lien intégrale primitive en TES ou TS
Bonjour,
comment faites vous le lien entre le calcul d'intégrale et l'utilisation de primitives ?
Voilà l'approche de certains livres en T ES : utilisation d'une fonction affine ; obtention de la formule de l'intégrale (en fonction de x) à l'aide de l'aire d'un trapèze puis faire remarquer que la formule obtenue est une primitive de la fonction affine de départ.
Est-ce que vous faites autre chose ? Est-ce que vous amenez directement la formule de calcul F(b) - F(a) ?
Merci pour vos conseils.
comment faites vous le lien entre le calcul d'intégrale et l'utilisation de primitives ?
Voilà l'approche de certains livres en T ES : utilisation d'une fonction affine ; obtention de la formule de l'intégrale (en fonction de x) à l'aide de l'aire d'un trapèze puis faire remarquer que la formule obtenue est une primitive de la fonction affine de départ.
Est-ce que vous faites autre chose ? Est-ce que vous amenez directement la formule de calcul F(b) - F(a) ?
Merci pour vos conseils.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Cordialement.
Ce que je fais :
1) Rappel de la notion d'aire (lecture graphique, encadrement, quelques formules niveau collège)
2) Définition de l'intégrale de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$.
2) Calculs d'aire liés à une fonction (constante, affine et polynôme du second degré avec la formule d'Archimède) et conjecture sur le lien entre aire et primitive (quasiment tout est donné...)
3) Formule $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$
...
Soit un réel h>x et f une fonction continue et positive.
$F(x+h)-F(x)= \int_{x}^{h} f(t)dt$
Et montrer que l'on peut borné cette valeur par ceci (en montrant graphiquement la chose, cela se sent) :
$h \inf_{t \in [x,h]} f \leq \int_{x}^{h} f(t)dt \leq h \sup_{t \in [x,h]} f$
Et donc $\inf_{t \in [x,h]} f \leq \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \leq \sup_{t \in [x,h]} f$
J'avoue que je ne me rappelle plus comment on m'a présenté la chose à l'époque (et je précise que je ne suis absolument pas enseignante :-) )
je n'ai plus de terminales depuis 1995 et je n'ai jamais eu des ES (seulement C, S et STI). Des ex-ES en fac ou à l'IUT, mais sur des programmes différents, et je suis en retraite depuis 8 ans : les programmes ont fortement changé :-).
Cordialement.
La formule 3 de chris93 est le théorème des accroissements finis.
Sauf à vouloir le démontrer, il va falloir bricoler.
e.v.
@Millie : trop dur et hors programme de le présenter ainsi en Tle !
Même question finalement pour le passage : comment calculer une proba dans le cas d'une loi continue ? On balance plus ou moins la formule de calcul avec l'intégrale connaissant la fonction densité.
Si qqn a une idée plus "naturelle" sur ce point, je suis preneur !
Comment l'expliquez-vous ? Je pense pourtant qu'une bonne pédagogie de l'intégrale devrait commencer par là, non ?
Un dessin permet de se convaincre (même si ce n'est pas une preuve).
Si $f$ est une fonction continue définie sur $[0;\infty[$ et $A(a)$ l'aire sous la courbe de $f$ entre $x=0$ et $x=a$.
Si on considère le rapport $\frac{A(a+h)-A(a)}{h}$ quand $h>0$ est petit, ce rapport est proche de $f(a)$.
Le quadrilatère de sommets les points de coordonnées $(a,0),(a,f(a)),(a+h,0),(a+h,f(a+h))$ a une aire proche de celle du rectangle de sommets les points de coordonnées $(a,0),(a,f(a)),(a+h,0),(a+h,f(a))$
Le premier quadrilatère a pour aire approchée $A(a+h)-A(a)$ tandis que le second quadrilatère qui est un rectangle a pour aire exacte $hf(a)$.
PS:
1)Quand on prend $f$ une fonction constante il n'y a plus d'approximation dans ce qui précède.
2)Cela doit être un tout peu plus compliqué de donner une démonstration du fait que le rapport $\frac{A(a+h)-A(a)}{h}$ tend vers $f(a)$ quand $f$ est une fonction affine.
La formule du taux d'accroissement donne l'intuition du calcul de la dérivée en un point fixé a, comme limite de ce taux quand x tend vers a, ou quand h tend vers 0. C'est comme si, en tout point, on "revenait en arrière" depuis a+h vers a. Contrairement au cas d'une fonction de R dans R, où il s'interprète comme le coefficient d'une droite tendant vers la tangente, il est, je crois, difficile de se représenter clairement le taux d'accroissement d'une aire ou d'un volume. A quoi ressemble la "tangente" d'une aire ? Dès lors le lien entre les deux notions paraît plus flou. (Il me semblait d'ailleurs à l'époque que la dérivée de l'intégrale devrait être plutôt f'(x))
Il faut plutôt selon moi passer par l'idée que la dérivée représente une "vitesse" d'accroissement (peut-être une façon de voir un peu plus "physique") pour se rendre compte intuitivement que l'aire sous la courbe est une fonction qui admet pour dérivée f – c'est-à-dire qu'en faisant augmenter l'aire le long de f, elle augmente à la vitesse f. A vrai dire présenté comme ça cela paraît tautologique. Cela donne aussi, en passant, une intuition assez solide de la dérivée seconde : si f est positive et décroissante, on voit bien que l'aire augmente toujours, mais de moins en moins vite – et réciproquement si f est croissante.
Peut-être que ça paraît être du charabia non mathématique mais je pense qu'une explication de la sorte m'aurait beaucoup aidé en Terminale : d'un côté on définissait la dérivée comme limite du taux d'accroissement (l'idée de tangente en un point, statique) et la primitive, donc, comme opération inverse – de l'autre on donnait l'intégrale comme aire sous la courbe, et on présentait le lien avec la primitive (à travers des exemples concrets, certes utiles mais qui ne donnent l'impression que de cas particuliers sans donner l'intuition du cas général). Deux intuitions géométriques classiques qui rentrent en fait en collision l'une avec l'autre.