Règle des signes

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

Pour essayer de justifier la règle des signes à des lycéens, que pensez-vous de ce qui suit :

$3\times (-2)=(-2)+(-2)+(-2)=-6$

$(-3)\times (-2)=-(3\times (-2))=-(-6)=6$

La deuxième égalité peut s'expliquer par

$a\times b+(-a)\times b=(a+(-a))\times b=0\times b=0$

ce qui prouve que $(-a)\times b=-(a\times b)$.

Merci par avance pour vos commentaires.

Réponses

  • waterprof
    waterprof
    sans animosité aucune, je me vois mal faire ce genre de démo à des élèves de seconde. Je suis même surpris d'une telle rigueur (et tes élèves comprennent le sens de cette démo? J'avoue que les miens, ça leur passerait au dessus de la tête et de très haut). La règle des signes c'est quelque chose qui passe bien et que je ne démontre pas. ( d'ailleurs combien fait on de démo en seconde?). Le problème c'est surtout qu'ils comprennent dans quelles circonstances il faut s'en servir, et ça c'est une autre histoire.
    Sinon, bien que ça fasse très longtemps que je n'ai pas utilisé les bourbaki, je ne sais pas si cette règle peut vraiment se démontrer mais si ça ne vient pas plutôt d'une définition (associativité de la multiplication? ... que c'est loin tout ça)

    ps: je n'ai peut être pas répondu à ta question. Je suppose que c'est un élève qui te demande une justification? Si c'est le cas, tu as une exception devant toi
  • Chalk
    Chalk
    Oui oui ça se démontre :-D Et d'ailleurs l'associativité de la multiplication se démontre aussi ;-)
  • Dom
    Dom
    Ce sont les bons arguments.

    Le truc le plus important est en fait ce que signifie le "-" devant un nombre.
    Cela passe au dessus des élèves. Même s'ils connaissent et ne sont pas embêtés du tout par les nombres relatifs.
    « On note "-a" le nombre qui, ajouté à "a", donne 0. »
    C'est cette définition que tu utilises dans "on peut expliquer".
    Même au collège, on écrit ce genre de phrases pour définir l'inverse d'un nombre (le nombre qui multiplié par...donne 1), mais pas pour l'opposé, allez savoir pourquoi.

    Il reste aussi à démontrer que la distributivité est encore valable.

    En connaissant $\mathbb N$ et ses propriétés liées à $+$, et $\times$, et en construisant $\mathbb Z$ on doit pouvoir démontrer que les propriétés se prolongent.
  • Ramon Mercader
    Ramon Mercader
    waterproof a écrit:
    je ne sais pas si cette règle peut vraiment se démontrer

    Tu trouveras quelques explications élémentaires sur cette page: https://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_entiers_relatifs
    Liberté, égalité, choucroute.
  • remark
    remark
    .
  • remark
    remark
    .
  • samok
    samok
    Comme indiqué ci-avant, remark, dire que cela résulte d' une propriété des anneaux n'est pas une preuve, car tu n'as pas prouvé que $\mathbb{Z}$ en est un, pour ce faire faudrait le définir puis voir ce qui est admis pour assurer son existence mathématique. Non ?

    Question indiscrète : t'es professeur dans le secondaire ?

    S
  • remark
    remark
    .
  • Dom
    Dom
    Éteignons, alors ;-) (coquille, @remark).
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Si on veut une preuve sans exemple du style $3\times (-2)=(-2)+(-2)+(-2)=-6$ on peut faire :

    $a\times (-b)=-(a\times b)$ donc $3\times (-2)=-(3\times 2)=-6$ puis

    $(-a)\times (-b)=-(a\times (-b))=-(-(a\times b))=a\times b$ donc $(-3)\times (-2)=-(3\times (-2))=-(-(3\times 2))=-(-6)=6$

    Et tout repose sur la distributivité et le fait que pour tout $x$, $0x=0$.

    Comment montre-t-on la distributivité sur $\mathbb{Z}$ ?

    PS : ce n'est pas pour des élèves de seconde et pour l'instant aucun élève ne m'a posé une telle question mais je prends les devants. J'introduis les nombres complexes en parlant de l'équation de degré 3 et du fait que certains mathématiciens se sont permis d'écrire $\sqrt{-1}$ au cours de leurs calculs. Et pour comprendre que $\sqrt{-1}$ n'avait aucun sens, il faut comprendre qu'un carré ne peut pas être négatif, ce qui vient de la règle des signes.
  • michael
    michael
    Salut bulledesavon,

    En quatrième, pour faire démontrer aux élèves cette propriété du produit de deux nombres relatifs, je commence par leur faire démontrer que le produit d'un nombre par $(-1)$ est égal à son opposé (à l'aide de la simple distributivité, "démontrée" sur des exemples au préalable).
    Une fois qu'on a ça : soient deux nombres positifs $a$ et $b$.
    $a \times (-b) = a \times (-1) \times b = (-1) \times a \times b = (-1) \times (ab) = -(ab)$
    $(-a) \times (-b) = (-1) \times a \times (-1) \times b = (-1) \times (-1) \times a \times b = 1 \times (ab) = ab$.
    Dom a écrit:
    [...]Le truc le plus important est en fait ce que signifie le "-" devant un nombre.
    Cela passe au dessus des élèves. Même s'ils connaissent et ne sont pas embêtés du tout par les nombres relatifs.
    « On note "-a" le nombre qui, ajouté à "a", donne 0. »
    C'est cette définition que tu utilises dans "on peut expliquer".
    Même au collège, on écrit ce genre de phrases pour définir l'inverse d'un nombre (le nombre qui multiplié par...donne 1), mais pas pour l'opposé, allez savoir pourquoi. [...]

