Utilisation des lettres.

Foys
Foys
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Je poste ce petit exo dans la rubrique pédagogie même si c'est au fond de la logique car je pense qu'il y est à sa place (c'est un problème récurrent de l'enseignement, en fait des thèmes semblables sont souvent abordés sur le forum quoique pas forcément exprimés de cette manière).

1°) Soient tout d'abord deux énoncés $\bf A,B$. Est-il vrai que $(\bf A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)$ ? (on pourra se servir de ce qu'on veut. Tables de vérités, déduction naturelle...)

2°) Considérons les deux énoncés suivants:
2.1. Si $n$ est un nombre entier impair, $n$ est un nombre premier.
2.2. Si $n$ est un nombre premier, $n$ est un nombre entier impair.
L'un de ces énoncés entraîne-t-il l'autre? La question 1°) peut-elle être utilisée?


EDIT je suis vraiment distrait et décidément ça s'aggrave avec l'âge :-X.
La question que je voulais mettre en 2° est en fait la suivante:

3° l'un des énoncés 2.1. , 2.2. est-il vrai?
On voit bien que non, avec des contre-exemples convenables. On ne peut donc pas appliquer 1° telle quelle. cf http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1471428,1471460#msg-1471460
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je me lance. Pour le 1), la table de vérité montre que c'est vrai, on a toujours $(A \implies B)$ ou $(B \implies A).$ Pour le 2), l'énoncé "si $n$ est un nombre entier impair, $n$ est un nombre premier " est faux (contrexemple : $n=9 = 3 \times 3)$ ; l'énoncé "si $n$ est un nombre premier, $n$ est un nombre entier impair" est faux (contrexemple : $n=2$).
    La question 1) peut toujours être utilisée pour deux énoncés quelconques $A$ et $B.$
    Dans ce cas, on a bien que l'un quelconque des énoncés implique l'autre puisque faux implique tout. Il est donc vrai d'écrire :
    (si $n$ est un nombre entier impair, $n$ est un nombre premier)$ \implies $(si $n$ est un nombre premier, $n$ est un nombre entier impair) ou (si $n$ est un nombre premier, $n$ est un nombre entier impair)$ \implies$ (si $n$ est un nombre entier impair, $n$ est un nombre premier).
  • Siméon
    Siméon
    La question 2°) est un peu dangereuse parce qu'elle ne lie pas le « $n$ ».
    Ceci dit, on a bien quel que soit $n,\ [(2.1) \Rightarrow (2.2) \text{ ou } (2.2) \Rightarrow (2.1)]$.

    @YvesM : tu dis que l'énoncé « si $n$ est un nombre entier impair, $n$ est un nombre premier » est faux. Pourtant, avec $n = \pi$ ...
  • Foys
    Foys
    @Yves, Siméon.
    Tout à fait!
    Le premier énoncé est une tautologie du calcul propositionnel.
    Il n'entraîne pas l'énoncé $\left[ \forall n \big (A(n) \Rightarrow B(n)\big)\right] \vee \left[\forall n \big( B(n) \Rightarrow A(n)\big) \right]$ qui peut être faux avec des $A,B,n$ ad-hoc (l'énoncé de la question 2° est implicitement de ce type).

    1° entraîne en fait $\forall n\left[ \big (A(n) \Rightarrow B(n)\big) \vee \big( B(n) \Rightarrow A(n)\big) \right]$ qui est un énoncé différent.

    Dans les maths présentées en langue courante, très souvent les quantificateurs liant les variables sont implicites ce qui peut causer des confusions embêtantes.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Siméon : merci pour cet exemple avec $n= \pi$... je commence à comprendre ces histoires de variables liées ou pas.
  • oka
    oka
    @Foys
    Pourquoi on peut pas appliquer 1° telle quelle ? on a bien : $(2.1) \Rightarrow (2.2) \text{ ou } (2.2) \Rightarrow (2.1)$
  • Foys
    Foys
    @oka
    tout le problème est de dire sur quoi on quantifie.
    Si le $n$ désigne le même nombre dans (2.1) et (2.2) on a bien (2.1) => (2.2) ou (2.2)=> (2.1).

    Sinon ce n'est plus vrai.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • oka
    oka
    Ben justement t'as pas quantifié, c'est pour ça que Siméon a repris YvesM qui ajoutait un quantificateur.

    Donc $n$ a un statut de nom propre comme dirait christophe, on pourrait rajouter "soit $n$ un ensemble" ou "soit $n$ un nombre" au début de l'énoncé pour se rassurer mais c'est la même chose. non ?
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