une quinzaine d'années, on cherche trop à se justifier, vous voyez, ça sert à ceci, ça sert à cela les maths : ce que Chevallard appelle les raisons d'être des mathématiques. On dirait qu'on a presque honte de faire des mathématiques de nos jours si on ne les rattache pas à de l'utilitaire : triste évolution, on est bien loin de : pour l'honneur de l'esprit humain.

Bonne journée,

gauss

gauss · March 2017

Ramon pardon d'avoir déformé ton pseudo !

ybreney · March 2017

Bonjour,

quelques idées:

Dérivabilité sur $\mathbb{R}$ des fonctions sinus et cosinus

$a$, $b$ et $c$ désignent les mesures respectives des angles $\widehat{CAB}$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCA}$ d'un triangle non aplati $ABC$.

Que particularité ce triangle présente-t-il sachant que $\sin(c)-2\sin(a)\cos(b)=0$?

Pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel $\theta$ non multiple de $\pi$, on pose $S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin(k\theta)$.

Démontrer que, pour tous réels $a$ et $b$, $\smash{\sin(a)\sin(b)=\cfrac{1}{2}\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right)}$.
Simplifier le produit $S_n\sin\left(\cfrac{\theta}{2}\right)$ en utilisant l'égalité prouvée à la question précédente.
En déduire la valeur de $S_n$.

Y.

vincent83 · March 2017

@Ybreney: trés joli...

SERGE_S · March 2017

Ramon Mercador a écrit:

Les situations pseudo-concrètes sont en général totalement artificielles et contribuent en général à appauvrir le contenu mathématique ...

C'est bien connu que les mathématiques procèdent toujours du général vers le particulier et jamais du particulier vers le général n'est-ce pas ? 8-) Bourbaki presque 70 ans après être entré sur scène fait encore des ravages. C'est franchement désespérant.

Pour en venir au discours des relations trigonométriques, au niveau de la terminale il n'y a qu'une seule façon d'aborder la question et c'est "apprendre bêtement par cœur". Tout en disant aux élèves (pour culture générale) que toutes ces relations peuvent évidement se démontrer rigoureusement à partir d'un objet mathématique pour eux inconnu qu'est l'exponentielle complexe).

Héhéhé · March 2017

Le truc c'est que les vraies situations concrètes conduisent dans 99% du temps à des mathématiques bien trop compliquées pour les terminales S (et même jusqu'à la prépa) ce qui fait que les exemples sont souvent très artificiels.

Cyrano · March 2017

L'intégralité des formules de trigo peuvent être démontrées dans le secondaire.

En fait si on a démontré la formule $$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b),$$ on peut en déduire toutes les autres formules de manière simple. (Il faut aussi connaitre la formule $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ mais ça c'est immédiat vu la définition qu'on donne de $\cos$ et $\sin$ dans le secondaire) La formule du cosinus de la somme bien sûr se démontre habituellement via l'exponentielle, mais on peut aussi le faire de manière purement géométrique.

Malheureusement la géométrie a disparu du secondaire.

AD · March 2017

Bonsoir
Grâce au produit scalaire dans $\mathbb R^2$ [size=x-small](muni d'un repère orthonormé d'origine $O$)[/size] $$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB} = \|\overrightarrow {OA}\| \times \|\overrightarrow {OB}\|\times \cos(\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB})\qquad (1)
$$ Si $\overrightarrow {OA}$ et $\overrightarrow {OB}$ sont de norme 1 et si $Ox$ est l'axe des $x$,
Si $a$ est l'angle $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OA})$ alors $\overrightarrow {OA}$ a pour coordonnées $(\cos a,\sin a)$
Si $b$ est l'angle $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OB})$, alors $\overrightarrow {OB}$ a pour coordonnées $(\cos b,\sin b)$
et on a $(\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}) = b-a \quad\pmod{2\pi}$.
La formule $(1)$ du produit scalaire s'écrit alors, $$\cos a\cos b +\sin a\sin b = \cos(b-a)
$$ Les autres formules trigo s'en déduisent.
Accessible au lycée ? Je me rappelle avoir vu ça en 1ère [size=x-small](en 1963)[/size] et cela m'avait tellement estomaqué que je me souviens encore de la formule et surtout de la manière de la retrouver !
Alain

Cyrano · March 2017

AD : Intéressant mais ne tournerait-on pas en rond ? Si on veut prouver aux élèves que le produit scalaire défini "via les coordonnées" est le même que celui défini avec le cosinus, n'utilise-t-on pas justement des formules de trigo ?
Je peux me tromper bien sûr. En tout cas cela prouve bien qu'on peut faire des choses intéressantes en secondaire sans l'exponentielle complexe.

