Distance entre deux points

Je te pose des questions mathématiques, tu me renvoies à la sortie d'un programme informatique.

Je te demande "si un élève te pose telle ou telle question ...." tu me réponds, ils ne les posent pas. Admettons.

Je te demande "et si un collègue ou un inspecteur te pose telle ou telle question" tu ne me réponds pas (vas tu renvoyer l'inspecteur à un post d'un internaute ou à l'exécution d'une boite noire joliment nommée "units" ?)

Je te demande s'il ne serait pas intéressant de s'abstenir d'inclure dans des calculs où tout est bien défini, des unités issues de la physique (dont aucun modèle mathématique à ce jour ne s'est imposé ni ne fait consensus) afin de montrer que les mathématiques sont justement là pour abstraire ces notions, et tu me réponds un argument d'autorité sur tes compétences (dont je ne doute aucunement)

Je parle d'éviter justement de compliquer inutilement les calculs en y incluant des symboles non définis et en ne gardant que ce qui est définissable et tu me parles de définir rigoureusement une droite affine.

nicolas.patrois a écrit:

Tu crois vraiment que je n’ai jamais parlé d’erreur de mesure quand on mathématise ?

Quel rapport avec le sujet ? Tu as lu ça dans le fil de discussion à quel endroit ?

Ce que tu appelles mathématiser c'est quoi pour toi, modéliser ?

nicolas.patrois a écrit:

C’est quand même bien, parfois, d’avoir deux ou trois notions sur les unités

Les cours de physique servent précisément à ça.

La communication étant visiblement difficile, je vais te laisser introduire à tes élèves ce modèle tout personnel des unités définies via un produit tensoriel confidentiel qu'on peut trouver sur Internet, quelque part.

N'oublie pas cependant de compléter ce modèle car il ne permet pas à l'heure actuelle de justifier tes écritures en 4ème quand arrive Pythagore. Encore un peu de boulot. Demande un coup de main au créateur du "modèle" dont tu appréciais la construction, il va sûrement bricoler un moyen.

nicolas.patrois a écrit:

C’est un modèle, oui, et justement, puisque c’est un modèle, on est passé dans le domaine des mathématiques

Ah bon ? On trouve des bouquins qui sont des références ? En Analyse ? Géométrie ? Topologie ? Mesure ? Algèbre ?

As-tu une référence qui fait consensus chez les mathématiciens ?

Dans ce modèle, dont tu parles, il faudra quand même songer à retoucher un peu pour pouvoir faire des maths de 4ème et écrire des $\sqrt{25m^2}=5m$. Avec une ou deux rustines posées sur les produits tensoriels ça doit être faisable (ou pas, il faudrait retrouver le créateur de cette esquisse de modèle).

Sinon, chez les physiciens je peux trouver des références. Le problème de l'homogénéité c'est un problème de physique (as-tu jeté un œil où le range wikipedia ?) donc finalement c'est logique de ne trouver aucune référence mathématique mais de ne trouver que des ouvrages référents en physique

Les mathématiques ne s'occupent pas de ça car il n'y a aucun intérêt fondamental à s'en occuper sur le plan mathématique. On s'en occupe au moment de la modélisation (pendant qu'on interprète le réel), puis on ne s'en occupe plus pendant qu'on fait des maths (ouf ! ça simplifie énormément les écritures de ne pas tout se traîner), puis, pour revenir au réel, en sortie, on rappelle les unités initialement choisies pendant la première phase (de modélisation).

C'est un point de vue très efficace qui clarifie ce qui appartient au monde réel, qui nous rappelle que les observations sont mesurées physiquement avec des unités physiques (étalons) et qui permet de comprendre comment les maths n'ont que faire de ces considérations.

Après si tu veux vraiment mélanger ces notions avec les mathématiques, il va falloir construire un modèle qui le permet complètement (donc qui dépasse le niveau 5ème pour aller chercher a minima Pythagore). Mais qu'est-ce que ça donnera au final en plus que les techniques dites d'homogénéité utilisées par les physiciens ?

Ce que le préparateur à l'agrégation a fait c'est d'exercer son sens physique lié à la cohérence des unités pendant un calcul pour voir qu'une formule n'est pas cohérente et je le fais aussi, comme tout le monde. Ce n'est pas pour autant qu'il y a un modèle derrière tout ça, ni que ce modèle est intéressant à définir sur le plan mathématique au point d'être enseigné. On le laisse aux phases de modélisation (entrée ou sortie), donc aux physiciens.(cf la conclusion du document sourcé plus bas)

C'est bien pour ça qu'aucun cours de math n'enseigne ceci mais qu'on le retrouve tout le temps .... en physique.

