nombres complexes TS
Bonjour,
faites-vous tout le chapitre sur les complexes en un coup ou vous le scindez en deux ?
Je pense qu'il vaut mieux le faire en deux temps...Dans ce cas, où vous vous arrêtez ? au moment de la forme trigonométrique ? la forme exponentielle ?
Merci de vos conseils et expériences.
faites-vous tout le chapitre sur les complexes en un coup ou vous le scindez en deux ?
Je pense qu'il vaut mieux le faire en deux temps...Dans ce cas, où vous vous arrêtez ? au moment de la forme trigonométrique ? la forme exponentielle ?
Merci de vos conseils et expériences.
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Réponses
Sur les règles de calculs sur les modules et arguments, on met en remarque l'inégalité triangulaire concernant le module (avec en plus une explication simple géométrique).
A-t-on une relation du même type pour l'argument Arg(z + z') ?
Si vous deviez citer un exemple d'exercice de géométrie où les [size=large]nombres complexes[/size] simplifient grandement la démonstration ?
En 1ère S, on montre "facilement" la force de l'outil vectoriel (produit scalaire...) par exemple...mais pour les complexes en TS ?
Le programme demande de rentrer dans ce thème par la notion d'équations puis on bascule dans la géométrie....quelle est la "force" des nombres complexes par rapport à l'outil vectoriel par exemple ? définir simplement des transformations du plan ? calculer "facilement" des angles ?
Comme ça, au débotté, je citerais la démonstration de $ (cos \theta + i sin\theta )^n = cos( n\theta) + i sin( n\theta $) que tu peux faire démontrer par récurrence bien chiantequand tu as la forme algébrique et qui se fait très facilement avec la forme exponentielle.
Et plus généralement, tout exemple dans lequel intervient une multiplication de complexes qui est facilitée par la forme exponentielle.
Merci pour vos idées !
Voilà comment ça marche. On "démontre" que $e^{nx}=(e^{x})^n$ pour les réels $x$. Puis on introduit la forme exponentielle où par définition on note $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i \sin(\theta)$ (un élève censé a à ce moment là la très désagréable sensation qu'il est pris pour un con car aucun rapport avec l'exponentielle réelle jusque là). Puis ensuite magie, on dit qu'on a évidemment $e^{i n\theta}=(e^{i\theta})^n$, ce qui se traduit par $(\cos \theta + i \sin\theta )^n= \cos( n\theta) + i \sin( n\theta) $.
Sauf qu'on l'a jamais démontré justement ! Et pire, si on voulait le démontrer en Terminale, par exemple pour justifier la forme exponentielle, et bah on se retrouverait à faire une "récurrence bien chiante" comme tu dis.
Ce que je veux dire, c'est que l'affirmation "c'est la plus grande arnaque en TS" est assez largement exagérée.
On choisit d'utiliser une notation (ressemblant étrangement à l'exponentielle réelle) et on démontre algébriquement que cela se manipule comme une exponentielle réelle pour l'additivité notamment, c'est en effet une vraie démonstration qui utilise uniquement des formules connues.
@skyffer3 dénonce le fait d'étendre les propriétés de l'exponentielle réelle à cette notation (exponentielle complexe) sans rien justifier.
De dire "bon, on peut démontrer que ça marche" est le strict minimum syndical mais de dire "puisque ça marche pour les réelles, alors c'est bon aussi", en effet, c'est désastreux et criminel (toute proportion gardée !). Mais sérieusement, y'en a qui font ça ?
Est-ce cela @skyffer3 ?
C'est ton avis, que je ne partage absolument pas. L'exponentielle complexe est une énorme arnaque. Maintenant si quelqu'un n'est pas d'accord j'aimerais bien voir la démonstration en Terminale de $e^{i(a+b)}=e^{ia}+e^{ib}$. Sans utiliser les relations trigos déjà connues ! Sinon évidemment il n'y a rien à démontrer, c'est une simple réécriture.
Et bah en fait on ne peut pas, tout simplement car l'exponentielle complexe en Terminale n'a rien à voir avec l'exponentielle mais est elle-même une simple réécriture.
Ton histoire d'axiomes n'a aucun rapport. L'exponentielle complexe de Terminale fait semblant qu'il y a un truc profond alors que c'est vide de sens. Et le couronnement suprême, la famause relation $e^{i\pi}+1=0$. Je me souviens encore comment j'éclatais de rire intérieurement en Terminale quand le prof nous avait montré cette superbe formule qui relie les nombres $e$, $ \pi$ et $i$. Manque de bol, $e$ n'apparaît pas en fait car le $e$ de cette formule n'a aucun rapport avec l'exponentielle en Terminale (et je précise bien en Terminale).
