Conjecture et remarque
Bonjour à tous,
1) Faîtes-vous une différence entre une remarque et une conjecture sur un dessin ?
Autrement dit, lorsque vous demandez aux élèves "Que remarquez-vous ?", cette remarque constitue-t-elle pour vous une conjecture ?
2) Une conjecture peut-elle être émise à partir, par exemple, d'un seul dessin ou en faut-il nécessairement plusieurs ?
Merci pour vos éclaircissements.
1) Faîtes-vous une différence entre une remarque et une conjecture sur un dessin ?
Autrement dit, lorsque vous demandez aux élèves "Que remarquez-vous ?", cette remarque constitue-t-elle pour vous une conjecture ?
2) Une conjecture peut-elle être émise à partir, par exemple, d'un seul dessin ou en faut-il nécessairement plusieurs ?
Merci pour vos éclaircissements.
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Réponses
2) Une conjecture peut même être émise sans dessin et sans exemple. C'est juste que plus il y a d'exemples plus la conjecture s'en trouve renforcée.
Quand un élève dit "Le triangle qui a ses trois angles égaux" : remarque, observation, conjecture ? Affirmation ! ^^
Je comprends ta remarque pertinente sur plus il y a d'essais, plus on se rapproche d'une réalité.
En effet l'énoncé de la conjecture devrait être "ABC est équilatéral" sauf ... qu'il n'y a pas de triangle ABC puisque tu as juste fait un dessin et que tu n'as pas formellement donné A, B et C. Par contre si tu donnes explicitement trois points via des coordonnées dans le plan, que l'élève le dessine rapidement et dit "On voit que ABC est équilatéral", là c'est une conjecture.
Ensuite difficile de dire ce que l'élève a en tête. Quand un étudiant dit "l'exponentielle est une fonction croissante", ça peut être une conjecture aussi bien qu'une remarque. Tout dépend de s'il sait le démontrer ou pas (ou au moins s'il sait que c'est vrai parce qu'il connaît son cours). Quand il le dit en L3 on peut généralement penser que ce n'est pas une conjecture de sa part.
Généralement quand je lis une affirmation mathématique sans conditionnel je considère par défaut que l'auteur affirme que c'est vrai et sait que c'est vrai (mais je précise que je ne suis pas prof). Si en revanche je vois des "on observe que", "il se pourrait que", "on voit que" de la part d'un étudiant (de la part d'un auteur de bouquin ça n'aurait pas le même sens) alors bien sûr c'est une affirmation non démontrée, donc au mieux une conjecture. Maintenant beaucoup d'étudiants pipotent en écrivant des affirmations qu'ils ne savent pas démontrer, c'est pourquoi quand on corrige je pense qu'il ne faut pas hésiter à pénaliser quelqu'un qui ne développe pas suffisamment son argument, au moins sur la moitié du devoir. Si ensuite on voit que la personne est compétente et sait démontrer tout ce qu'elle affirme, il est souvent permis d'aller un peu plus vite (j'ai dit un peu) dans les arguments (en tout cas à certains concours c'est comme ça que ça marche dans mes souvenirs, on rédige beaucoup plus soigneusement les premières questions pour convaincre le correcteur qu'on sait de quoi on parle et qu'on sait faire rigoureusement, et après on va un tout petit peu plus vite parce que s'il fallait tout développer complètement le moindre devoir prendrait 30 pages, mais bien sûr ça ne marche que si on ne fait aucune erreur dans le début).
Concernant les conjectures : comment les formulez-vous ? Qu'attendez-vous des élèves ?
Précisez-vous, par exemple, "pour n'importe quel triangle, la somme des angles est égal à 180° " ou "la somme des angles est égal à 180° ?"
Une conjecture est un candidat théorème
qui demande à être prouvé ou réfuté.
Une remarque n'appelle aucun commentaire.
Merci pour vos réponses.
Et du coup, je repose ma question :"avez-vous une formulation particulière pour une conjecture" ? Des mots clés ?
Pour l'exemple que je citais, quelle formulation de conjecture écririez-vous parmi
1) "pour n'importe quel triangle, la somme des angles est égal à 180° "
2) "la somme des angles est égal à 180° ?"
En fait, je ne sais pas s'il faut préciser "pour n'importe quel" ou "quel que soit" dans la formulation d'une conjecture ?
Une conjecture s'écrit comme un théorème. Donc tout dépend à quel niveau tu écris ça. En sixième, on ne fait pas de raisonnement, ou très peu, les quantificateurs n'ont pas lieu d'être. En supérieur, en sections scientifiques ou techniques, ils deviennent fondamentaux.
J'ai appris en collège, il y a bien longtemps "La somme des angles d'un triangle fait 180°", avec démonstration par les angles (en quatrième, j'imagine). A cette époque, tous les élèves de quatrième (donc 75% de ma génération, les autres étant au travail) comprenaient que le "un", article indéfini, désignait donc n'importe quel triangle. Je ne connais pas les collégiens actuels, je ne sais pas s'il faut systématiquement.mettre les points sur les i.
Cordialement.
"Si deux droites sont parallèles et une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre".
