Distance entre deux points
Bonjour à tous,
On place deux points A(-2) et B(3,5) sur un axe gradué.
Si aucune unité de longueur est précisée, cela a-t-il un sens de calculer AB ?
Autrement dit, si on a un axe gradué comme celui en image, que signifie que AB = 5,5 sans unité derrière ?
Ou faut-il, dans ce genre de questions du niveau 5ème, impérativement préciser une unité de longueur (par exemple : l'unité de longueur est le cm, ce qui signifie que 1 cm sépare deux nombres entiers consécutifs) ?
Merci pour vos avis.
On place deux points A(-2) et B(3,5) sur un axe gradué.
Si aucune unité de longueur est précisée, cela a-t-il un sens de calculer AB ?
Autrement dit, si on a un axe gradué comme celui en image, que signifie que AB = 5,5 sans unité derrière ?
Ou faut-il, dans ce genre de questions du niveau 5ème, impérativement préciser une unité de longueur (par exemple : l'unité de longueur est le cm, ce qui signifie que 1 cm sépare deux nombres entiers consécutifs) ?
Merci pour vos avis.
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Réponses
L'unité de longueur est la longueur OI !
La distance (au collège) entre deux points est bien en $cm$, $m$ ou en $u.\ell.$ (unités de longueur).
La distance entre deux nombres n'a pas d'unités (on prend la distance entre les deux points définis par les deux abscisses et on raye l'unité - je le dis comme ça pour aller vite et je sais que c'est pas beau-.).
Pour les points, on a bien une unité puisque sur un axe on a OI = 1 $u.\ell.$ par "définition" où O(0) et I(1).
Je ne sais pas si c'est parfait mais il me semble que cela donne une certaine cohérence.
Je sais qu'il existe un bon nombre de détracteurs. Mais ceux-là passent souvent sous le tapis ces questions dans leurs classes.
La questions que je me pose est : "Ne serait-il pas mieux d'ecrire AB = 3,5 u.l. + 1,5 u.l." ?
Cela me parait plus logique car on additionne les distances separant les points A et B de l'origine.
Evidemment, c'est la même chose mais j'ai l'impression que pour le premier cas, il y a une ambiguité entre le - 1,5 (abscisse du point et le - 1,5 u.l. (ce qui n'a pas grand sens).
Qu'en pensez-vous ?
Et justement, tu prouves (dans ce cas) qu'il suffit d'additionner les distances car les deux points ont des abscisses de signes contraires.
On peut démontrer les règles (propriétés) avec ces axes.
On démontre aussi la commutativité (son extension aux nombres relatifs).
Et bien doit-on expliquer ou définir ?
Qu'est-ce qui est une définition, qu'est-ce qui est une propriété ?
La distance entre deux nombres ? Soustraire c'est ajouter l'opposer ?
Ils savent que soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé (propriéte), que la distance entre deux points est ma difference entre la plus grande abscisse et la plus petite (propriete).
Ma question ne porte pas sur la soustraction entre 3,5 u.l. et (- 2) u.l. mais sur le sens de (- 2) u.l.
C'est là où c'est fâcheux (les longueurs avec unités ou sans unités).
On peut se permettre de que tu dis je pense.
Le sens à donner à -2 cm est "la longueur qu'il faut ajouter à 100 cm pour obtenir 98 cm" (j'ai choisi ce représentant). Bref.
Chacun comprend : 3 cm - 1 cm.
L'écrire : 3 cm + (-1 cm) devient surprenant à cause de "la longueur -1 cm".
Bon...reprenons... :
Sur l'exemple : AB = 3,5 ul + 2 ul et pas de soustractions. Les donnes permettent d'écrire cela.
On écrit (soustraire c'est ajouter l'opposé) : AB = (3,5 - (-2)) ul.
La distance entre 3,5 et -2 est bien 3,5-(-2) . (Sans unités)
Une distance entre deux points ou une longueur exprimée sans unité est assez étrange tout de même...
Ce sont des nombres dans ce cas.
Pour la distance de 3,5 à -2, on peut tout se permettre et il n'y a pas d'unité.
Le résultat est positif, c'est un moyen de vérifier.
Faut-il la reformuler ou l’interpréter différemment ?
On a le droit de l'utiliser.
C'est cette histoire d'unité qui "nous" gêne.