Quand c'est fait comme cela ça me convient parfaitement et ce n'est pas une arnaque à proprement parlé. Mais dans ce cas il ne faut surtout pas dire comme Balix que l'exponentielle complexe sert à démontrer les relations trigos !
Moi je m'étais fait arnaqué en terminale là-dessus (entre autre choses), et pour quelqu'un qui aimait les maths ça m'a profondément choqué (assez pour que je passe un week-end sur les formules de Moivre pour comprendre d'où sortait ce mystérieux $e$ complexe, ce n'est qu'en sup que j'ai vraiment compris quil n'y avait en fait pas d'arnaque quand on fait les choses correctement). Au début je trouvais la relation d'Euler complètement vide de sens, une formule creuse, une arnaque d'un génie des maths. En sup j'ai compris que cette relation était vriament profonde.
Sauf erreur, il me semble que le programme de TS sur ce point vise plutôt à montrer une "communauté de propriétés algébriques" entre l'exponentielle réelle et l'exponentielle imaginaire pure. Cela me paraît présenter un intérêt, même en admettant tout un tas de choses. Après on peut se battre sur le fait de fonder le programme de la filière S sur des axiomes explicites, mais malheureusement cela n'a pas l'air d'être très in ces temps-ci.
Dans tous les cas je ne veux pas rentrer dans un débat sémantique. Mais il y a un fait clair et net que je critique fermement en revanche, c'est celui-là : Non, il n'y a aucune démonstration possible avec la forme exponentielle en Terminale. C'est juste un moyen mnémotechnique pour s'en souvenir, mais la forme exponentielle de Terminale ne permet rien de démontrer, il faut au préalabale démontrer les relations trigos et à ce moment là l'écriture exponentielle est juste une réécriture des relations trigos déjà connues, il n'y a rien de plus profond.
On avait démontré par récurrence l'identité : $(cos \theta + i sin\theta )^n= cos( n\theta) + i sin( n\theta )$ pour tout ci et pour tout ça.
La notation est un artifice assez sympathique à utiliser à ce stade.
Niveau géométrique la force des complexes c'est de traduire algébriquement les problèmes plutôt qu'analytiquement. Au final ça simplifie les calculs, tout simplement parce que l'exponentielle complexe exprime plus simplement les relations trigos. Une rotation dans le plan c'est plus simple à écrire en complexe qu'avec une matrice, etc.
Mais clairement au niveau lycée y'aura rien de profond avec les complexes, et même géométriquement on peut tout réécrire de manière analytique en passant uniquement par les réels.
Les programmes de TS sont clairs : l'exponentielle complexe est juste une écriture pratique en se basant sur les formules cos(a+b) et sin(a+b) vues en 1ere S et permet de faire des calculs simples à partir de la forme trigonométrique donc je ne comprends pas trop la polémique avec balix..mais bref!
Faudra que je creuse ta phrase : traduire algébriquement plutôt qu'analytiquement des problèmes géométriques...qu'entends-tu ?
Bah allez-y, démontrez-moi ça sans passer par une récurrence avec les formules de trigos déjà connues (sinon c'est juste une réécriture y'a rien à démontrer).
J'entends que passer par le corps des complexes permet de traduire des opérations géométrique en algèbre (une multiplication pour des rotations, etc.). Faire tout ça uniquement avec les réels demande un peu plus de calculs, mais c'est parfaitement faisable sans que ce soit plus compliqué. L'écriture complexe est plus compact.
Ok merci pour le deuxième point..et hélas on est déjà aux limites du programme de TS...les sujets de bac c'est plus des histoires de triangles, cercles et co !
Si on va par là, toute démonstration est une réécriture d'axiomes. Raccourcir les preuves en introduisant de nouveaux concepts est précisément la grande force de l'activité mathématique.
Moi je soutiens qu'en Terminale l'exponentielle complexe ne permet pas de prouver de Moivre, simplement de l'écrire plus facilement une fois démontrée. Pareil pour les autres relations trigo. Donc c'est pratique, ça montre sûrement l'utilité du concept des complexes, c'est joli, mais ne me dites pas que ça démontre quoi que ce soit ce n'est pas le cas à ce niveau. Il n'y a aucun raisonnement derrière, aucune démonstration nouvelle, c'est une simple écriture plus pratique a posteriori, mais elle ne simplifie pas la démo de De Moivre, sauf à admettre qu'on étend les règles de l'exponentielle réelle à l'exponentielle complexe ce qui n'a aucune raison d'être les deux n'ayant aucun lien en terminale.
Il n'y a que dans le supérieur que la notation d'exponentielle complexe prend un sens vraiment profond.
formules d'addition $\overset{\text{réécriture}}{\vdash}$ propriété de morphisme de l'exponentielle complexe $\overset{\text{récurrence très facile}}{\vdash}$ Moivre.
