applications de la droite d'Euler ?

Laurette
Laurette
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Ce matin j'ai fait avec mes élèves de 1ereS un exercice sur la droite d'Euler, et deux d'entre eux m'ont demandé s'il y avait des applications à cet alignement du centre de gravité, du centre du cercle circonscrit et de l'orthocentre ?
J'ai dit que je n'en voyais pas a priori mais que j'allais chercher pour leur répondre au prochain cours, c'est tellement agréable d'avoir des élèves motivés !
Donc voilà je vous transmets la question de mes élèves... y a-t-il des applications (éventuellement en physique ou en chimie) ? Orthocentre et centre du cercle circonscrit ont-ils un sens en physique ou pour la structure des atomes ou en cristallographie ?

Réponses

  • ev
    ev
    Bonsoir Laurette.

    Je ne réponds pas vraiment à ta question.

    La droite d'Euler répond à une question qu'Euler s'était posée~:

    Connaissant quatre points \( O, H, G \) et \( \Omega \), comment construire un triangle admettant \( O \) pour centre du cercle circonscrit, \( H \) pour orthocentre \( G \) pour centre de gravité et \( \Omega \)comme centre du cercle inscrit.

    Euler a alors constaté que si les trois premiers n'étaient pas alignés, il n'y avait pas de solution.

    Il existe des démonstrations physiques de l'existence de ces points.

    Tu féliciteras tes élèves de ma part.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Tu peux rajouter le théorème de Guinand (1984) qui dit que le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du cercle de diamètre $[GH]$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je traduis ce que j'ai trouvé sur internet.

    Voici un problème de géométrie que l'on peut résoudre en considérant la droite d'Euler et ses propriétés.

    Soit $ABC$ un triangle, $D$ le pied de la hauteur issue de $A$ sur $(BC)$, $G$ le centre de gravité. Un rayon dirigé par le vecteur $\vec{DG}$ se reflète sur le cercle circonscrit au point $X$ (*). Montrer que les droites $(AX)$ et $(BC)$ sont parallèles.

    Si l'on préfère : La demi-droite $[DG)$ coupe le cercle circonscrit au point $X$.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Yves, je sais que tu es physicien, mais fais un effort pour employer les bons termes de géométrie.
    "le pied issue": tu veux dire le pied de la hauteur ?
    "le centre de masse": le centre de gravité ?
    "un rayon": le vecteur ?
    Par contre, un vecteur "réfléchi": symétrique ? par rapport à ? ce qui donne un point ? je ne vois pas, ou alors $X$ n'est pas un point ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour @Rescassol,

    J'ai amélioré comme j'ai pu. Il s'agit bien d'un rayon laser...

    Note que '' centre de gravité '' est une mauvaise appellation qui introduit une confusion entre centre de masse et centre de gravité. Le centre de masse ne dépend que du triangle alors que le centre de gravité dépend aussi du champs de pesanteur dans lequel le triangle est plongé. On a ensuite du mal en M1 à ne pas les confondre quand on travaille avec des champs de gravitation à forte variation sur des longueurs comparables à celles du système. Mais bon, si c'est une tradition en géométrie...
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Voilà une figure:

    73gorp.png

    Effectivement, en géométrie, le terme "centre de gravité" d'un triangle $ABC$ désigne l'isobarycentre des trois points $A,B,C$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    Bonjour
    Donc voilà je vous transmets la question de mes élèves... y a-t-il des applications (éventuellement en physique ou en chimie)

    pourquoi chercher ailleurs ce qui est universellement partout
    (vraiment partout)

    https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00432096/document

    le coefficient de De Longchamps d'un tétraèdre (ABCD) est donné par l'expression
    $\mu=\mu_P.\mu_Q.\mu_R.\mu_S$

    en considérant ses quatre faces $PQRS$(qui sont des triangles)
    $U_E$ le centre du cercle de Euler du triangle $U$
    $U_I$ le centre du cercle inscrit du triangle $U$
    $U_L$ le point de De Longchamps du triangle $U$