Une distance (dans le supérieur) est à valeur dans $\mathbb R^+$.
Et les unités n'existent plus.
Justement, n'est-ce pas contradictoire : une distance est un nombre de IR+ alors qu'il s'agit d'une grandeur physique...
On a eu une discussion où on peut ajouter une aire à une longueur puisque l'application $longueur$ et l'application $aire$ sont à valeurs dans $\mathbb R$ tout entier (aire algébrique...).
Une intégrale, par exemple, renvoie un réel.
Notamment pour faire comprendre les problèmes d'homogénéité des calculs ou le calcul littéral avant d'en faire.
Distinguer : 3 kg + 5 m et 3 kg + 5 kg ...
L'écriture rigoureuse avec parenthèses serait à mon sens : (+(2 u.l)) + (+(3 u.l)) ou bien pour reprendre ton exemple (+(3.5 u.l) - (-(1.5 u.l)). Il n'y a que la valeur absolue qui soit dotée d'une unité.
Il faudrait donc écrire (-(1.5 u.l)).
Sinon au lycée ne parle-t-on pas de distance algébrique (notation avec une barre au-dessus de AB), avec un signe dépendant du sens de parcours sur la droite ? Mais il me semble que cela revient finalement à ce que j'ai écrit plus haut.
Cordialement
de l'explosion de la fusée ??à cause d'une erreur de conversion, etc.
D’ailleurs je lisais parfois que « distance à zéro » était affreux ou à proscrire ou encore « pédagogiste » alors que c’est tout simplement $d(0,x)$ dans un espace métrique $(E, d)$.
Ce n’est pas si « fou » que ça.
Par contre la distance à zéro ou distance d’un nombre à un autre n’a pas d’unité me semble-t-il.
C’est la longueur en effaçant l’unité de longueur, en gros.
Édit : Haha c’est ce que je disais ici au tout début de ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1475088,1475114#msg-1475114
C’est un nombre et pas une longueur.
Pour moi, au collège, une longueur a une unité (en fait c’est plutôt une mesure de longueur) mais une distance entre deux nombres n’a pas d’unité (Par contre distance entre deux points, c’est pareil que longueur).
Je n’ai pas compris la confusion possible dont tu parles.
Donc on veut mettre absolument une unité, il faut en mettre une derrière la distance à 0. Mes parenthèses c'était juste pour séparer le signe de la distance à 0. Pas très clair en effet, c'est l'usine à gaz.
Moi je pense qu’il ne faut pas mettre d’unités sur cette distance a zéro.
Éventuellement on peut dire que la distance a zéro d’un nombre $x$ est le nombre d’unités de longueur entre le point d’abscisse 0 et le point d’abscisse $x$.
M. Floquet on peut parler de distance entre deux points sur une droite.
En fait c'est le terme distance à zéro qui est très ambigu, il y a un isomorphisme à respecter que ce terme semble transgresser.
Les mathématiques se placent au dessus et sont là pour abstraire ces notions.
Plus trivialement dit, à l'issue d'un problème mathématique, si on aboutit à $AB=1$ dans la résolution d'un problème de physique qu'on a modélisé, alors il faudra se demander dans quelle unité on a collecté les données du problème pour savoir l'unité à fournir en sortie, au moment d'annoncer un résultat dans le monde physique.
Si le mètre était un objet mathématique il se définirait à partir des axiomes de ZFC.
J'ai toujours trouvé aberrant qu'on parle d'unités tout droit venues de la physique dans des cours de maths. A noter qu'on voit surtout ces choses là dans le primaire et le secondaire et qu'on ne le retrouve plus après (en tout cas je ne vois aucun de mes collègues écrire de telles choses en math).
Personnellement, j’écris les unités mais de manière cohérente. Pas de « 5+6=11 kg », évidemment.
Plus drôle, j’ai déjà vu un collègue de physique me soutenir mordicus qu’on n’avait pas le droit d’écrire « 2 kg+3 kg=5 kg. » Ben voyons, on ne dit jamais « Une vache plus deux vaches font trois vaches. », surtout lui. 8-)
-- Schnoebelen, Philippe
Par contre, en mathématiques, on définit les objets dans le cadre d'une axiomatique. La seule chose que cette axiomatique ne définit pas c'est la notion d'ensemble. À défaut, elle précise une grammaire pour manipuler ces objets. En tout cas cette axiomatique ne définit pas les unités de la physique. Tu ne peux donc pas définir le mètre mathématiquement.
