Faire comprendre l'évaluation d'une fonction

Cyrano · September 2017

Bonjour,

En donnant cours particulier tout à l'heure, je me suis rendu compte qu'un des problèmes majeurs, si pas LE problème majeur, que rencontrent les élèves qui ont des difficultés en mathématiques était l'évaluation d'une fonction en un point.

On donnait la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2+1$ et j'ai demandé à l'élève de calculer $f(2)$, j'ai eu droit à $x^2+2$ comme réponse. Une autre fois j'avais demandé (à un autre élève) d'écrire $f(g(x))$ et il avait écrit $g(x^2+1)$ au lieu de $g(x)^2+1.$ Et encore, là les exemples sont assez "sophistiqués" mais j'ai vu des erreurs bien plus hallucinantes que celles-là. Pour certains élèves j'ai l'impression que l'intégralité de leurs soucis avec les maths formelles est ce jeu d'écriture où on peut remplacer une variable par une autre expression, autrement dit ils ne savent pas appliquer le principe de substitution.

Et franchement cette difficulté semble parfois insurmontable. Pour aider cet élève, j'ai procédé comme ceci.
Je lui ai dit "Si je te demande de calculer f(machin), à chaque fois que tu vois "x", tu remplaces "x" par machin".
Je lui fais l'exemple avec $f(2), f(3), f(a).$ Voyant son incompréhension toujours aussi grande, j'ai même écrit $$f(éléphant) = éléphant^2+1.$$ Rien à faire, l'élève était toujours incapable de faire la moindre substitution.

Honnêtement, difficile de ne pas être désemparé face à une tel problème. On finit par se dire que les élèves sont justes "débiles" pour ne pas comprendre un truc pareil sauf que ce n'est VRAIMENT pas le cas. J'en connais plein qui ont ce problème et ils ont clairement toutes leurs neurones à la bonne place. Aussi j'en appelle à vos expériences de professeur. Pensez-vous connaître les raisons profondes de ce "blocage intellectuel" ? Et quelles sont vos solutions pour débloquer vos élèves ?

J'ajouterai que je suis conscient que ce genre d'exercice peut parfois être nocif car l'élève finit par se dire qu'une fonction, c'est obligatoire un truc du type $f(x) = formule gentille avec du x à l'intérieur$ mais bon ça me semble quand même essentiel qu'ils puissent faire des substitutions de ce genre.

Chalk · September 2017

Je ne sais pas comment t'aider mais je compatis avec ces élèves. Une réponse m'intéresse, car moi aussi je suis persuadé que ce n'est pas un problème d'intelligence (tout le monde peut comprendre la substitution, il n'y a rien de subtile). Le blocage doit être ailleurs.

Dom · September 2017

Il faut déjà balayer le problème qui peut être lié à ces parenthèses.
L'élève a rencontré plusieurs sortes de parenthèses :
- les priorités
- les séparateurs de signes
- les notations fonctionnelles

J'ai déjà vu des lycéens s'émouvoir lors de la découverte que $f(x)$ n'est pas la même chose que $f\times x$.
Bon, ce n'est pas ce qui doit exister le plus, mais ça existe, vraiment.
Je le répète : balayer ce premier problème.
Puis ajouter des explications sur cette notation fonctionnelle.

Cyrano · September 2017

@Dom : J'ai déjà essayé de totalement supprimer la version fonctionnelle pour ne donner qu'un ordre "simple" en français.
Autrement dit donner $x^2+1$ et dire à l'élève "maintenant chaque fois que tu vois $x$, tu remplaces $x$ par $35$". Rien à faire, l'élève n'arrive pas à le faire. Pourtant j'en viens à penser que ce ne sont même plus des mathématiques mais quelque chose d'encore plus fondamental que ça. (Je me suis même demandé si ce n'était pas un problème lié à une mauvaise compréhension de la langue française)

Chalk · September 2017

Et si tu remplaces $x$ par un symbole sans aucune signification pour l'élève, un symbole inconnu pour lui ?

Là ce n'est plus un problème de fonction, c'est un problème d'abstraction avec une inconnue.

samok · September 2017

Bonsoir Cyrano,

peut-être n'est-ce pas le langage naturel la difficulté, mais le langage syntaxique. Si cela se présentait je décomposerais $x^2+1$ en un programme de calculs, genre tu prends un nombre et il lui arrive tout plein d'aventures.