    $\mu_U= \langle \frac {1}{U_LU_I}.\overrightarrow {U_LU_I}| \frac {1}{U_LU_I}.\overrightarrow {U_LU_I} \rangle. \langle \frac {1}{U_LU_E}.\overrightarrow {U_LU_E}| \frac {1}{U_LU_E}.\overrightarrow {U_LU_E} \rangle- \langle \frac {1}{U_LU_I}.\overrightarrow {U_LU_I}| \frac {1}{U_LU_E}.\overrightarrow {U_LU_E} \rangle^2$
  • Chaurien
    Chaurien
    Drôle de question...
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    Bonjour Chaurien

    bah non rien de "Drôle" justement : le lien donné ne me fait pas rire justement(il fait réfléchir et nous aide)

    ce qui est Drôle c'est de croire que sur chacune des quatre faces (triangles) ce coefficient (de De Longchamps) lié (edit:pluriel) aux angles engendrés par la droite de Euler et l'autre droite n'a aucune incidence sur le comportement de la molécule tétraédrique
  • Chaurien
    Chaurien
    Je disais « drôle de » dans le sens de « étrange ».
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    ah pardon...
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour.

    Pour un triangle, on a:

    \begin{eqnarray*} \mu & = & \dfrac{4\left(b-c\right)^{2}\left(a-c\right)^{2}\left(a-b\right)^{2}\,S^2}{\left(\begin{gathered}\left(a^{4}-a^{3}b-a^{3}c+a^{2}bc-ab^{3}+ab^{2}c+abc^{2}-ac^{3}+b^{4}-b^{3}c-bc^{3}+c^{4}\right)\times\\ \left(a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{4}c^{2}-a^{2}b^{4}+3\,a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}c^{4}+b^{6}-b^{4}c^{2}-b^{2}c^{4}+c^{6}\right) \end{gathered} \right)}\\ & = & \dfrac{s^{4}-\left(4\,R^{2}+20\,R\,r_{0}+2\,r_{0}^{2}\right)s^{2}+r_{0}\,\left(4\,R+r_{0}\right)^{3}}{4\left(3\,s^{2}-\left(4\,R+r_{0}\right)^{2}\right)\left(9\,R^{2}+8\,R\,r_{0}+2\,r_{0}^{2}-2\,s^{2}\right)} \end{eqnarray*}

    Comme exemple pédagogique d'utilisation de la droite d'Euler, il me reste un léger doute.

    Cordialement, Pierre.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Pour le problème d'Yves, Morley circonscrit dit que $x=\dfrac{bc}{a}$, ce qui règle la question.
    On peut aussi bidouiller avec l'homothétie de centre $G$ et de rapport $-2$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Laurette
    Laurette
    Merci à tous pour vos réponses !
    Effectivement Pierre, si je leur présente ta formule, "pédagogiquement" ça va être très dur :-D
  • samok
    samok
    Bonsoir,

    très sympa cette thèse de TG, fluorhydrique.

    La question provocatrice "à quoi ça sert ?" je connaissais, mais formulée en "quelles sont les applications ?" me pose question, aussi, dans le contexte évoqué par vous, grace Laurette.


    S
  • Laurette
    Laurette
    La question des élèves était vraiment "est-ce qu'il y a des applications à la droite d'Euler ?".
    C'est vraiment une classe sympa avec des élèves qui aiment les maths (et aussi d'autres trop discrets, qui ne posent pas de questions et dont je découvre aux évaluations qu'ils n'ont pas compris ce qu'on avait fait malheureusement).
  • samok
    samok
    Sincèrement je te crois et je suis heureux pour toi. C'est si bon d'entrer dans une salle de classe avec des élèves comme tu les décris.

    Ce forum est majoritairement masculin, aussi je préfixe souvent par "sieur" les pseudos, cela te va si je préfixe "grace" ton pseudo ?

    S
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir
    Soit $ABC$ un triangle. Montrer que les points $I, G, N$ sont alignés où $I$ est le centre du cercle inscrit, $N$ le point de Nagel, $G$ centre de gravité. La droite contenant $I, G, N$ est la droite de Nagel.
  • Dasson
    Dasson
    Bonjour,
    Pour illustrer
    http://rdassonval.free.fr/geogebra/points10.html
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