lien intégrale primitive en TES ou TS

Il n'y a pas moyen de bricoler en faisant ça :

Soit un réel h>x et f une fonction continue et positive.

$F(x+h)-F(x)= \int_{x}^{h} f(t)dt$

Et montrer que l'on peut borné cette valeur par ceci (en montrant graphiquement la chose, cela se sent) :
$h \inf_{t \in [x,h]} f \leq \int_{x}^{h} f(t)dt \leq h \sup_{t \in [x,h]} f$

Et donc $\inf_{t \in [x,h]} f \leq \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \leq \sup_{t \in [x,h]} f$

J'avoue que je ne me rappelle plus comment on m'a présenté la chose à l'époque (et je précise que je ne suis absolument pas enseignante :-) )

Toute justification théorique est vouée à l'échec.

La formule 3 de chris93 est le théorème des accroissements finis.

Sauf à vouloir le démontrer, il va falloir bricoler.

e.v.

Ce qui m'étonne quand on parle du lien entre primitive et intégrale, c'est qu'on l'introduit à partir de la notion d'aire sous la courbe et de limite (approche très intuitive), avant de développer le concept de primitive et d'énoncer le théorème qui relie l'intégrale à une primitive comme un truc tombé du ciel qui permet de les calculer. Jamais on ne m'a donné dans ma scolarité d'explication intuitive du lien entre primitive et aire sous la courbe, comme si cela allait de soi, ou bien comme si il n'y en avait pas vraiment, que c'était deux façons différentes de décrire la même chose.

Comment l'expliquez-vous ? Je pense pourtant qu'une bonne pédagogie de l'intégrale devrait commencer par là, non ?

J'avais une autre façon de me le représenter intuitivement (qui m'a demandé beaucoup d'efforts à l'époque) qui est simplement une reformulation de cet énoncé : la fonction A(x) qui à un intervalle [a,x] associe l'aire sous la courbe de f(.) sur cet intervalle, croît précisément au taux f. Ca peut paraître la réécriture exacte de l'énoncé [ A(a+h) - A(a) ] / h --> f(a), mais je pense qu'il y a une intuition différente derrière.

La formule du taux d'accroissement donne l'intuition du calcul de la dérivée en un point fixé a, comme limite de ce taux quand x tend vers a, ou quand h tend vers 0. C'est comme si, en tout point, on "revenait en arrière" depuis a+h vers a. Contrairement au cas d'une fonction de R dans R, où il s'interprète comme le coefficient d'une droite tendant vers la tangente, il est, je crois, difficile de se représenter clairement le taux d'accroissement d'une aire ou d'un volume. A quoi ressemble la "tangente" d'une aire ? Dès lors le lien entre les deux notions paraît plus flou. (Il me semblait d'ailleurs à l'époque que la dérivée de l'intégrale devrait être plutôt f'(x))

Il faut plutôt selon moi passer par l'idée que la dérivée représente une "vitesse" d'accroissement (peut-être une façon de voir un peu plus "physique") pour se rendre compte intuitivement que l'aire sous la courbe est une fonction qui admet pour dérivée f – c'est-à-dire qu'en faisant augmenter l'aire le long de f, elle augmente à la vitesse f. A vrai dire présenté comme ça cela paraît tautologique. Cela donne aussi, en passant, une intuition assez solide de la dérivée seconde : si f est positive et décroissante, on voit bien que l'aire augmente toujours, mais de moins en moins vite – et réciproquement si f est croissante.

Peut-être que ça paraît être du charabia non mathématique mais je pense qu'une explication de la sorte m'aurait beaucoup aidé en Terminale : d'un côté on définissait la dérivée comme limite du taux d'accroissement (l'idée de tangente en un point, statique) et la primitive, donc, comme opération inverse – de l'autre on donnait l'intégrale comme aire sous la courbe, et on présentait le lien avec la primitive (à travers des exemples concrets, certes utiles mais qui ne donnent l'impression que de cas particuliers sans donner l'intuition du cas général). Deux intuitions géométriques classiques qui rentrent en fait en collision l'une avec l'autre.