D'ailleurs méfie-toi, substituer brutalement avec $x=-3$ peut aboutir à $-3^2+1$ puis à "petit lutin* j'y comprends rien".

[small]*façon élégante de dire put1[/small]

S

YvesM · September 2017

Bonjour,

J'essaie d'expliquer un blocage.
L'élève pense qu'il faut comprendre/ donner un sens/ savoir ce que le résultat veut dire lorsqu'il effectue la substitution. Le blocage est que f(x)=2x avec x remplacé par machin ne signifie rien car ´2 machin' ne veut rien dire : ce n'est donc pas le résultat attendu. Et l'élève s'en sort en générant une débilité.

La difficulté pédagogique est qu'il te faut expliquer que le résultat n'a pas besoin d'avoir du sens pour être vrai ! Ce qui compte c'est que la transformation suit une règle mathématique valide.

Essaie de leur faire comprendre avec f(x)=2x. On prend un nombre et on calcule son double. Montre-leur qu'il suffit de substituer ce nombre à x pour retrouver le résultat. Puis remplace x par le mot ´quantité' et laisse reposer une semaine. Ils commenceront à comprendre. Puis tu y vas franchement avec f(x,y,t) = ... et tu demandes d'écrire pour x=cheval, y=bleu, ... et tu attends la remarque : mais Monsieur, ça ne veut rien dire ! Et tu recommences du début.

Chalk · September 2017

Bonne remarque de samok sur le danger de la substitution bête et méchante.

Conique · September 2017

Il me semble que tout réside dans deux idées.
D'une part, l'idée qu'une lettre sert à désigner un nombre a priori inconnu (ou indéterminé, ou ce que vous voulez comme mot de la langue française que vous avez mis en place avec votre/vos élève(s)).
D'autre part, l'idée qu'une fonction, sert à associer un nombre a priori inconnu à un autre, écrit, en fonction du premier...

Une fonction d'un nombre réel (car c'est de cela qu'on parle), ça ne sert pas à associer éléphant, éléphant au carré, non, pas du tout. La substitution, ce n'est pas juste "remplacer une lettre par un autre graphème". Car avec cela, et je l'ai déjà vu chez certains élèves, on a : 2x pour x=10, ça fait 210... C'est avant tout comprendre le principe d'association, de relation, bref, de fonction...

En 5ème, on apprend à donner une valeur numérique à une expression littérale. Pour cela, la physique et les exercice "concrets" aident beaucoup... Calculer une masse, une vitesse, et même des grandeurs produits ou quotients, dès l'instant que le problème "parle", ça aide beaucoup.
En 3ème, la notion de fonction est abordée.

Donc mon conseil : si en 2nde, s'il y a des soucis, revoir ces deux chapitres de 5ème et de 3ème.

Poirot · September 2017

C'est tout le problème de l'utilisation de variables muettes. Il y en a qui ont encore des problèmes avec ça en L2...

soleil_vert · September 2017

J'attendais avec une grande impatience l’intervention de @CC pour nous éclairer sur ce réel problème

;-)

Cyrano · September 2017

Merci pour vos réponses.
Le coup du $2x$ qui devient $210$ avec $x$ remplacé par $10$ c'est bizarrement quelque chose que je n'ai jamais expérimenté sur mes élèves. Ce que j'ai déjà vu c'est $2x$ qui devient $10x$ ou même $2x$ qui devient $10$. C'est précisément pour ça que je me suis demandé si la seule difficulté venait du langage mathématique ou si c'était plus profond que ça.

Imaginons par exemple l'exercice suivant :

Soit la phrase "Le chat est dans le jardin, le chat court partout. Ce chat m'énerve." Réécrire la phrase précédente en remplaçant chaque occurrence du mot "chat" par le mot "chien". Exercice numéro 2, réécrire la phrase en remplaçant "chat" par "pistache". (Un peu plus dur car la phrase n'a plus de sens)

Parfois je me demande si, déjà, ce genre d'exercices-là est faisable par ces élèves qui ont des difficultés avec la substitution. (Pourtant ça semble complètement dingue d'imaginer que quelqu'un ne soit pas capable de faire un exercice comme celui-là ... et pourtant je me pose la question.) Je testerai lors du prochain cours particulier et je vous dirai ce qu'il en est ressorti. :-D

