Longueur positive et théorème de Pythagore
Bonjour,
En 4ème, je m'interroge sur le passage : BC² = 9 donc BC = 3.
Faites-vous écrire à vos élèves que ce passage est valable car BC > 0 ? Pourquoi ?
Merci.
En 4ème, je m'interroge sur le passage : BC² = 9 donc BC = 3.
Faites-vous écrire à vos élèves que ce passage est valable car BC > 0 ? Pourquoi ?
Merci.
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Réponses
Est-ce utile ? Y a-t-il des élèves pour penser à une longueur autrement que comme positive ?
Il sera bien temps, quand tu leur fera résoudre des équations de degré 2 ou plus de voir cela, ou bien de théoriser la notion de racines en seconde et première.
Tes élèves sont-ils si doués que tu peux te permettre d'être aussi pointilleux ?
Cordialement.
je pense que personne ne dira que tu manques de rigueur, si tu ne fais pas écrire cette justification à tes élèves, sois sans crainte ! Bien sûr, je ne le fais pas non plus.
En y réfléchissant, les élèves savent qu'il y a 2 deux nombres dont le carré est 9 (par exemple) : on appelle racine carrée le nombre positif (donc 3).
Donc avec cette définition, il peut être en effet inutile de préciser $BC > 0$ lors du passage de $BC^2 = 9$ à $BC= 3$.
Qu'en pensez-vous ?
Je pense que cela suffit.
Rappelons-nous "la" preuve format collège : cela revient à chercher la longueur d'un carré dont l'aire est 9 $cm^2$.
Par exemple, si on cherche les dimensions $x$ et $y$ d'un rectangle dont l'aire est 10 $cm^2$, je suis certain que personne ne rédige en disant que $x$ et $y$ sont positifs.
Encore une fois, s'arrêter pour poser une question plus générale est conseillé.
Il est vrai qu'on voit trop souvent ensuite, au lycée, des "$x^2=9$ donc $x=3$".
Je m'interroge aussi pour savoir si on peut démontrer que pour les longueurs on a une unique solution...ce qui se fait en seconde en démontrant la stricte croissance de la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ sur le bon ensemble de definition...encore faut-il ne pas se faire mordre la queue au serpent...
Édit: en résumé pas forcément donner à chaque fois des contre-exemples sur des ensembles où le théorème est faux (si jamais il y en a lol) mais au moins préciser systématiquement un ensemble sur lequel le théorème est vrai et le marquer texto.
Lorsque j'ai moi même j' étais au collège,notre prof. de 3eme (2001-2002) nous demandais d' ’écrire une phrase de ce type:
"comme une distance est positive , alors ..."
il nous avait expliqué de ne pas le mettre c'était pénalisant au brevet
Ça ne coûte rien d'ajouter "et truc positif" avant le "donc".
Cordialement, Talal
Franchement, il y a déjà bien assez d'autres erreurs ou manquements à corriger chez la plupart :
- Absence de toute rédaction : dans quel triangle on se place, quel théorème on invoque ...
- Oublis des exposants 2 ou alors des exposants 2 même après avoir pris la racine.
- Erreur(s) dans l'écriture de l'égalité de Pythagore, surtout lorsqu'il s'agit de calculer un côté de l'angle droit...
- Erreur dans les calculs des carrés (même avec la calculatrice...)
- Erreur d'arrondi de la racine carrée
Bref, c'est déjà lourd.
$BC^2 = 9$
$\sqrt{BC^2} = \sqrt{9}$
$BC = 3$
Je vois mal un élève de 3e écrire à la dernière étape $-BC = 3$.
S
Changez de chanson quand vous changez de montagne.
Il est clair que je le mentionne pendant le cours (et à peu près à chaque fois que je passe à la racine), mais je n'attends pas des élèves que ce soit précisé dans chaque exercice.
De la même façon lorsque je m'adresse à des élèves en spécialité ES, sachant qu'ils n'aborderont pas les nombres complexes au lycée (et probablement jamais), je m'autorise l'écart de langage "un carré est toujours positif" plutôt que "le carré d'un nombre réel est toujours positif". Et ce principalement parce que je le répète 10 fois par jour. Avant de considérer que les élèves puissent se sentir "trahi(e)s" dans le futur, j'aimerais déjà avoir des calculs justes maintenant.
En répondant, nous n'avons pas précisé nos contextes. Arturo demande: "faites-vous écrire à vos élèves....", que l'on peut interpréter autant comme "écrivez-vous..." que comme "retirez-vous des points quand ils écrivent que..."