Introduire l'exponentielle complexe permet de condenser dramatiquement la preuve "sans" :
formules d'addition $\overset{\text{récurrence pénible}}{\vdash}$ Moivre.
Je peux très bien dans la démo "pénible" poser la fonction $\theta \mapsto (\cos(\theta),\sin(\theta))$ ou $\theta \mapsto \cos(\theta)+i\sin(\theta)$ si c'est ça le problème, c'est pas interdit. C'est même requis vu que ça apparaît explicitement dans la formule de Moivre qu'on veut justement démontrer.
Donc je ne comprends toujours pas ce que l'exponentielle complexe démontre en terminale ... Dans les deux cas vous passez par les formules trigos et vous effectuez exactement le même raisonnement aux notations près. C'est ce que j'appelle faire la même démonstration.
"Je peux très bien dans la démo pénible..." : oui, on peut, et même on fait, en introduisant la fonction $\theta \mapsto e^{i\theta}$.
"Exactement le même raisonnement aux notations près" : je pense que ce n'est pas faux, mais que cela révèle surtout que tu n'as jamais été en contact avec des élèves de TS. Je me trompe ?
Au cas où que je n'étais pas clair (enfin si on lit tous mes messages c'est écrit explicitement), l'arnaque est de parler d'exponentielle complexe comme si c'était lié à l'exponentielle réelle, et ensuite de faire mine que c'est merveilleux de voir que $e^{i\pi}+1=0$ alors que le nombre $e$ apparaissant n'a aucun rapport avec la constante réelle $e$ a priori.
Je n'ai rien contre d'introduire la fonction $\theta \mapsto \cos(\theta)+i \sin(\theta)$ en Terminale. Mais beaucoup de profs font exprès de confondre allègrement l'exponentielle complexe et réelle alors qu'en Terminale rien ne le justifie, pour ensuite se passer de faire une vraie démo de la formule de Moivre etc. Les profs qui démontrent les choses depuis les formules trigos font les choses rigoureusement, y'a pas de souci. Mais du coup faut bien faire une récurrence et c'est pas du tout ce que sous-entendait Balix ...
Donc le fait que tu n'écrives pas les preuves confirment ce que je dis. Exponentielle complexe ou pas, la preuve passe par les formules de trigo et une récurrence, et c'est ce que je dis depuis le début si on avait pris la peine de me lire plutôt que de me traiter de troll.
N.B : Je pense que tu n'as pas compris comment marche les maths. C'est à l'auteur d'une démo de convaincre de sa démo le lecteur, jamais l'inverse. J'ai démontré l'hypothèse de Riemann ! Tu ne me crois pas ? La charge est plutôt à l'accusation alors prouve que j'ai tort ...
Je te rejoins sur le côté arnaque si on ne dit pas ce qu'on fait.
Je n'ai jamais contesté que l'exponentielle complexe avait un sens en terminale ou qu'on pouvait faire les choses proprement. Relisez mon premier message. Dès le début je parlais de cette arnaque sur la preuve de Moivre sans passer par la récurrence et les formules de trigo habituelles. L'arnaque consiste à jouer sur la propriété réelle de l'exponentielle qu'on étend aux complexes sans démonstration alors que ce n'est plus du tout la même fonction (en Terminale).
Je réagissais juste à ce que tu avais dit dans la dernière phrase du message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1550370,1551478#msg-1551478 , mais je crois que j'ai pris la phrase trop hors contexte (comment c'est fait vs comment on pourrait faire).
Non ?
N'est-ce pas plus honnête ?
1) Utiliser le fait non démontré pour justifier les formules de trigo (ok).
2) Utiliser les formules de trigo pour justifier le fait non démontré (ne sert à rien).
Si d'ailleurs on peut garder le peu de géométrie restante, tant mieux.
> @skilveg
> C'est ton avis, que je ne partage absolument pas.
> L'exponentielle complexe est une énorme arnaque.
> Maintenant si quelqu'un n'est pas d'accord
> j'aimerais bien voir la démonstration en
> Terminale de $e^{i(a+b)}=e^{ia}+e^{ib}$. Sans
Moi j'aimerais bien voir la démonstration tout court de ça X:-(
Il me semblait pourtant que l'exponentielle était définie par la même série entière, que la variable soit complexe ou réelle, et que le lien était là (et donc caché sous le tapis en TS) , mais j'ai surement rien compris comme un prof de lycée.
J'ai quand même regardé de plus près ce que je fais aux élèves.
Donc 1) je définis f(x) = cos (x) + i sin (x) , avec les relations trigos de première (et là non plus je ne suis pas sur que la démonstration de cos(a+b) soit hyper rigoureuse en 1S, s'il y pas une relation circulaire la définition du produit scalaire, j'avoue j'y ai pas regardé de près depuis longtemps), donc avec les relations trigos, je prouve que f(0) =1 et f(x+y) = f(x)f(y) qui est la relation fonctionnelle que j'ai utilisée pour introduire l'exponentielle réelle, et par analogie, on pose f(x) = $e^{ix}$.
