usage de $\iff$

samok
samok
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

je l'ai noté un jour sur ce forum et ne suis pas en mesure de mettre un lien, mais je ne vois pas pourquoi par exemple $2x-1=-x+2 \iff 3x=3$ est fautive d'un point de vue formel.

S

Réponses

  • Samuel DM
    Samuel DM
    Sans écrire les quantificateurs, on peut pinailler, sinon je ne vois pas.
  • samok
    samok
    Bonsoir Samuel DM,

    $\exists x \in \mathbb{R}\, ; \, 2x-1=-x+2 \iff \exists x \in \mathbb{R}\, ; \, 3x=3 \iff \exists x \in \mathbb{R}\, ; \, x=1$

    est-ce ainsi que vous voyez les choses ?

    S
  • Amathoué
    Amathoué
    Moi je ne vois aucun problème. On peut même remplacer(bien que ce soit sans intérêt) remplacer $\exists$ par $\forall$, la ligne est toujours formellement juste.
  • flipflop
    flipflop
    c'est moyen non, la dernière formulation ?

    C'est l'ensemble des solutions qui est le même avec tes trois équations. Et pas seulement savoir s'il existe une solution :-S

    $$
    \forall x \in \mathbb{R}\, ; \big( \, 2x-1=-x+2 \iff \, \, 3x=3 \iff \, x=1\big)
    $$

    Et comme conséquence : les trois équations ont les même solutions dans $\R$.
  • Amathoué
    Amathoué
    Franchement, entre la tienne et celle de samok, je n'ai aucune préférence.
  • samok
    samok
    Bonsoir flipflop,

    je suis d'accord que l'on souhaite écrire : $\{x\in \mathbb{R}\, ; \, 2x-1 =-x+2\}=\{x\in \mathbb{R}\, ; \, 3x=3\}$

    Le fait-on avec avec $\forall x \in \mathbb{R} (2x-1+y=-x+2+y \iff 3x=3)$ ?

    S
  • samok
    samok
    Là, Samuel DM me dira que ce n'est pas quantifié en $y$, mais si j'écris :
    $\forall x \in \mathbb{R}\, (2x-1+0\times y=-x+2+0\times y \iff 3x=3)$, c'est indémerdable, non ?

    S
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ta dernière écriture est fausse : il te faut quantifier $y$, le zéro en facteur ne change pas ce principe.
  • samok
    samok
    ok, mort de lol sieur Yves M.

    Ne vois-tu pas tous ces $0\times$ variable à quantifier ?

    S
  • lelabekti
    lelabekti
    Bonsoir samok,

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1460120,1460160#msg-1460160

    Le fait que deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux n'est pas une Lapalissade, mais un axiome qui s'appelle "extensionnalité".
  • samok
    samok
    ah ok, mort de ko de lol alors et merci lelabetki.
    [*** modéré *** Samok : ce n'est même pas drôle. Arrête les grossièretés, ! AD]
    S
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Bonjour samok. On a aussi $\exists x \in \mathbb R 2x=2 \Leftrightarrow \exists x \in \mathbb R x=3$.
  • samok
    samok
    Bonjour Shah d'Ock,


    que veux-tu dire ?

    S
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Je voulais dire que dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1460120,1460138#msg-1460138 tu ne dis pas ce que je pense que tu veux dire. Le $x$ étant quantifié trois fois, ce n'est a priori pas le même dans les trois équations. Tu dis que (toutes les trois ont une solution) ou (aucune n'a de solution), mais tu ne dis pas qu'elles ont la même solution.

    Comme la poésie, en somme.
  • samok
    samok
    [*** modéré *** Provocation envers la modération : bannissement de 24h. AD]

    S
  • Dom
    Dom
    Je suis ce fil avec intérêt et je m'attendais à ce que quelqu'un conteste l'enchaînement des symboles d'équivalence.

    En effet, personne pour évoquer l'ambiguïté et le danger de confondre les trois assertions suivantes ? $$
    A\iff B \iff C
    $$ $$
    (A \iff B) \iff C
    $$ $$
    A \iff (B \iff C)
    $$ Évidemment, on peut parler d'abus d'écriture et considérer que l'absence de parenthèse signifie "ce que l'on pense".
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour. On définit: 
    xet:=(x,y)->x*y;
mou:=(x,y)->x+y-x*y;
non:=(x)->1-x;
ply:=(x,y)-> mou(non(x),y);
qui:= (a,b)-> xet(ply(a,b), ply(b,a));