Or ces différences interprétations admettent des réponses, hélas, radicalement différentes selon les opinions politiques des personnes qui répondent et des objectifs qu'elles s'assignent.
Bien évidemment, comme il a été rappelé réalistement, si on s'entretient "entre collègues" de comment ne pas avoir des moyennes de classe à 0.4/20 et qu'on écarte la question purement mathématique, il est tout à fait consensuel de signaler qu'il n'est pas possible de retirer les points pour cette faute. Comme il a été dit, il est déjà difficile de mettre des points aux textes habituellement par les élèves en regard de choses beaucoup plus insensées qui jalonnent les copies.
Et ce n'est pas tout, car les collègues savent bien que pour les rares élèves qui comprennent ce qu'ils écrivent eux-mêmes et aiment bien les maths, il n'est pas grave de passer sur cette faute qui sera recorrigée ensuite par l'enseignant de lycée, alors que paradoxalement, les écriveurs-réciteurs automatiques, à qui il est très difficile de mettre au moins 1 point, seront les plus pénalisés et trahis par la non pénalisation de cette faute.
Par contre, ça ne tient pas lieu de justification ce qu'on écrit au tableau, car la question est est-ce que les points qu'on ne retire pas face à la faute F sur une copie justifient qu'on commette la faute F au tableau parce que ça va plus vite?
Ca c'est une toute autre question, mais à laquelle on peut encore répondre "oui" en rappelant qu'on n'est pas là pour enseigner les maths mais pour essayer de soulager la douleur de ces collégiens qui de toute façon ne continueront pas très longtemps cette matière.
Auquel cas, il n'est, c'est la position dominante depuis longtemps, absolument pas grave de raconter des choses fausses tout au long du collège à ces collégiens au nom du fait que ça facilite les relations sociales, les relations avec les parents d'élèves, avec les supérieurs hiérarchiques, etc. Mais j'attire tout de même l'attention sur le fait qu'il s'agit là d'une deuxième justification, très différente de la première. Il ne faut pas confondre les deux, car dans cette deuxième position on évoque ce qui est écrit par l'enseignant au tableau et non plus ce qui est écrit par l'enfant sur sa copie d'interrogation écrite.
Il devrait même être ajouté (c'est d'ailleurs essentiellement ce que demandent les directions pédagogiques maintenant) que la question d'Arturo n'a même plus vraiment de sens aujourd'hui, puisque les arguments évoqués légitiment tout autant de ne pas enseigner le théorème de Pythagore, qui est un résultat au carrefour des maths et de la physique et qui n'intéresse que les passionnés de maths.
Cependant, su run forum d'échanges sur internet entre gens de la profession, il me semble, je peux me tromper, qu'il est peut-être plus adéquat de ne pas entrer dans ces considérations, dont je ne conteste pas la légitimité politique mais qui par définition n'ont pas leur place légitime "ici", puisque sinon, où restera-t-il des endroits où l'élève curieux ou le visiteur divers peut trouver des maths correctes, si sur un forum consacré aux mathématiques "sérieuses", on affirme avec une certaine nervosité entrainante et des mouvements de menton un peu autoritaires que "c'est pas une faute grave"?
Par exemple, pour insister par une métaphore, les féministes ne réclament pas qu'il n'y ait plus de séparation toilettes hommes toilettes femmes au motif que les toilettes hommes rejetteraient les femmes. De même si à l'école pour des raisons sociales, on accepte le compromis de défendre un certain nombre de fautes, ou de les hiérarchiser, est-ce approprié d'en faire autant sur un forum dédié?
cordialement,
talal
Le fait de choisir le mot "faute", à connotation morale ("tu as mal fait") me paraît inquiétant. On se croirait revenu en 1970, quand des inspecteurs généraux et IPR incompétents passaient leur temps à chasser les mots mal employés ($x\mapsto \frac 1 x$ n'a pas de "domaine de définition" car un domaine est "d'un seul tenant" -aujourd'hui on dit connexe)
Cordialement.
Le mot faute est probablement mal choisi mais je n'en avais pas d'autre sous la main. Je suis preneur d'un mot plus correct. Mais en tout cas, il n'a pas de connotation morale: "faute d'orthographe, faute de maths, faute au tennis, hors-jeu au football,etc " ne sont pas morales.