Un problème de formulation (peut-être).
Dans mes conjectures, j'écris, par exemple :
1) "Il semble que, si le triangle ABC est équilatéral, alors  = B^ = C^ = 60°", sous-entendu "il semble pour, pour n'importe quel triangle ABC équilatéral,  = B^ = C^ = 60°".
2) "Il semble que le résultat du programme de calcul soit le double du nombre de départ", sous-entendu "il semble que, pour n'importe quel nombre choisi au départ, le résultat du programme de calcul est le double de ce nombre".
Qu'en pensez-vous ?
J'ai pour habitude (bonne ? mauvaise ?) de ne pas préciser les quantificateurs mais de bien insister, par exemple, que :
* le "un" à une valeur de généralité (n'importe lequel)
* "Soit x un nombre" (n'importe lequel) : je n'écris pas "soit x un nombre quelconque"
* "On considère l'équation 3x + 1 = 2x + 4, d'inconnue x" (pour mettre en avant l'opposition au x "quelconque").
Merci pour cet échange très intéressant.
Le "côté" universel sort tout seul.
La somme des mesures des angles d'un triangle est 180°.
Oui.
Mais comme il a été dit, de nos jours, en 2017, dans certains collèges sinistrés (on va le dire comme ça), certains élèves (une bonne partie) ne voit pas le caractère universel dans le "d'un triangle". Pire, certains croient (je l'affirme dur comme fer !) que la propriété dit "que pour un triangle c'est vrai, mais pour tous on ne sait pas".
C'est dramatique mais c'est comme ça.
Ils lisent :
« La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180° »
À méditer avec ce que certains pensent :
« Il existe un triangle dont la somme des mesures des angles est égale à 180° ».
C'en est ahurissant car on peut mettre un peu de temps avant de comprendre ce qu'ils ont dans la tête.
Et c'est d'une importance capitale. J'ai envie de dire que c'est le plus important.
C'est comme quand on présente un exercice dont la première phrase est "La somme d'argent contenu dans un porte monnaie est de 150 €". "Le menu du jour d'un restaurant est de 17€". Etc.
Il ne s'agit pas d'une propriété (universelle) mais d'une mise en situation, d'un cas particulier. Et pourtant grammaticalement c'est la même phrase que la propriété que tu proposes sur les angles d'un triangle (quelconque).
D'ailleurs c'est pour ça qu'on trouve parfois le mot "quelconque". C'est pour rendre universel le truc.
On a déjà eu des débats où ceux qui disaient "quelconque" se faisaient engueuler royalement.
Et pourtant, si on ne pratique pas le « Si... Alors », l'oubli du terme "quelconque" peut engendrer des ambiguïtés insoupçonnées.
Au fait, suis-je clair ?
Mathématiquement le mot "quelconque" ne se définit pas et il ne faut pas le définir justement, ce serait absurde.
Mais ils savent que c'est synonyme de "pour n'importe lequel" (traduction de "quel qu'il soit").
On tombe dans le problème de ceux qui pensent que "quelconque" signifie "non particulier", c'est certain.
Je maintiens, il est préférable de proposer une forme "Si ... Alors ..." en n'écrivant pas, pour le coup, le mot quelconque dedans.
Cette année, avec des 1ereS j'ai eu en DS quelques élèves complètement désarçonnés par un énoncé commençant par "soit ABC un triangle non aplati "... J'ai fini par leur dire de dessiner un triangle "normal" !
Pourquoi cacher les quantificateurs ?
1) Quel que soit le triangle, la somme des mesures de ses angles...
2) Si un polygone est un triangle, alors la somme...
Je persiste : la formulation $Si...Alors...$ est la meilleure.
Bon j'arrête de réitérer mon "serinement" répétitif...
Et effectivement cette année je recycle en 1ereS des parties de mes séances de logique et de démonstrations (on a déjà fait les exercices sur Si... Alors..., et sur "pour tout" <> "il existe", ainsi que sur la contra posée..., et on a revu (vu ?) les différents types d'enoncés) et je me suis rendu compte que mes élèves n'ont jamais entendu parler de démonstration par l'absurde, donc je vais sûrement leur faire une séance sur les différents types de démonstrations !
Pour revenir sur les "conjectures", une élève de terminale ES m'a demandé de quoi il s'agissait (on en rencontre dans les questions des exercices du livre), donc j'ai dit qu'il s'agissait d'essayer d'avoir une intuition du résultat AVANT de le démontrer, j'ai accepté qu'ils disent que c'était un synonyme de "supposition " mais absolument pas synonyme d'hypothèse en maths !
Bon, j'évite le refrain qui dit qu'il ne faut pas écouter l'ESPE et les IPR.
Ils ont pu d'ailleurs avoir raison pour le caractère élitiste : je veux dire qu'ils ont pu constater que seuls deux élèves pouvaient jouer sans que tous les autres puissent même toucher le ballon...
Toutes ces questions (sur les quantifications, les "quelconque" et autres "toujours", ...) sont essentielles et il faut y réfléchir (pardon ça fait ESPE :-X).
Pour les non francophones, en revanche, je crois que le IF...THEN... est très parlant ;o)