Si tu écris $AB=3m$ je suis en droit de te demander la définition de $m$. Si j'étais ton élève, je te demanderais "à quel ensemble appartient $m$ ? " puis j'enchaînerais avec "que signifie le $3$ collé au $m$, y a-t-il une opération entre les deux ?", "en particulier puis-je écrire que $1m=m$ ?" "est-ce que $m-m=0$ est une écriture licite ?" Tu répondrais quoi toi à toutes ces questions si un élève te les posait ?
On décide (l’humain) d’utiliser cette unité.
C’est une définition physique.
3 m c’est 1 m $\times$ 3 ou 3 $\times$ 1 m ou encore 1 m + 1 m + 1 m.
En effet m tout seul interroge.
Bon, bof bof.
En utilisant ces notations qu'on ne définit pas et qui sont extérieures aux mathématiques, on introduit une avalanche de questions auxquelles il devient inextricable de répondre. On parle des $m^2$ ? Car on peut poser des tas questions rigolotes avec ça
Et puis quand arrive la notion d'espace métrique, on est en droit de se demander pourquoi les distances sont des réels sans unité alors que les points du plan sont des éléments d'un espace métrique ! Les mathématiciens les auraient-ils oubliées ?
Une unité, est une grandeur physique définie par un objet issu du monde réel observable appelé "étalon".
Quand les collègues de physique écrivent "2 + 3 = 5kg" ils écrivent peut-être mal (ce sont les rois pour ça !), mais ils pensent juste car ils savent faire la part entre la phase de modélisation, l'activité mathématique, puis la restitution physique en sortie de modèle.
En gros:
- données initiales mesurées exprimées en kg issues du monde réel observé (je conserve dans ma tête de quoi je parle)
- modélisation: pas d'unité, raisonnement, théorèmes, calculs avec des réels (<---- nous, en math, on est là et seulement là)
- sortie de modélisation: restitution avec les unités que j'avais bien gardées en tête pour interpréter mon modèle le monde réel observable
Le problème c'est qu'à l'âge où on sont enseignées ces choses, on branche les mathématiques à la physique en les mélangeant car on veut "faire du concret" pour ne pas perdre les élèves. On mesure avec sa règle pour "vérifier" des propriétés ou conjecturer. Et c'est parfaitement compréhensible, mais ça c'est de la physique.
Souvent on ne souhaite pas perdre du temps à expliquer ces choses mais ce fil montre que ce temps est certainement nécessaire car même chez des profs on voit que les notions ne sont pas bien claires.
D’où la deuxième phrase de mon message. C’est sûr que si tu t’arrêtes à la première phrase, ça va être compliqué de débattre. ;-)
Foys a proposé une axiomatique des unités qui fonctionne très bien (à partir de calcul tensoriel), christophe chalons en a proposé une autre (c’est un corps). Je préfère la première, qui colle plus à la pratique quotidienne.
Et toi ? Tu ne parles jamais de longueurs mesurées à la main à tes élèves ? Jamais jamais ? Vraiment ?
-- Schnoebelen, Philippe
Je ne parle jamais de longueurs mesurées à la main à mes élèves et si je devais faire ce genre d'activité, je leur dirais que l'on quitte momentanément le monde des mathématiques et qu'on fait une expérience physique dans laquelle les mesures ont besoin d'unités. Donc qu'on va bien retenir les unités qu'on a choisies avant de faire des mathématiques avec.
Une fois ces unités bien connues, je leur préciserais que là commence l'activité mathématique et que dans ce monde il n'y a pas d'unité physique.
Quand à la fin de l'activité mathématique on donne le résultat et qu'on veut l'interpréter dans le monde réel on précise bien les unités initiales.
Si un élève t'écrit "m-m=0" ou "1m=m" qu'est-ce que tu lui dis ? Et s'il te demande si m est un nombre ? Si ce n'est pas un nombre comment expliquer $m\times m=m^2$ et quel serait ce $\times$ mystérieux ? Et si c'est un nombre alors quelle est sa valeur ? 1 certainement non ?
Pourquoi la notion de longueur mathématique (i.e distance dans un espace métrique) n'est affublée d'aucune unité quelque soit l'ouvrage que tu choisisses ?