AD · March 2017

Bonsoir Cyrano
Sans doute, mais ce qui m'avait frappé à l'époque c'est le lien entre deux "choses" sans lien apparent, apprises précédemment, le produit scalaire vectoriel (sans doute parachuté ?), et les formules trigo, apprises péniblement l'année précédente (sans doute parachutées elles aussi ?), et que ces deux choses apprises séparément, se rejoignent là, de manière si évidente ...
Alain
NB. Quand je dis parachutées, le prof avait certainement donné une démonstration qui m'était alors passée au dessus et dont je ne me souvenais plus à ce moment là.

gad gad · March 2017

Bonsoir AD,
tu demandes si c'est accessible au lycée et je te réponds que c'est de façon tout à fait officielle au programme de la classe de première S.

Cyrano: non, on n'a pas besoin d'avoir au préalable introduit la moindre trigonométrie pour obtenir la formule de AD. On a besoin de quelques axiomes de géométrie euclidienne intuitifs. L'égalité $$\cos(b-a) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$$ provient du fait que chaque membre est le produit scalaire du même couple de vecteurs unitaires calculés dans deux repères orthonormés différents.

Dans le premier repère $u$ a comme coordonnées $(\cos(a),\sin(a))$ et $v$ a comme coordonnées $(\cos(b),\sin(b))$

Dans le deuxième repère $u$ a comme coordonnées $(1,0)$ et $v$ a comme coordonnées $(\cos(b-a),\sin(b-a))$

L'invariance du produit scalaire (défini par $(x,y).(x',y') = xx'+yy'$) provient des théorèmes permettant de l'exprimer en fonction des longueurs uniquement de certains côtés des quadrilatères concernés par des représentants de ces vecteurs.

Bonne soirée.

samok · March 2017

Ce n'est pas vrai que la géométrie a disparu du secondaire en France, on apprend de nouveau à prononcer le mot homothétie au collège, les translations sont reviendues ainsi que les rotations.
Comme le punk qui a trop bu de bière : Not dead but bien raide.
-> chansons d'un album
Pas encore en bière, elle est.

S

Cedv · March 2017

Je ne partage pas votre point de vue. On peut donner du sens (et on doit !) sans pour autant dénaturer le travail en maths ... la difficulté est de trouver des choses à la hauteur de notre public ! (je ne parle même pas d'élèves de STI qui doivent voir ces formules en Tle).

L'exemple d ybreney sur la somme des sin(k théta) montre un exemple d'utilisation de ces formules...hélas est-ce faisable par des élèves de type lycée !?

On peut motiver l'utilisation du produit scalaire par plein d'approches enrichissantes et compréhensibles par les élèves (généraliser Pythagore à un triangle non rectangle, regarder du côté de la physique et des forces, lier angles, longueurs, se poser la question de l'aire du triangle...). On peut aussi balancer quatre formules aux élèves et boucler le chapitre ... (_{très intéressant !})

Pour ces formules de trigo (qui se veulent être dans la continuité du chapitre produit scalaire), je reste assez perplexe.

sebsheep · March 2017

Je n'arrive pas à remettre un clic dessus mais il me semble qu'avant l'invention du "log", on utilisait les tables trigos avec ces fameuses formules pour effectuer des multiplications (avec par exemple $\sin(a)\sin(b) = \frac12 (\cos(a-b) - \cos(a+b))$). À confirmer.

Pas dit que les élèves comprennent comment s'en servir ni que ce soit réellement motivant (d'autant qu'obtenir la relation pré-citée est loin d'être évidente pour les élèves actuels en première S à partir des formules "à connaître").

soleil_vert · March 2017

Accessible au lycée ? Je me rappelle avoir vu ça en 1ère (en 1963) et cela m'avait tellement estomaqué que je me souviens encore de la formule et surtout de la manière de la retrouver !

On faisait encore cela en première dans les années 1980 puis on recommençait avec les nombres complexes en terminale.

Samuel DM · April 2017

On peut toujours utiliser un argument raz-les-pâquerettes du style : dans l'annale machin on utilise la formule pour étudier le signe de la dérivée que l'on ne peut pas faire simplement avec la forme développée (de mémoire le signe de $\cos x + \sin x$ pour $x \in [0,2\pi[$).

cos(a+b) au lycée

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