Diviseurs (collège)

Mais comment font-ils, avec une telle définition, pour montrer par exemple
que si $a$ divise $b$ et que $b$ divise $c$ alors $a$ divise $c$ ?!?

Amendement :

Soit $a$, $b$, $c$ trois entiers (relatifs ?) tels que
$
a\times b = c
$
Alors $a$ et $b$ sont des diviseurs de $c$ et $c$ est un multiple de $a$ et de $b$.

Pour savoir si $n$ est un diviseur de $m$ on effectue l'algorithme de la division
de $m$ par $n$ et on regarde si le reste est nul.

soland écrivait:

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> Mais comment font-ils, avec une telle définition,
> pour montrer par exemple
> que si $a$ divise $b$ et que $b$ divise $c$ alors
> $a$ divise $c$ ?!?


Tu vois vraiment pas ?

Mais comment font-ils, avec une telle définition, pour montrer par exemple
que si a divise b et que b divise c alors a divise c ?!?

On ne montre RIEN au collège. En tout cas dans le mien, tenter une démonstration relève de l'utopie. Leur faire écrire ce que tu écris est déjà une tache très difficile, qui n'a de succès que dans 30% des cas les bon jours...

Dernier exemple en date hier ; j'ai une heure de soutien en $3$ème, et une élève m'a dit "$3 \times 3 = 6...$" (la leçon portait sur les carrés parfaits)

Avec un dessin j'ai tenté de faire comprendre pourquoi il y a un diviseur toujours plus petit que $\sqrt{n}$ mais pour expliquer que le carré de longueur $\sqrt{n}$ a pour aire $n$ il a fallu 20 minutes... et elles étaient $2$ et ce sont probablement les plus sérieuses du collège...

Un classique "facile" et court au demande à ce niveau un peu d'abstraction :
Démontrer que si $a$ divise $p$ et $q$ alors $a$ divise $p+q$.

On peut le dire autrement : deux nombres de la même table ont pour somme un nombre de cette table.
4e ou 3e.

@zeitnot
Je vois très bien, merci.

La question est de donner un nom aux trois termes de
$a\times b = c$
à savoir diviseur de $c$, diviseur de $c$, multiple de $a$ et de $b$

Ce sont les définitions naturelles et limpides qui montrent ce qu'il s'agit de comprendre.

Donner une définition tarabiscotée via un algorithme déjà pas des plus faciles à comprendre
contrevient aux règles de la didactique les plus élémentaires.

Je suppose que si les manuels utilisent l'expression "la division euclidienne de a par b donne un reste de 0" plutôt que "il existe un entier n tel que b x n = a", c'est parce que l'introduction du "il existe un entier n" pose problème aux élèves de collège.

Pour ma part, j'ai déjà fait l'expérience du fait qu'introduire ce n (dont on sait qu'il "existe" mais dont la valeur nous est indifférente) est difficile au collège, et ne rencontre pas la compréhension chez un nombre important d'élèves.

Mais je suis tout aussi sceptique sur la formulation "la division euclidienne donne un reste de zéro", car la division euclidienne ne fait pas non plus partie des choses avec lesquelles les élèves sont le plus à l'aise : en fait, ils considèrent souvent ça comme "un truc de profs".

Personnellement, j'aime bien utiliser des expressions comme "la division tombe juste" ou "a est dans la table de b". Bien sûr, elles ne sont pas très rigoureuses d'un point de vue mathématiques, mais je trouve que c'est le rôle justement de ce genre de "définition" : l'expression mathématique correcte et rigoureuse, c'est "b est un diviseur de a", et on l'explique par une expression peu mathématique mais familière pour l'élève :"la division tombe juste" ou "a est dans la table de b".

Vouloir expliquer une expression mathématique rigoureuse par une autre expression mathématique rigoureuse ne me semble pas nécessaire au niveau collège. Je pense qu'il vaut mieux la faire comprendre par une expression simple et à laquelle les élèves sont habitués.

(1) $a$ est un diviseur de $b$ $\Leftrightarrow$
(2) $b$ est un multiple de $a$ $\Leftrightarrow$
(3) $b$ appartient à la table de multiplication de $a$ $\Leftrightarrow$
(4) $b$ appartient à l'ensemble des multiples de $a$.

Ces phrases équivalentes sont toutes correctes et les élèves devraient les percevoir
comme telles et les connaître, en particulier l'équivalence $(1) \Leftrightarrow (2)$.

Notations éventuelles :
$D_b$, $D(b)$ pour l'ensemble des diviseurs de $b$,
$M_a$, $M(a)$, $(a)$ pour l'ensemble des multiples de $a$.