Foys · September 2017

Les systèmes éducatifs doivent prendre la décision collective d'enseigner la beta-réduction aux élèves comme si c'étaient des machines.
Tant qu'on en reste au hand-waving flou actuel rien n'est possible.

christophe c · September 2017

<< fonction définie par $f(x) = 3x+2$>> est condamnable et ne marche effectivement pas** et l'élève a raison d'être gêné par les homonymies***

Il y a deux étapes:

1) D'abord, enseigner les quantificateurs et les bases du langage AVANT TOUTE CHOSE

2) corriger l'expression fautive ci-dessus en <<fonction f telle que pour tout (nombre) $x: f(x) = 3.x+2$ >>

Après quoi, (et les fonctions n'ont rien à voir dans cette histoire), c'est déductible de $f(19) = 3.19+2$

*** $9(x+7) = 9x+63$? et $a(x+1)$, c'est quoi? L'image de $x+1$ par $a$ ou $a \times (x+1)$,

** ça fait des années que je signale cette faute sur le forum (dans l'indifférence générale). On ne peut pas demander aux élèves de réussir à commettre des fautes, mais celles qui nous plaisent et pas les autres alors même qu'on a déjà du mal à obtenir qu'ils écrivent correctement.

Cyrano · September 2017

J'ai tapé vite christophe mais évidemment l'énoncé que je leur donne est correct.

De toute façon j'ai expliqué que le problème était en amont de la théorie des fonctions.
D'une certaine façon c'est un problème de logique du premier ordre car si $F(x,y,z,...)$ est une formule avec des variables libres $x,y,z,...$ et si $t$ est un terme, alors on a le droit d'écrire $F(t,y,z,...)$ où toutes les occurrences libres de $x$ sont remplacées par $t$. Et c'est vraiment ça qui les bloque, c'est le fait de "remplacer comme il se doit".

skilveg · November 2017

Cyrano écrivait:

> Je testerai lors du prochain cours particulier et je vous dirai ce
> qu'il en est ressorti. :-D

Alors ? Alors ?

Cyrano · November 2017

Ah oui j'oubliais. Donc j'avais posé à un de mes élèves particuliers (un de ceux qui a le plus difficile) cet exercice de prendre une phrase en français et de remplacer toutes les occurrences du mot "chat" par le mot "chien". L'élève ne comprenait ce que voulait dire "occurrence" ( :-D ), je lui ai donc dit chaque fois que tu vois le mot "chat", tu gommes chat et tu écris "chien" à la place. Il y est arrivé (ouf, la situation n'est pas si désastreuse que ça.)

Après je lui ai remis un exercice de maths et il y est arrivé aussi car j'avais bien martelé que le but n'était pas de comprendre mais juste de gommer et écrire un autre truc à la place. Ca l'énervait un peu de pas comprendre "l'intuition profonde" comme il dit mais ça rentre doucement. Si on fait un exercice en français au préalable, ils me semblent qu'ils ne font plus la faute en maths après.

Encore faut-il maîtriser un peu le français, ce qui est de plus en plus rare chez les jeune élèves ...

Chalk · November 2017

T'es essayé l'exo de samok ? Remplacer $x$ par $-3$ dans $f(x) = x^2$ par exemple ? Une solution, pas complètement satisfaisante, c'est de lui demander de substituer toutes les occurrences de $x$ par $(-3)$, donc de mettre à chaque fois des parenthèses lors de la substitution. Comme ça on rajoute une étape supplémentaire explicite d'étude des priorités des opérateurs, et là ça devrait marcher.

Cyrano · November 2017

Ah oui mais ça je l'ai toujours fait (imposer les parenthèses.) C'est vraiment un truc obligatoire pour espérer qu'ils comprennent.

Fin de partie · November 2017

Samok a écrit:

"petit lutin* j'y comprends rien".

J'aime beaucoup ce juron.

J'avais un professeur de mathématiques en 3/4ème qui lorsqu'il se mettait en colère ou faisait mine de se mettre en colère (il balançait parfois le tampon pour effacer le tableau à travers la classe) lorsqu'il était sur le point de prononcer le mot de Cambronne cela donnait: mer..credi !
(un brave homme ce type)

Cela a déjà été suggéré par d'autres, pour essayer de cerner la difficulté remplacer $f(x)=x^2+1$ par $g(x)=2x$
Peut-être que cette personne n'aime pas les éléphants. :-D

Faire comprendre l'évaluation d'une fonction

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