As-tu lu ce message de Calli ? Je n’ai pas retrouvé le message de Foys.
Les mathématiques modélisent le réel (du moins, les mathématiques de collège et de lycée), c’est donc normal qu’on en retrouve des scories. Une des six compétences de collège est… roulement de tambour… modéliser, et ce n’est pas la plus facile à mettre en œuvre. Donc oui, tu en penses ce que tu veux mais le programme de collège te demande explicitement de modéliser, donc de sortir des mathématiques pures.
-- Schnoebelen, Philippe
Donc on fait de la physique le temps de la modélisation. On peut parfaitement le faire dans un cours de maths pourvu qu'on le dise explicitement aux élèves, puis on passe aux maths pour résoudre, puis on retourne au réel pour interpréter les résultats du modèle.
C'est d'ailleurs très formateur pour les élèves qui petit à petit découvrent la différence entre la physique (science expérimentale basée sur la mesure) et les mathématiques (science de l'abstraction pour caricaturer). L'articulation bien expliquée aux élèves leur permet de voir plus clair à mon avis. Ce fil montre qu'une clarification est nécessaire.
D'ailleurs, à quel moment la longueur mathématique devient-elle un réel sans unité dans l'éducation nationale ? Inutile d'aller chercher dans le supérieur. Dès la quatrième il me semble:
Quand j'enseignais Pythagore à des collégiens, je n'ai jamais écrit et n'ai jamais vu un seul collègue écrire :
$$AC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3m)^2+(4m)^2}=\sqrt{25m^2}=5m$$ (ce qui sous-entendrait que $\sqrt{m^2}=m$ et que donc la fonction racine carrée s'applique à ces quantités mystérieuses)
Si un élève t'écrit $m-m=0$ ou $1m=m$ qu'est-ce que tu lui dis ? Et s'il te demande si $m$ est un nombre ? Si ce n'est pas un nombre comment lui expliquer $m\times m=m^2$ et quel serait ce $\times$ mystérieux ? Et si c'est un nombre alors quelle est sa valeur ? 1 certainement non ? 1 comme unité certainement.
À un moment donné il va bien falloir répondre aux questions des élèves (ou bien prier pour qu'ils ne les posent jamais).
-- Schnoebelen, Philippe
Je dis que tu ne le verras nulle part dans les bouquins, ou dans le B.O, ni dans un quelconque corrigé de brevet disponible sur l'APMEP, ce qui démontre que dans l'éducation nationale, dès la quatrième (pas la peine d'attendre le supérieur), on considère une longueur comme un réel (sans unité) pendant toute la partie mathématique du problème. L'unité est écrite après, à la fin, en sortie de modélisation. Ce sont là juste des faits.
Enfin, j'ose reprendre:
Si un élève t'écrit $m-m=0$ ou $1m=m$ qu'est-ce que tu lui dis ? Et s'il te demande si $m$ est un nombre ? Si ce n'est pas un nombre comment lui expliquer $m\times m=m^2$ et quel serait ce $\times$ mystérieux ? Et si c'est un nombre alors quelle est sa valeur ? 1 certainement non ? 1 comme unité certainement.
À un moment donné il va bien falloir répondre aux questions des élèves (ou bien prier pour qu'ils ne les posent jamais).
Je ne le vois jamais mentionner une unité particulière ni des $m$ (prévisible !) ni des unités grecques de l'époque ni des $u.l$ ni des je ne sais quoi. Peux-tu préciser ce que tu voulais faire dire à Euclide et que je n'ai pas trouvé dans ses écrits ?
Restons terre à terre.
On représente des figures géométriques avec un crayon et du papier.
Rien que le terme « représenter » permet de sortir des maths.
C’est aussi simple que cela.
Même l’axiomatique de la théorie des ensembles utilise des symboles pour les représenter.
Je ne vais pas plus loin que le bout de mon nez.
Il faut, je pense, marteler le terme « représenter » à la place de « tracer ».
Un élève t’a déjà posé une telle question ?
Euclide ne parle pas d’unité de longueur bien évidemment mais à partir du moment où il parle de grandeurs commensurables, et fait de l’arithmétique à partir de longueurs de segments, tu peux mettre 2 devant 2 et regarder ce qui se passe.