En PCSI, un cours de .... physique !!

La conclusion résume ce que je viens de te dire. Étonnamment ce n'est jamais le prof de math qui écrit tout ça. Y aurait-il une raison selon toi ?

Et oui, et tout ça sans avoir besoin d'unité physique ! C'est génial les maths

troisqua a écrit:

Ah bon ? On trouve des bouquins qui sont des références ? En Analyse ? Géométrie ? Topologie ? Mesure ? Algèbre ?

Je viens de t’en proposer deux.

As-tu une référence qui fait consensus chez les mathématiciens ?

Un modèle proposé par Calli et par Foys, je crois que ça me suffit, pas toi ?

Dans ce modèle, dont tu parles, il faudra quand même songer à retoucher un peu pour pouvoir faire des maths de 4ème et écrire des $\sqrt{25m^2}=5m$. Avec une ou deux rustines posées sur les produits tensoriels ça doit être faisable (ou pas, il faudrait retrouver le créateur de cette esquisse de modèle).

Le code source du programme units est disponible, tu peux le lire si tu le souhaite. Je pense que tu y verras une mis en œuvre des produits tensoriels avec la rustine qui va bien.

Sinon, chez les physiciens je peux trouver des références. Le problème de l'homogénéité c'est un problème de physique (as-tu jeté un œil où le range wikipedia ?) donc finalement c'est logique de ne trouver aucune référence mathématique mais de ne trouver que des ouvrages référents en physique

Ils font ce qu’ils veulent à Wikipedia. Par ailleurs, ce n’est pas parce que les physiciens utilisent majoritairement les unités qu’on devrait, nous, s’abstenir d’y réfléchir.

Les mathématiques ne s'occupent pas de ça car il n'y a aucun intérêt fondamental à s'en occuper sur le plan mathématique.

C’est ton avis.

Ce que le préparateur à l'agrégation a fait c'est d'exercer son sens physique lié à la cohérence des unités pendant un calcul pour voir qu'une formule n'est pas cohérente et je le fais aussi, comme tout le monde. Ce n'est pas pour autant qu'il y a un modèle derrière tout ça, ni que ce modèle est intéressant à définir sur le plan mathématique au point d'être enseigné.

Donc tu utilises en classe un sens physique implicite en mathématiques sans modèle derrière, tout en me reprochant de le faire explicitement en classe ?

La conclusion résume ce que je viens de te dire. Étonnamment ce n'est jamais le prof de math qui écrit tout ça. Y aurait-il une raison selon toi ?

Si, les matheux le font, tu viens d’écrire toi-même que tu le fais, juste au-dessus. ;-)

Personnellement, je n’ai pas rencontré beaucoup d’enseignant en mathématiques capables de définir clairement la totalité de ce qu’ils enseignent (et pour pas mal d’entre eux, la non totalité est assez grosse). Ça ne fait pas d’eux de mauvais enseignants pour autant.

L’ennui, Dom, c’est qu’avec la vision polynomiale des unités, tu en arrives à la contradiction soulevée par troisqua : $3m-3m=0=3g-3g$. C’est quand même gênant.

Les modèles que j’ai cités ne donnent pas de sens à ta question parce que la question ne leur a pas été posée. Libre à toi de reprendre le fil pour le faire.
En revanche, le modèle donné par le programme en donne un. Tu peux lire le code source si tu veux, il est public.
Quant à dire qu’une question de physiciens n’intéresse pas les matheux, je pense que c’est aller un peu vite en besogne.
Quand tu modélises un problème de distances en collège, les unités ont l’avantage de ne pas noyer les élèves sous une abstraction supplémentaire. D’ailleurs, quand on n’écrit pas d’unité, les élèves demandent souvent où elle est partie.

"Quant à dire qu’une question de physiciens n’intéresse pas les matheux,"

Si cette question avait intéressé la communauté mathématique, tu aurais pu trouver des ouvrages de math à me donner à lire, elle ne serait pas traitée qu'à moitié au fin fond d'un forum, elle serait probablement enseignée dans un cours de maths, et pas uniquement dans les cours de physique.