    Et alors: $$rul( qui(a,qui(b,c))) \mapsto 4\,abc-2\,ab-2\,ca-2\,bc+a+b+c $$

    On constate que cet opérateur est associatif et commutatif. Et donc, il n'y a pas lieu de "faire savant à ce sujet". Quant au risque de confusion avec $$xet(qui(a,b), qui(b,c))\mapsto ab+ca+cb-a-b-c+1 $$ ... cela revient à se demander si $x=y=z$ veut ou ne veut pas dire $x=(y=z)$. Refuser d'écrire, dans un calcul à la main, $\frac {15-5}{9-3}=\frac{10}{6}=\frac 5 3$ pour "manque de formalisme" ... impliquerait ... "formalisme, poubelle direct".

    Cordialement, Pierre.
  • Foys
    Foys
    Avec ce double $\Leftrightarrow$ , vous vous retrouvez avec des énoncés bizarres comme ce théorème(edit: en fait non; voir plus bas) de ZFC:

    $\forall x: x \in \R \Rightarrow \big ( x=3 \Leftrightarrow (x=4 \Leftrightarrow x^2<0) \big)$
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • pldx1
    pldx1
    @Foys: Que donne ce "théorème" lorsque $x=7$ ?
  • Foys
    Foys
    pldx1 a écrit:

    @Foys: Que donne ce "théorème" lorsque $x=7$ ?

    Bonjour pldx1,

    Puisque $x$ n'est pas une variable libre de la formule $\forall x: x \in \R \Rightarrow \big ( x=3 \Leftrightarrow (x=4 \Leftrightarrow x^2<0) \big)$, nous avons l'équivalence suivante qui est prouvable: $\Big( \forall x: x \in \R \Rightarrow \big ( x=3 \Leftrightarrow (x=4 \Leftrightarrow x^2<0) \big)\Big) [x:=7] \Leftrightarrow \forall x: x \in \R \Rightarrow \big ( x=3 \Leftrightarrow (x=4 \Leftrightarrow x^2<0) \big)$
    (autrement dit c'ets le même énoncé).

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_libre
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Euh Foys ...

    N'es tu pas d'accord que si $\forall x\ (x\in \R \Rightarrow P(x))$ est un théorème de ZF, alors $P(7)$ se doit d'être un théorème de ZF ?

    Tu affirmes donc que $7=3 \Leftrightarrow (7=4 \Leftrightarrow 7^2<0)$ est un théorème de ZF. Bravo, tu as démontré l'inconsistance de ZF !
  • Foys
    Foys
    Faut reconnaître que pldx1 (sans parler de GaBuZoMeu)a eu un certain coup d'oeil pour le détail embarassant :p. Seule l'implication suivante est prouvable!
    $\forall x: x \in \R \Rightarrow \big ( x=3 \Rightarrow (x=4 \Leftrightarrow x^2<0) \big)$

    Tiens j'en mets un autre:

    $\forall x: x \in \R \Rightarrow \big ( x\neq 4 \Leftrightarrow (x=4 \Leftrightarrow x^2<0) \big)$
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    GaBuZoMeu a écrit:
    Bravo, tu as démontré l'inconsistance de ZF !
    Ca je ne le mettrai pas sur un forum public B-)-, je le garde pour moi, pour rafler les prix de l'institut Clay (puisqu'alors Hodge, Riemann etc tombent).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • pldx1
    pldx1
    L'oeil du lynx consistait à remarquer que $qui(a,qui(b,c))\equiv a+b+c \mod 2 $ est faux pour un nombre pair de vrais. Comme le calcul était déjà fait au post précédent, même un lynx en phase post-prandiale pouvait s'en rendre compte !
  • curiosity
    curiosity
    Concernant les trois formes proposées (et en convenant de donner un sens "pratique" à la première ligne qui est un abus d'écriture courant résultant de la transitivité de l'équivalence), est-ce qu'il n'est pas immédiat que du fait de la présence exclusive d'équivalences, les tables de vérité se font "mentalement" et donnent VRAI uniquement lorsque $A=B=C$ sont VRAI simultanément, et FAUX dans tous les autres cas ?
  • Foys
    Foys
    @curiosity, attention, , (VRAI <=> (FAUX <=> FAUX)) est vrai.
    Pour le coup l'interprétation modulo 2 permet de le voir facilement.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • curiosity
    curiosity
    Oui, tu as raison, j'ai dit une bêtise et je suis allé trop vite en besogne. Je ne me méfie plus assez de cette "pratique courante" ;-) !
    Merci pour tes remarques.
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