-- Schnoebelen, Philippe
Autrement dit, bien avant le supérieur, l'éducation nationale considère déjà une longueur comme un réel sans unité (et heureusement pour nous qui devons enseigner !) Quand on fait ça, on modélise une situation du réel, on peut alors faire des maths, et c'est à la fin du calcul qu'on interprète son calcul dans le monde réel en précisant l'unité. Bref la découverte d'un cycle complet de ce qu'on appelle "modélisation".
Et je connais quelques profs qui le font.
Par contre je n’écris pas comme toi, mais plutôt :
$\sqrt{25 m^2}=\sqrt{(5 m)^2}=5 m$
Je ne sépare pas le « $m$ ».
Certes des questions a ce sujet sont légitimes mais elles ne m’intéressent pas en général.
C’est intéressant bien sûr, je n’utilise pas le terme « intéresser » dans le même sens.
Ça ne pose pas de problème.
Le nombre réel doit être positif et l’unité suit.
Une unité n’a pas de signe pour moi.
« Mètre » ou « gramme » ou « degrés Celsius » n’ont pas de signe. Ce ne sont pas des nombres.
Comme pour un polynôme. « X » est une indéterminée et n’a pas de signe.
Certains polynômes ont des racines carrées, etc.
Tu sais qu'il y a un moyen très simple de donner un sens à toutes les formules que j'ai écrites. Il suffit de poser $m=1$ !! C'est pour ça qu'on parle d'unité Et c'est dingue mais c'est ce qu'on fait tous en 4ème dès qu'on joue avec Pythagore et c'est ce qu'on fait tous aussi en 3ème, en 2nde etc. Et c'est pour ça que dans le supérieur personne ne crie au scandale en voyant qu'une distance est à valeurs das dans R+ (sans unité).
L'avantage supplémentaire c'est qu'on peut montrer comme on distingue bien ce qui relève de la physique et des mathématiques, c'est donc très formateur sur le plan de l'apprentissage des sciences.
Il me semble qu'on a fait le tour (en km).
En fait c'est une bonne question puisqu'elle met le doigt sur ce mélange qu'on fait parfois (souvent ?) sans trop réfléchir entre la physique et les maths. Et dès qu'on titille un peu, on voit bien qu'il est compliqué de justifier ces notations même en ayant recours à un énorme arsenal mathématique.
Et s'il est compliqué de les justifier c'est pour une bonne raison: ça n'a pas de sens et ça n'a pas d'intérêt d'en donner un puisque c'est vouloir attribuer un rôle aux mathématiques qui n'est pas le sien mais qui est celui de la physique. C'est dommage car c'est justement l'occasion de voir comment l'un et l'autre s'articulent harmonieusement. S'autoriser ces notations c'est aussi aboutir à des écritures aberrantes (laquelle des écritures est vraie $0m\neq 0$ ou $0m=0$ ?), à des questions justifiées auxquelles celui qui veut utiliser les notations ne sait lui-même pas répondre et d'ailleurs ne veut pas répondre (on comprend aisément pourquoi).
Au passage, voilà une correction type d'une épreuve de brevet par l'APMEP Ça résume à peu près ce que je dis.
En espérant que ce que j'ai écrit serve à celui qui a posté sa question initiale.
À partir du moment où les unités sont mathématisables (et elles le sont car je t’ai proposé deux modèles, je ne te cache pas que celui de Calli a ma préférence), tu peux parfaitement t’en servir de manière abstraite. Tes notations n’ont pas de sens dans le cadre du modèle de Calli ? Alors pourquoi prétends-tu qu’elles interdisent de parler des unités ?
Tiens, encore un exemple :
-- Schnoebelen, Philippe
Les deux modèles que tu proposes ne donnent aucun sens à cette écriture $\sqrt{25m^2}=5m$. C'est tout.
Je veux bien te croire sur parole. Dans cette fameuse manière abstraite, peut-on écrire $0m=0$ ? et $m-m=0$ ? et $1m=m$ ?
Tu emploies ces notations, très bien. Si un élève curieux te pose les questions précédentes, tu vas lui répondre quoi ?
Ton bout de code explique/justifie-t-il un raisonnement que tu as tenu ? Tu l'as testé avec $\sqrt{25m^2}$ ?
À ton objection sur l’utilisation des unités.