Tu n'as aucun ouvrage à donner, ni aucun cours de maths, pour les raisons que j'ai déjà expliquées.

Sinon, quand tu expliques Pythagore à des élèves, tu donnes le code source d'un programme ? Si tu expliques à des étudiants l'équation de la corde vibrante tu fournis le code source d'un accordeur de guitare ?

Si un inspecteur te demande d'expliquer un peu ce que tu fais écrire aux élèves, tu le renvoies au code source de "units" ?

@Dom,

Apparemment, il existe un modèle où c'est faux.
nicolas va t'expliquer que ça marche pas, dans un certain modèle fait par un internaute, grâce à un programme. Il faudra que tu croies sur parole le fameux programme "units" ou que tu lises le code source et que tu en déduises les règles valides dans le modèle.

Il existe aussi sûrement un modèle où c'est vrai, il suffit de le construire. Les maths c'est génial.

Par contre, toujours pas compris l'intérêt d'écrire tout ça.

Un mètre est parfaitement définissable en mathématiques, il est une abstraction du mètre étalon.
L’analyse dimensionnelle est une abstraction, il n’existe pas de mètre concret égal à n’importe quel autre mètre concret dans la réalité. Un mètre est une abstraction et à ce titre, c’est aussi le boulot des matheux (et des philosophes) d’y mettre le nez. Après, ils ne le font pas en très grande majorité, probablement parce que ça ne les intéresse pas des masses. Oups.
Et si tu es inspecteur, je suis mal. ;-)

C’est une unité de longueur choisie arbitrairement.
Sur une figure, tu choisis arbitrairement que telle longueur vaut 1 mètre.

C’est exactement comme quand tu écris un « UA » sur une figure pour représenter une unité d’aire.
Évidemment que non, ce n’est pas un mètre étalon réel. C’est une abstraction. J’ai l’impression que troisqua m’a mal compris (ou alors je me suis mal exprimé). C’est comme sur une échelle sur une carte des Terres du Milieu.

nicolas.patrois a écrit:

C’est une abstraction. J’ai l’impression que troisqua m’a mal compris

Pourtant, ça m'étonne, j'ai un bon prof. Il m'explique tout avec le programme Units (écrit par ?) et un modèle qui ne permet certes pas encore de faire du Pythagore de 4ème mais qui invite à lire le code source pour se débrouiller. Le truc c'est que je suis débutant, j'ai besoin d'être un peu guidé, je suis peu autonome Une pédagogie moderne, un peu déstabilisante mais amusante en fait Un jour, il donnera la solution du problème de toute façon.

Je ne suis pas méchant, je suis simplement tenace :-D

Oui Dom ça tu peux parfaitement le dire, il n'y a aucun problème. Ce qui est plus gênant c'est d'aller écrire des unités en plein dans tes calculs. On les écrit seulement à la fin pour interpréter physiquement le résultat dans le monde "réel". Ça évite d'écrire un peu n'importe quoi et d'avoir toutes les peines du monde à le justifier (ce qui est compréhensible pour le coup).

Regarde les corrigés du brevet disponible sur le site de l'APMEP, tu verras comment ils rédigent.

Je ne suis pas d’accord troisqua.

Je suis par contre d’accord pour dire qu’écrire des calculs avec unités, ça sort des maths.
Et alors ?

Comme Nicolas, je ne vois pas le problème pour écrire des choses comme ça dans le secondaire même dans la matière « mathématiques ».

nicolas.patrois a écrit:

Peut-être justement parce qu’il est résolu en un message sur un forum

Bah non justement, tu peux même pas faire des maths de 4ème avec ce modèle donc non.
Ça doit faire à peu près 15 messages que tu ne veux pas l'entendre.
Dans le modèle de Calli, l'unité est un vecteur d'un espace et rien n'est prévu pour passer d'un espace à un autre par une racine carrée (sinon bonjour le bricolage). Et s'il le fait, il faudra le faire pour les mètres mais l'interdire pour les grammes, les Tesla etc. Ce qu'a fait Calli est un amusement pour faire par exemple des mètres $\times$ des secondes avec du produit tensoriel tout en conservant une trace de l'unité en multipliant juste les coordonnées. Il a aussi modélisé la division (par le morphisme réciproque de morphisme de multiplication). Il a aussi considéré $\R$ comme espace à part entière pour modéliser ce qui est sans unité.

