A propos de la preuve en mathématiques

Bonjour,

Je ne sais pas si mon post a sa place ici.
Je me place en lycée :

On définit une suite arithmétique de la façon suivante :
$u_n$ est arithmétique ssi pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n+r$ où $r$ est un nombre réel indépendant de n.

Ensuite on peut donner aux élèves une formule explicite, par exemple $u_n=3n-1$ et on leur demande de montrer que cette suite est arithmétique.
On attend donc d'eux qu'ils se ramènent à la définition, en évaluant la différence $u_{n+1}-u_{n}$ et en montrant qu'elle est indépendante de n.
Le problème est que certains élèves ne calculent que quelques termes, voient que la différence est constante sur ces quelques termes et concluent que la suite est arithmétique.

L'idée pour ces élèves est que si ça marche sur les quelques termes qu'ils calculent ça marche tout le temps.

Je peux leur donner un exemple construit à la main "2 3 4 5 9 -2 -7 56 9.2 ..."
Sauf que je ne vais pas continuer indéfiniment à écrire des termes.
Je peux alors partir sur des formules explicites $u_n=3n-1$ pour $n$ plus petit que 5 et $u_n=n^2$ pour n plus grand que 6. Mais la j'ai deux formules.

Autrement dit, peut-on donner une suite définie par une seule formule qui soit arithmétique uniquement sur quelques termes ?

Personnellement je ne vois pas.

Je comprends bien que ce qu'il faut que j'explique, c'est que travailler sur quelques termes "en particulier" ne "montre" rien sur le comportement global de la suite; mais je comprends aussi l'élève dubitatif qui ne voit pas l'utilité de passer à la "lettre" ($u_{n+1}-u_n$).

Qu'en pensez-vous ?