Et alors, rien ne t’empêche d’en donner et pourquoi pas d’utiliser des puissances non entières d’unités, ce n’est pas incompatible.
C’est toujours la commande units :
Bien sûr que non, as-tu lu la sortie d’units ?
As-tu eu déjà un élève qui t’a posé ces questions ?
J’ai plutôt eu des élèves qui écrivent des choses fausses sur les unités. Je te rappelle qu’1 m n’est pas 1×m. C’est un couple formé d’un nombre et d’une unité.
Voir ci-dessus et puis ça aussi : Rien n’empêcherait le développeur de coder des puissances non entières puisqu’il tient compte des racines carrées.
https://www.gnu.org/software/units/
-- Schnoebelen, Philippe
Il y a dans un code source d'un petit programme disponible sur internet la réponse aux questions des élèves concernant l'intérêt et l'usage des unités au cours des calculs.
Les élèves ne poseront pas de questions sur ces unités parce qu'ils ont des problèmes avec les unités donc ne sont pas au stade qu'on leur explique clairement de quoi il s'agit. C'est une vision pour le moins singulière de la pédagogie. Au pire, tu leur donnes un lien, il lancent le programme "units" pour avoir des réponses à leurs questions. J'imagine qu'ils ont accès au source pour avoir toutes les réponses que leur donne cette boite noire. C'est moderne comme enseignement.
Un inspecteur qui te poserait les mêmes questions que moi tu lui dirais:
- "les unités sont mathématisables, allez voir le programme units ou le post de Calli"
- "je vous rappelle que $1m$ ce n'est pas $1\times m$ mais c'est un couple [dont le second élément appartient à...???]"
J'imagine la tête de l'inspecteur ! Il risque de t'en poser pas mal des questions après ce genre de déclarations ! Prépare bien tes produits tensoriels.
Sinon, juste par curiosité, quand tu dispenses toutes ces connaissances pour le moins personnelles (voire confidentielles) à tes élèves, c'est dans le cadre de l'éducation nationale française ?
Tu me demandes si des élèves me posent des questions sur ta présentation à toi des unités ?
Je n'enseigne plus au collège et au lycée depuis longtemps, mais quand je le faisais, je n'enseignais que des mathématiques dont je maîtrisais les définitions et donc jamais je n'aurais présenté ce que tu proposes. En particulier aucun de mes élèves n'aurait pu me poser ce type de question. Je m'inscris plutôt dans le style adopté par l'APMEP ou les bouquins, ou le B.O.
Au contraire, je pense qu'il est important de faire comprendre à un élève ce qui relève de la physique et ce qui relève des mathématiques. C'est un exemple simple de ce qu'on appelle le processus de modélisation (qui, une fois réalisé permet de s'affranchir des unités, ouf !) et qui illustre bien l'articulation harmonieuse entre ces deux sciences.
Tu vois c'est un point de vue assez différent mais finalement assez classique dans les sciences. Il a au moins l'avantage d'être clair et de ne souffrir d'aucune question dont les réponses sont sorties au fur et à mesure d'un chapeau de plus en plus imposant.
En terme pédagogique on a de la liberté, c'est bien, mais je pense que la limite c'est au moins que l'enseignant soit en capacité à définir clairement et complètement ce qu'il enseigne, si ce n'est pas à un élève (jugé a priori trop faible pour comprendre (sic!)) alors à minima à un collègue ou un inspecteur.
Je ne répondrai pas la même chose à un élève (qui ne m’a jamais posé la question pas plus qu’à toi) qu’à un inspecteur (idem) qu’à toi. TU me poses la question, pas un élève. Tu vas me dire que la notion de mètre pose question à un élève ? Vraiment ? Tu crois vraiment que je n’ai jamais parlé d’erreur de mesure quand on mathématise ? Tout ça parce que je ne refuse pas l’usage des unités en classe et que je ne les planque pas sous le tapis pour éviter de… de quoi d’ailleurs ? Tu crois vraiment qu’on explique ce qu’est une droite affine à un élève de sixième ?
C’est quand même bien, parfois, d’avoir deux ou trois notions sur les unités, par exemple pour vérifier vite fait si un calcul est faux du point de vue des dimensions.
Pour finir, je sais très bien faire la différence entre ce qui est mathématique et ce qui est physique, vu ma formation, merci.
-- Schnoebelen, Philippe