C'est donc quelque chose qui ne permet pas de gérer des situations aussi simples que $\sqrt{25m^2}=5m$ que vous voudriez pouvoir écrire avec vos élèves. On va pas le répéter 100 fois.

En fait si le problème n'est pas résolu c'est juste parce qu'il n'y a pas de question !

La "question" que tu voudrais régler c'est modéliser l'unité du réel ! Comme s'il fallait modéliser la vache pour compter les vaches ! Comme c'est un non-problème il est automatiquement non-résolu ! (ou résolu comme tu veux)

Quand tu écris 1 + 15 dans ton message précédent, l'élève a juste raté sa phase de modélisation (la partie "physique" du problème). S'il écrit ensuite 1 + 15 = 17 il rate la deuxième phase (les maths). Et s'il pond 17 $m^3$ en sortie de modèle il a raté sa phase 3 qui est encore de la physique. Qu'est-ce qui est compliqué à comprendre ?

Donc oui Dom, tu peux écrire des unités avec des élèves en leur disant que cette partie n'est pas des mathématiques mais de la physique. Une fois le calcul à effectuer bien modélisé avec les bonnes unités, pourquoi continuer à écrire des unités dans les calculs mathématiques en trimbalant des notations non définies mathématiquement ? L'agriculteur traîne t-il le mot vache chaque fois qu'il les compte ? Non, car il modélise une fois, puis fait des maths, puis se souvient qu'il compte des vaches.

Mais si vous tenez absolument à modéliser toutes les unités, n'oubliez pas de gérer les racines carrées (bon courage avec la définition de Calli) et n'oubliez pas aussi que parfois il existe des fonctions de conversion d'une unité à une autre (dans la vie, une vache peut valoir 1000 bonbons) et que le fameux "modèle" va devoir intégrer tout ça pour toutes les situations possibles et imaginables....

Ce "tout ça" n'est pas des maths mais de la métamathématique qui n'a pas beaucoup d'intérêt. Pas étonnant donc que ça n'ait intéressé personne jusqu'à aujourd'hui à part au cours de l'élaboration d'une petite tentative en 10mn (car ça ne va pas au bout) dans un forum et que ça fasse pschitt.

L'intérêt de la question initiale du fil c'est qu'on voit la difficulté chez certains à identifier ce qui ressort de l'activité de modélisation, cette fameuse phase avant la production mathématique. C'est assez flagrant et ce qui est étonnant c'est l'entêtement à ne pas vouloir dissocier ces deux aspects de la résolution de problème. Pourtant chez les élèves, quand on fait de la résolution de problème, il est très important de bien identifier quelle phase pose des difficultés à l'élève pour ensuite pouvoir plus facilement l'aider.

Maintenant si vous avez décidé de créer un modèle perso, des notations perso, de mélanger unités physiques et objets mathématiques bien définis bah ce n'est pas un drame non plus mais juste tant pis pour la clarté. Au moins dites aux élèves que vous avez mis une casquette de bricoleur / physicien c'est le minimum pour éclaircir ce que vous faites avec eux.

Tu fais pas des maths avec des tables, non.

Tu abstrais le mot table et tu n'écris plus que des objets définis avec ZFC. Ensuite tu te souviens que tu voulais parler de tables. Ouf, tu peux alors énoncer un résultat exprimé en unité "tables" et tu es sauvé.

Quand l'enfant en CM2 résout un problème de bonbon, l'opération qu'il pose ne contient pas le mot bonbon. L'enfant a abstrait le mot bonbon pour faire ses maths.

L'intérêt c'est que ça évite de définir le mot table ou le mot bonbon via les axiomes de ZFC ce qui est peut-être réalisable mais parfaitement superflu sur le plan qui nous intéresse ici à savoir les mathématiques. L'homogénéité des formules est alors une confrontation du résultat au réel : c'est de la modélisation qu'on peut apprendre par exemple en physique car c'est fréquent en physique.

Tu aimes faire durer les explications parce que tu ne comprends pas ce que je dis ou par plaisir d'écrire ? Moi ça me va, mais j'ai l'impression que tu t'entêtes à ne pas vouloir regarder l'endroit précis de la conversation pour qu'elle dure longtemps. Qu'est-ce qui n'est pas clair dans ce que je te dis ?

