Vecteurs et leurs affixes

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

En terminale, on introduit l'affixe d'un vecteur. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées $(1;2)$ est le nombre complexe $1+2i$.
On caractérise alors la colinéairité de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ par "il existe k réel tel que $z_\overrightarrow{AB}=kz_\overrightarrow{CD}$".

Un élève peut ne pas prêter attention au fait que la condition "$k$ est un réel" soit essentielle.
On peut déjà dire que si $\overrightarrow{CD}$ n'est pas le vecteur nul alors $z_\overrightarrow{CD}$ est inversible et $k=\dfrac{z_\overrightarrow{AB}}{z_\overrightarrow{CD}}$. Autrement dit je peux prendre $\overrightarrow{CD}$ non nul et non colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ et avoir l'existence d'un $k$ complexe tel que $z_\overrightarrow{AB}=kz_\overrightarrow{CD}$".

Mais je voudrais surtout expliquer que multiplier par $i$ (ou un nombre complexe non nul) fait "tourner" un vecteur. Je précise qu'à ce stade de l'année les élèves n'ont pas vu la forme exponentielle d'un nombre complexe.
Par exemple si on prend $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées $(1;2)$ alors $i\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $iz_\overrightarrow{AB}=i(1+2i)=-2+i$ donc pour coordonnées $(-2;1)$. On voit bien que le vecteur "a tourné" et qu'il n'est plus colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.
Ma question est : a-t-on le droit d'écrire $i\overrightarrow{AB}$ ? A vrai dire, je n'ai jamais écrit cela et je ne l'ai jamais vu écrit. Mais un élève qui a l'habitude d'écrire $3\overrightarrow{AB}$ peut passer à $i\overrightarrow{AB}$. Le danger étant bien sûr qu'il écrive $i\overrightarrow{AB}(i;2i)$ ce qui n'aurait aucun sens puisque les coordonnées d'un vecteur sont réelles. Mais pour devancer ce type d'erreur, j'aimerais savoir s'il est interdit d'écrire $i\overrightarrow{AB}$ ? (Car on peut bien entendu écrire $i z_\overrightarrow{AB}$).

Réponses

  • Benoit RIVET
    Benoit RIVET
    Au lycée, $ \mathbb{C} $ est considéré comme un $ \mathbb{R} $ espace vectoriel de dimension 2, pas comme un $ \mathbb{C} $ espace vectoriel. La notation $ i\overrightarrow{u} $ n'est donc pas appropriée dans ce contexte.
  • Mathurin
    Mathurin
    c'est justement l'intérêt de la "forme exponentielle" d'un complexe de clarifier ces choses.
    i c'est ei*pi/2
    Cela illustre l'intérêt de définir les complexes comme des similitudes.
  • Conique
    Conique
    (i) Le vecteur $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ est un élément du plan. $\stackrel{\longrightarrow}{AB} \in \mathbb{R}^2 $
    (ii) L'affixe $z_{\stackrel{\longrightarrow}{AB}}$ associée est un nombre complexe, ie un élément de $\mathbb{C}$. $z_{\stackrel{\longrightarrow}{AB}} \in \mathbb{C}$
    (iii) $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{C}$ sont deux ensembles composés d'objets de nature différente.

    (iv) La multiplication entre deux nombres complexes est possible.
    (v) La multiplication entre un nombre complexe et un vecteur n'est pas possible.

    (vi) Multiplier une affixe par un nombre complexe, ça a le même effet qu'appliquer une transformation plane au vecteur associé (une similitude)
    (vii) Cas particulier : multiplier une affixe par $i$, ça a le même effet qu'appliquer une rotation de centre $O(0,0)$, d'angle $\pi /2$, dans le sens horaire
  • Math Coss
    Math Coss
    @Conique: si on fait la différence entre $\R^2$ et $\C$, je pense vraiment qu'il faut aussi faire la différence entre les plans affines (où vivent les points), les plans vectoriels (où vivent les vecteurs) et $\R^2$ (où vivent les coordonnées de tous les précédents.
  • Conique
    Conique
    On pourrait présenter $\mathbb{R}^2$ comme le produit cartésien $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, c'est là que vivent les couples de nombres réels.
    On pourrait ensuite dire que $\mathbb{R}^2$ peut être vu comme l'ensemble ou vivent aussi les vecteurs. Ces derniers sont bien définis par un couple de nombres réels.
    On pourrait ensuite dire qu'on peut aussi voir $\mathbb{R}^2$ comme un ensemble où cohabitent des points et des vecteurs, ces deux bestioles étant définies par des couples.
    $\mathbb{R}^2$ c'est l'ensemble où vivent des couples de nombres réels, qui peuvent être "vus" (grâce à la donnée d'une structure d'espace affine ou vectoriel) comme des points et des vecteurs. On pourrait donc dire que les trois points de vus (produit cartésien, plan affine, plan vectoriel) coexistent ? Cela règlerait la question, au niveau terminale ? Cela manquerait-il de rigueur ?
  • Mathurin
    Mathurin
    Pour vivre, ces points, vecteurs et nombres complexes ont besoin de lois de compositions. C'est avec elles que les différentes structures sont définies. On peut les juxtaposer sur le même ensemble sous-jacent, il n'empêche quelles existent parallèlement.
    Cordialement
  • Math Coss
    Math Coss
    On peut mais ce n'est pas une bonne idée de tout identifier au niveau de terminale.
  • Mathurin
    Mathurin
    On le faisait autrefois.

    <mode vener on>
    Je veux bien croire que les élèves d'aujourd'hui sont beaucoup plus bêtes, que les retards accumulés les rendent inaptes à la raison, que les portables aidant ils ont moins de cerveau disponible, que les profs également ne sont pas au même niveau.
    Mais si on se couche ils ne risquent pas de se redresser.
    <mode vener off>
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