La virulence de ta remarque semble indiquer que tu veux prendre une position mais je n'ai pas compris laquelle entre autre parce que tu évoques une époque très exactement opposée à tout point de vue à ce qui se fait aujourd'hui. Il est difficile de comprendre une intervention ou un article par exemple envoyé par un correspondant dans un topic où l'objectif est de soigner un obèse de 350kg qui risque la mort à chaque instant quand son auteur se situe explicitement comme un pourfendeur de méthodes qui étaient utilisées il y a 50 ans dans les départements cliniques qui traitaient les plus graves anorexies. J'ecris cette métaphore suite à ton évocation de ce qui se passait en 1970.
Tous les nombres sont non seulement positifs mais aussi entiers pour la quasi totalité des collégiens. "Tout le monde le sait à 13ans.
Bonne journée. Talal
Je me demande ce que tu penses que cette remarque manifestement fausse vient apporter au débat.
Pour prendre un exemple un peu moins outrancier que ceux que tu nous proposes, si un collégien te propose le calcul suivant :
$2x = 4$
$2x/2 = 4/2$
$x = 2$
vas-tu lui compter faux (et lui retirer des points) car il n'aura pas précisé $2 \ne 0$ ?
Faut-il sanctionner l'élève qui oublierait de dire « $-2 cm$ et $-30 cm$ mais comme une longueur est positive etc. » ?
j'ai détaillé au message qui précède celui de gérard et auquel il réagit. Tout est précisé. Je n'ai jamais recommandé de retrait de points, au contraire même, j'ai adoubé les témoignages disant que ce n'est pas possible en 2017, je ne comprends pas vos réactions.
Je me répète une dernière fois: la question est complexe et reçoit des réponses différentes selon le contexte où on se place pour répondre à Arturo. C'est lui qui a la main pour préciser sa demande, moi, je ne suis pas dans sa tête.
Je maintiens et conteste que c'est outrancier de dire que pour la plupart des lycéens et collégiens, les nombres sont tous positifs et même entiers, mais bien évidemment, pas quand on leur demande directement "crois-tu que tous les nombres sont entiers et positifs?". Ils répondent en majorité non à cette question, mais agissent presque toujours comme si c'était oui dans leurs copies.
Bon WE, Talal
Les nombres négatifs ne semblent pas leur poser de problème particulier... et c'est là aussi bien le problème : les élèves admettent difficilement les contraintes liées aux nombres négatifs, comme les parenthèses, le changement de sens dans les inégalités ou encore la règle des signes dans les multiplications (les élèves la connaissent par coeur mais l'appliquent rarement).
Tu vois, tu voulais bien dire "faute", c'est à dire erreur, malfaçon, mal fait, à ne pas faire ... Comme si c'était important. Je laisse de côté l'aspect moral, mais il reste l'importance. Pourquoi est-ce important ? A leur niveau, ça ne sert à rien (sauf à sanctionner pour le prof qui se croit supérieur et le manifeste ainsi), il n'y a pas de "manque de rigueur" (*), il ne peut en résulter aucune erreur. A plus haut niveau, on dira à celui qui, dans ces circonstances rajoute "parce qu'une longueur est un nombre positif" qu'il perd son temps, voire qu'il baratine pour cacher son incompétence sur le reste.
J'ai travaillé plus de 10 ans en "équipe de profs de maths", sur 2 puis 3 établissements (10 profs) à faire les préparations de cours et de devoirs en commun. Ça oblige à en rabattre sur le "il faut", vu que d'autres ne l'exigent pas et forment aussi bien les élèves.
Par contre, un autre collègue, qui n'a jamais fait partie de l'équipe, a dégouté des maths des générations d'élèves par ses "il faut/il ne faut pas".
Cordialement.
(*) la rigueur est ce qui sert à éviter les erreurs, pas l'imposition de règles d'écriture par le prof.
bon, je déroge à ma déclaration d'attendre un retour de Arturo pour préciser un point. Tu cherches vraiment à me faire "avouer" que je déclare:
"$a^2=9$ donc $a=3$" (1)
comme incorrect, et que je lui préfère:
"$a^2=9$ et $a\geq 0$ donc $a=3$ (2)
Mais ce n'est pas du tout l'essentiel de mon propos.
Par ailleurs, tu entretiens, peut-être involontairement, un malentendu en faisant comme si tu défendais (1) alors qu'en fait tu défends un genre de (2) où la présence implicite de "et $a\geq 0$" peut figurer en blanc sur blanc et ne pas apparaitre noir sur blanc. En fin du moins, je l'imagine, je ne veux pas te prêter d'intention, je ne suis pas dans ta tête, mais je ne veux pas non plus t'accuser de ne pas savoir l'incorrection de "$(-3)^2=9$ donc $(-3)=3$".
