Créer des exercices de colle ?

Pour créer des exercices de colle en MPSI, je regarde ce qui passe dans le Monthly, dans le Mathematics Magazine, dans le College Mathematics Journal, je fouille sur Jstor, je regarde des anciens articles de ces revues ou d'autres (Mathematical Gazette par exemple). Ça prend beaucoup de temps. Donc, le plus souvent, je pioche dans des bouquins (je t'évite la liste, il y en a des dizaines, beaucoup en anglais).

Pour les bouquins en français, j'utilise très peu ceux que tu cites ...

Pour les bouquins en anglais, ça dépend du sujet de la semaine, généralement je prends des bouquins collant sujet, parfois des bouquins visant plus large. Un petit échantillon :
Andreescu et Gelca, Putnam and Beyond
Andreescu et Andrica, Complex Numbers from A to ... Z
Larson, Problem-Solving Through Problems
Rajwade et Bhandari, Surprises and Counterexamples in Real Function Theory
de Souza et Silva, Berkeley Problems in Mathematics
Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class
Zhang, Linear Algebra: Challenging Problems for Students

Dans les plus récents mais où je vais aller regarder peut-être plus souvent cette année :
Mercer, More Calculus of a Single Variable
Loya, Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis

Héhéhé a écrit:

Le but des exercices n'est pas de flatter son égo de matheux mais d'aider les élèves à progresser (et à préparer les concours, mais c'est plus une problématique de spé et tu vas coller en sup).

+10

Aucune raison de faire dans l'originalité, les étudiant partent de zéro, il faut déjà qu'ils apprennent les classiques avant de voir des exos avec des méthodes tordues qu'ils ne réutiliseront jamais.

On va dire que je ne peux être que de parti pris pour ce qui est de donner une référence en français à un livre visant les colles en MPSI ...

guiguiche a écrit:

Oui, oui, on peut acheter le très bon recueil d'exercices de colles en MPSI par Eric Kouris édité par Calvage et Mounet.

Un conseil pour ceux qui voudraient l'acheter, attendre la fin du mois (j'ai cru comprendre qu'il sera en promo). Ou attendre la prochaine édition, mais elle ne sortira pas avant 2018.

Créer un exercice n'est pas si évident que cela. Par exemple, l'exercice 4.10 dans le Tout-en-un de Dunod MPSI (Deschamps, Moulin, Warusfel). On demande à l'élève de montrer que pour tout $x\geq0$, il existe $y\in[0,\pi/2]$ tel que $\cosh x=1/\cos y$, puis que $\sinh x=\tan y$ et $\tanh(x/2)=\tan(y/2)$.
L'auteur a-t-il volontairement laissé de côté une partie de ce que l'on peut dire sur ce $y$ en fonction de $x$ et sur certaines valeurs bien particulières que l'on peut obtenir ? Ou bien est-il passé à côté d'un exercice plus profond sans s'en rendre compte ?

On pourrait par exemple donner l'exercice suivant.

a) Montrer qu'il existe une unique fonction $f\colon\mathopen{]}-\tfrac{\pi}{2}\,,\tfrac{\pi}{2}\mathclose{[}\longrightarrow\mathbb{R}$ telle que
\begin{equation*}
\tan x=\sinh f(x).
\end{equation*}
b) Étudier la fonction $f$.

c) Montrer que l'on a
\begin{equation*}
\frac{1}{\cos x}=\cosh f(x)\quad\text{et}\quad\sin x=\tanh f(x)
\end{equation*}
pour tout $x\in\mathopen{]}-\tfrac{\pi}{2}\,,\tfrac{\pi}{2}\mathclose{[}$.

d)
i) Montrer qu'il existe un unique $x_{1}\in\mathopen{]}0\,,\tfrac{\pi}{4}\mathclose{[}$ et un unique $x_{2}\in\mathopen{]}\tfrac{\pi}{4}\,,\tfrac{\pi}{2}\mathclose{[}$ tels que
\begin{equation*}
\cos x_{1}=\tan x_{1}\qquad\text{et}\qquad\sin x_{2}=\frac{1}{\tan x_{2}}.
\end{equation*}

ii) Montrer que $\cos x_{1}=\sin x_{2}$. Préciser la valeur de $\frac{1}{\cos x_{1}}$ en fonction de $\phi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

e)
i) Montrer qu'il existe un unique couple $(x'_{1},x'_{2})\in\mathopen{(}\mathbb{R}_{+}^{*}\mathclose{)}^{2}$ tel que
\begin{equation*}
\frac{1}{\cosh x'_{1}}=\sinh x'_{1}\qquad\text{et}\qquad\sinh x'_{2}=\frac{1}{\tanh x'_{2}}.
\end{equation*}
Préciser les valeurs de $x'_{1}$ et $x'_{2}$.

ii) Montrer que $\cosh x'_{1}=\sinh x'_{2}$ et donner la valeur de $\cosh x'_{1}$.

Et pour finir, tracer les courbes représentatives de toutes les fonctions trigo et visualiser les valeurs particulières.