Puis effectivement , on réécrit la formule de Moivre, la démonstration escamotée étant la récurrence de $ f(nx) = f(x)^n$ ,avec la relation fonctionnelle qui est bien moins chiante que la faire avec les cos et les sin.
Rien que le fait de déplacer la récurrence sur l'écriture exponentielle au lieu des formules d'addition des sinus et cosinus est un gain de confort qui à mon avis illustre bien l'utilité de la notation exponentielle.
Je n'ai jamais parlé de démontrer la formule d'addition des sinus et des cosinus .
Donc 1) La formule d'addition des sinus et cosinus est supposée connue , on en tire une relation fonctionnelle sur la fonction f
2) La relation fonctionnelle donne $ f(nx) = f(x)^n$ par récurrence simple.
3) La réécriture de cette relation dernière égalité donne la formule de Moivre.
Elle est ou l'arnaque ? le fait de noter f(x) = exp(ix) et faire du coup les calculs pareils qu'avec l'exponentielle réelle ?
Si j'ai pu laisser entendre que ça marche pareil que l'exponentielle réelle parce qu'on la note e , c'est que je me suis mal exprimé.
Maintenant je n'ai jamais dit que tu ne comprenais rien. Je notais une arnaque courante, que j'ai déjà vu plusieurs fois, pour démontrer de Moivre. Donc je n'invente rien. Je vais pas revenir sur ce que j'ai dit, j'ai expliqué où était l'arnaque exactement, tu peux lire ce que j'ai déjà écrit.
Ta façon de faire me paraît bien mais c'est pas du tout comme ça que je l'avais compris ... Quant à ta démonstration il n'y a pas de souci, mais elle n'est pas plus simple que la récurrence chiante dont tu parlais, c'est la même, je ne voyais pas m'y prendre autrement. L'arnaque c'est de faire comme si l'exponentielle complexe avait le même morphisme que le réel sans le démontrer alors qu'on a deux définitions différentes a priori.
Dernier point, des bons profs de lycée y'en a plein, mais des profs de lycée qui comprennent à peine le programme qu'ils enseignent y'en a un paquet aussi. Y'a qu'à voir les questions posées par certains profs ici, franchement c'est flippant parfois.
On n'est pas d'accord, il y a un lien, c'est qu'elles sont la même équation fonctionnelle, après on dit aux élèves que c'est en fait la même fonction mais qu'on n'a pas les outils pour le voir plus rigoureusement au lycée
Par contre, je suis d'accord pour dire que c'est la même récurrence sur les 2 façons de faire au sens que ce sont exactement les mêmes arguments en jeu, mais au niveau technique de calcul je peux te dire que pour des élèves de terminale, c'est pas le même niveau de difficulté. D’où l'intérêt de faire les 2 pour faire sentir que quand il y a des multiplications qui entrent en jeu avec des complexes, le bon outil en TS est souvent la forme exponentielle.
On va pas alimenter la polémique (sinon ça va réveiller le Ramon et faire dévier le sujet initial),mais c'est vrai que j'ai aussi vu sur un autre forum un post hallucinant où un collègue ne comprenait pas une démonstration par l'absurde d'un exo sur Pythagore, mais dis toi que dans 20 ans ça risque d'être encore pire.
De toute évidence,
- tu ne sais pas lire un programme officiel avec ses préconisations (on appelle ça un BO...voir site eduscol :-P). Tu pollues ce fil en houspillant la même chose depuis le début sur cette "arnaque" de l'exp...il faut t'en remettre de ce point "douloureux" de ta terminale !! allez !! tu n'as de toute évidence jamais été devant une classe d'élèves du secondaire et donc tu ne sais pas ce que veut dire "préparer un cours".
- ma question sur l'argument est loin d'être hors propos : peut-on trouver un majorant de arg(z+z') (l'idéal en fonction de arg z et arg z') (on voit bien une formule "difficile" à mettre en place pour cos(a+b) et sin(a+b) en 1ère S) ??
De nombreuses personnes sont décevantes sur ce forum car elles dégainent tout de suite de l'agressivité et une certaine arrogance en maths!
Sur ce, ce fil a été enrichissant par les commentaires variés des autres participants, que je remercie !!
Pour le majorant de l'argument, commence déjà par nous dire quelle relation d'ordre tu mets sur des classes d'équivalence modulo deux PI :-D
Il n'y aurait donc que les profs du secondaire qui seraient capables de préparer un cours ?
Merci pour les autres.
Cordialement,
Rescassol