    Pour ma part, je donne bien cette phrase ou une similaire (deux nombres sont opposés lorsque leur somme est nulle) pour définir les opposés. Et en propriété : deux nombres sont opposés s'ils ont des signes différents et des distances à zéro égales.
    Je pense que je fais ainsi justement parce que j'ai d'abord enseigné en 4ème la notion d'inverse avant d'enseigner la notion d'opposé en 5ème (et même plusieurs années avant), ça m'a donc probablement paru plus naturel.
    Concernant le $-a$, je leur apprends à le lire "l'opposé de $a$". Ça passe plutôt pas mal, je pense.

    m.
  • christophe c
    christophe c
    ça leur passerait au dessus de la tête et de très haut

    En fait non, pas du tout. Malentendu. Que ça ne les passionne pas de chercher des preuves et qu'ils se fichent de la présente ne devrait pas se dire comme ça car ça donne l'impression que certains êtres humains ne sont pas capables de voir qu'une preuve est une preuve (ce qui par définition de ce qu'est une preuve n'est pas possible)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    En effet @michael, ma phrase est mal dite.
    J'ai vu quelques profs définir l'opposé comme cela.
    Disons, rarement mais sûrement. ;-)
  • samok
    samok
    La pièce jointe est une activité que j'ai faite avec mes petites mains quand j'ai appris que Stendhal n'arrivait pas à donner du sens à "moins par moins donne plus", et que moi non plus ...

    Je ne l'ai jamais donnée en classe. Je l'ai juste faite lire à un collègue, qui m'a dit "Noooon, ne fais pas ça !!!!!!"

    S
  • Conique
    Conique
    Il y a ce sujet à parcourir :

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1062847,1062847

    @samok : je ne sais pas quel est le niveau de vos élèves, mais l'objectif pédagogique de votre papier est relativement abscons.
  • samok
    samok
    Bonsoir conique,

    je ne sais pas si vous savez lire (en tout cas vous savez écrire) mais mon message était clair.


    S
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Michael,

    Oui effectivement on a besoin de la distributivité pour montrer que $-a=(-1)a$. Ce qui me gêne c'est que la distributivité est dans la définition d'un corps, donc je me demande si on peut la "démontrer". Sur wikipédia, la distributivité est illustré géométriquement : distributivite
    On a un rectangle de côtés c et a+b. Ce rectangle est coupé en deux rectangles de côtés c et a d'une part, c et b d'autre part. Et l'on utilise le fait que la somme du grand rectangle est égale à la somme des deux petits rectangles, ce qui donne c(a+b)=ca+cb. Comme ce sont des longueurs, on a la distributivité pour tous nombres réels positifs.

    Tu passes de $(-1)\times (-1)\times a\times b$ à $1\times (ab)$ donc pour moi tu utilises le fait que $(-1)\times (-1)=1$ et donc tu utilises la règle des signes. Donc tu utilises la règle des signes pour prouver la règle des signes. Mais j'ai peut être mal compris ce que tu faisais.
  • Dom
    Dom
    On utilise donc les aires pour démontrer la distributivité.
    C'est une méthode. C'est même celle qui convainc le mieux dans le secondaire.
    Par contre, d'un point de vue rigoriste, les aires (définies par celles des rectangles, en multipliant des longueurs) c'est un peu plus compliqué que la distributivité.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Oui mais l'interprétation par les aires ne montre la distributivité que pour les nombres réels positifs puisque l'on a affaire à des longueurs. Il reste à montrer la distributivité avec des nombres négatifs.
  • michael
    michael
    bulledesavon a écrit:
    [...]Tu passes de $(-1)\times (-1)\times a\times b$ à $1\times (ab)$ donc pour moi tu utilises le fait que $(-1)\times (-1)=1$ et donc tu utilises la règle des signes. Donc tu utilises la règle des signes pour prouver la règle des signes. Mais j'ai peut être mal compris ce que tu faisais.[...]

    Salut,

    non, je n'utilise pas la propriété du signe d'un produit (je me refuse à parler de "règle" en mathématiques - en tout cas à mes élèves - car une règle, au sens courant, ça se décide et ça se change) pour écrire $(-1)\times (-1)=1$.
    J'utilise la propriété démontrée préalablement, à savoir que le produit d'un nombre par $(-1)$ est égal à l'opposé de ce nombre (qui est un cas particulier de ce que tu appelles "règle des signe" mais ce cas particulier est démontré).
    Je résume ce que je fais faire aux élèves en classe :
    1. Prouver que le produit d'un nombre par $-1$ est égal à l'opposé de ce nombre. L'idée, pour cela est la suivante : calculer de deux façons différentes le produit $a \times (1 + (-1))$ où $a$ désigne un nombre quelconque.
    2. Utiliser cette propriété pour montrer que pour tous nombres $a$ et $b$ positifs : $(-a) \times b = - (a \times b)$ et $(-a) \times (-b) = a \times b$.

    michaël (avec un "h").

    P. S. pour Dom : j'avais bien compris ce que tu voulais dire et je suis d'accord avec toi sur la rareté du truc.
  • Dom
    Dom
    La distributivité :
    Pour les nombres négatifs, on peut déjà faire la preuve avec un grand rectangle, privé d'un rectangle, ce qui donne un plus petit rectangle. On obtient la distributivité pour des nombres positifs et la différence (à la place de la somme).
    On repousse un peu le problème...
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