Les gens montent sur leur grands chevaux mais l'analyse dimensionnelle c'est juste du typage (qui intéresse les physiciens plutôt que les matheux).

@Foys http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1475088,2036798#msg-2036798

Le typage n'intéresse pas les matheux ? Les ensembles de définitions de fonctions c'est quoi à ton avis ? Ce n'est pas du typage ?
Beaucoup de langages formels en informatique sont typés, leurs sémantiques dénotationnelles font intervenir la théorie des types. C'est pas des maths tout ça ?

[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Je crois que je ne comprends pas.
Les mètres et les vaches ne sont pas dans les maths.
Je suis d’accord avec ça.

Par contre, mes ensembles $\R[m]$ ou $\R(m)$ sont des ensembles de maths qui représentent assez bien ce que je fais avec mon copain physicien. Certes, ces ensembles ne sont pas connus à l’école et au collège.
Et ils sont « trop gros » pour ce que l’on en fait. Comme je l’ai dit plus haut, je ne me sers que de monômes.
Et idem pour des ensembles plus gros avec les unités usuelles $\R(m,L,h,g)$ ou avec plus d’indéterminées.
Les symboles préfixes peuvent aussi rentrer de sorte que je puisse intégrer cm, dm, km etc.

J’utilise bien un objet mathématique pour me représenter un objet physique.
Cette phrase bleue est-elle fausse ou vraie ?
Je ne trolle pas, je souhaite comprendre.

Et avec ça, je peux bien définir $\sqrt{P}$ pour certains éléments de $\R[m]$, non ?
Et même je suis bien plus restrictif que ça : je n’ai besoins juste que de une racine carrée d’un monôme qui est un monôme.
Est-ce vrai aussi ou pas vrai non plus ?

Je ne sais pas vraiment ce qu’est un « type » ou du « typage ».
C’est cela peut-être qui me masque la vue.

[small]C’est chiant, quand je prononce $\R[m]$ j’entends presque le parti présidentielle...[/small]

Typiquement, soit $d$ une fonction de domaine $\N$ et $f$ l'application qui à $x\in \N$ fait correspondre $0$ si $d_x \in d_x$ et $1$ dans le cas contraire.
Quel est l'ensemble de définition de $\frac{1}{f}$? il n'appartient pas à la famille $d$ et en particulier si $A$ est un alphabet et $\phi:A^*\to \N$ une bijection de tous les mots finis de $A$ à valeurs dans $\N$ (une "numérotatio de Gödel"), alors en considérant que $d_{\phi(\alpha)}$ est "l'ensemble défini par le mot $\alpha$", on voit qu'il n'est pas possible d'expliciter l'ensemble de définition de la fonction en question avec des mots de $A$.

Si on ne précise rien, alors par convention entre les matheux : $\sqrt{vache^2}=e\sqrt{vach}$. :-D :-P

@vorobichek ; meuuuuh non !

@Dom : dans $\R[m]$, c'est à dire dans l'anneau des polynômes formels à coefficients réels, il n'existe pas de $u$ tel que $u^2=m$ (comparer la parité des degrés des deux membres)

Peut être veux-tu parler de cette autre notation et dire que $m$ est dans un sur-corps $K$ de $\R$ (comme $i$ est dans $\C$) et que $m$ possède une racine carrée dans $K$ (comme $i$ en possède deux dans $\C$), que tu en choisis une , et qu'alors $\R[m]$ désigne la plus petite sous $\R$ algèbre de $K$ contenant $m$ ? Mais alors pourquoi $\R[m]$ contiendrait-elle $\sqrt{m}$ alors ?

Juste une question, admettons que tu te fixes $u$ une racine carrée de $-1$ dans $\C$. Que vaudrait alors $\sqrt{u}$ ? Faut faire un nouveau choix là non ?

Et de toutes façons, quoique tu choisisses pour ton $\R[m]$ tu auras toujours le problème de pouvoir mélanger des torchons $m$ avec des serviettes $m^2$. Pas terrible comme modèle pour apprendre à gérer les unités aux élèves.

Les monômes de degré 2 ne forment pas un sous-anneau de $\R[m]$. Aie, on ne peut pas additionner ces bébêtes. Gênant.

Mais au final, si tu autorises $m+m^2$, pourquoi tu ne poses pas tout simplement $m=1$ ? Tout marche très bien alors sans aller chercher je ne sais quel modèle.