suites récurrentes
Bonjour,
voici un exo de TS :
soit un+1=sqrt(3un)) avec u0 de [1 ; 3]. On montre dans un exo que tous les termes de la suite sont dans [1 ; 3] ; que la suite u est croissante. Donc elle est convergente.
Jusque là, ça va....c'est pour déterminer cette limite que j'ai une question.
Le corrigé affirme : on peut affirmer que la limite est inférieure à 3. On peut conjecturer (graphiquement) que la limite est 3.
Ma question : pourquoi ne pas passer à la limite dans l'expression un+1=sqrt(3un)) et avoir L² - 3 L = 0 et donc avoir L = 0 ou L = 3. Comme u est croissante, on peut dire que la limite est 3.
Y a-t-il une erreur de raisonnement et si oui, où ?
Merci !
voici un exo de TS :
soit un+1=sqrt(3un)) avec u0 de [1 ; 3]. On montre dans un exo que tous les termes de la suite sont dans [1 ; 3] ; que la suite u est croissante. Donc elle est convergente.
Jusque là, ça va....c'est pour déterminer cette limite que j'ai une question.
Le corrigé affirme : on peut affirmer que la limite est inférieure à 3. On peut conjecturer (graphiquement) que la limite est 3.
Ma question : pourquoi ne pas passer à la limite dans l'expression un+1=sqrt(3un)) et avoir L² - 3 L = 0 et donc avoir L = 0 ou L = 3. Comme u est croissante, on peut dire que la limite est 3.
Y a-t-il une erreur de raisonnement et si oui, où ?
Merci !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
(je me méfie des pièges qu'il peut y avoir sur ce genre de suites ! mauvais souvenirs de fac ! ^^)
* $\lim u_{n+1} = \ell$ (assez simple à montrer à partir de la déf de limite de suite)
* si $f$ est continue (sur un intervalle fermé contenant l'ensemble des valeurs de la suite $u$) alors $\lim f(u_n) = f(\ell)$
* l'unicité de la limite qui te permet alors de dire $\lim u_{n+1} = \lim f(u_n)$, c'est à dire d'après les points précédents: $\ell = f(\ell)$.
Ici ton $f$ est bien continu sur $\R^+\supset [1; 3]$, pas de soucis.
Bien cordialement,
Plus généralement, si $u$ est définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1}=f(u_n)$, les deux méthodes que l'on utilise le plus couramment pour montrer la monotonie sont l'étude des variations de $f$ suivies d'une récurrence ou l'étude du signe de $x\mapsto f(x)-x$ (ou, ce qui revient au même, celui de $u_{n+1}-u_n$). Dans les deux cas, il faut au préalable avoir trouvé une partie stable par $f$ suffisamment intéressante... mais en Term, c'est donné dans l'énoncé !
est équivalent à l'axiome de récurrence.
Il ne faut pas écrire $$ {\rm si}\; \left(\forall n\in\mathbb N \right)\left(u_n \le u_{n+1}\right)\;\; {\rm alors}\;\; u\; est\; croissante$$ mais au contraire
$$ {\rm si}\; \left(\forall n\in\mathbb N _{stand} \right)\left(u_n \le u_{n+1}\right)\;\; {\rm alors}\;\; u\; est\; croissante$$
En effet, le fait que $\mathbb N$ vérifie $PA$ ne prouve pas que $\mathbb N$ soit bien ordonné. Il pourrait tout aussi bien avoir le type d'ordre de $\mathbb N _{stand}+\mathbb Z_{stand}\times \mathbb Q_{stand}$. Une fois ceci précisé, on comprend mieux pourquoi enseigner les suites en Terminale Scientifique n'est pas si aisé. Quant aux modèles de $\mathbb N$ qui ne sont pas dénombrables, il vaut sans doute mieux les laisser pour l'année de L1, qui serait bien vide sinon.
Cordialement, Pierre.
... ou pas ! :-D
Comme aurait dit Coluche, les math.net, c'est les mecs que, quand tu leur poses une question, une fois qu'ils ont fini de répondre, tu comprends plus la question que t'as posée.
Et par conséquent, on en revient à la vraie vie:
$$ {\rm si}\; \left(\forall n\in\mathbb N \right)\left(u_n \le u_{n+1}\right)\;\; {\rm alors}\;\; u\; est\; croissante$$
Cordialement, Pierre.