Mais je me suis apparemment mal exprimé car ce n'est pas du tout important dans mon propos et je ne voulais pas que ça le soit. J'estime avoir assez détaillé et j'invite à relire mon premier message, peut-être t'apercevras-tu du malentendu. Ton expérience (tes histoires de collègues) est trop particulière pour servir ici d'argument. Et puis d'argument pour défendre quelle position? Je n'ai toujours pas compris la tienne, car je n'ai pas l'impression qu'il y ait un gros désaccord entre nos expériences et pourtant tu t'adresses à moi comme si tu ressentais mon propos comme véhiculant une idéologie que tu veux combattre? :-S
Bon, cette fois-ci, bonne journée, si tu me réponds, je répondrai mais beaucoup plus tard, pardon pour mon absence.
Talal
Bon, je ne suis pas pour le retrait de points non plus.
Mais je suis pour déclarer oralement que la question qu'on se pose quand on cherche une longueur $AB$ telle que $AB^2=9 \quad cm^2 \quad$ n'est pas la même que chercher un nombre $x$ tel que $x^2=9$.
C'est ce qui me paraît le plus important dans le rôle du professeur de mathématiques.
Le choix des mots qu'on emploie véhicule toujours une idéologie. Je t'ai simplement fait remarquer qu'employer un mot lourd comme "faute" induisait du sens (qui n'est peut-être pas le tien, mais qui est là).
Et tu reviens sur du formel ("Tu cherches vraiment à me faire "avouer" que je déclare ...") tout en disant exactement ce que je dénonce : l'imposition d'une "forme" non nécessaire.
Bon inutile de continuer.
Cordialement.
$BC^2=9$ à $BC=3$ même en précisant $BC>0$.... Moi c'est zéro direct. Vous imaginez le mensonge qui se cache derrière. Arrivés, au lycée, ils vont écrire $5x^2=5x \times 5 x$, tout ça à cause de pédagogos sans rigueur !
Et oui, c'est ignoble, mais si on ne précise pas clairement les choses au départ. Et bien $BC^2=B \times C^2$ et non pas $BC \times BC$. Il y a un implicite insupportable spécifique à la géométrie.
Arturo tu seras prié de corriger ta pratique auprès de tes élèves, tu te mets en faute !
Badiste 75 : pourrais-tu m'expliquer pourquoi cela est différent stp ?
Zeitnot : est-ce que tu fais de l'humour ou ... ?
Je ne suis pas sûr de saisir.
Quel est l'erreur qui amène à mettre 0 à l'élève ?
Pourquoi Je me mets en faute ?
L'exemple BC^2 = B × C^2 est plutôt bien trouvé.
Merci pour vos réponses en tout cas.
effectivement, tu viens de préciser qu'il s'agit de barème ce qui élimine une branche possible de discussion. Pour les offensives humoristiques partisanes qui semblent toutes aller dans le même sens de la part de plusieurs participants ci dessus, ils oublient tous de préciser leur contexte. Bon il est vrai que l'humour supporte mal une conclusion sérieuse rabat joie. Cependant je mets en garde contre cette arme de persuasion pour trancher sur le fond.
Il peut y avoir aussi un petit danger de cacher ses turpitudes quand on est enseignant. Il n'y a pas de honte à ne pas savoir rédiger correctement. De très nombreux enseignants ont été jetés dans l'arène des classes sans aucun formation autre que pédagogique ce qui explique souvent leur usage d'un argot approximatif. Mais sans formation couteuse, ils peuvent très bien dire à leurs élèves "écoutez, je ne sais pas, je vous propose un truc moyennement valide, je préfère être honnête". Contrairement à un préjugé on n'y perd pas son autorité.
C'est tout de même plus sain que d'inventer a posteriori des campagnes politiques pour noyer le manque.
Bonne journée. Talal
Arturo dit exactement cela dans son premier message, je ne vois pas où tu vas chercher ce que tu affirmes.
@Arturo : zeitnot donnait dans le sarcasme pour mieux illustrer la portée des implicites dans notre enseignement. L'exemple de $BC^2 = B*C*C$ est savoureux.
il faudra tout de même que zeitnot précise s'il souhaitait mettre en garde justement contre l'incorrection desdits implicites pour inviter à progresser les personnes qui demandent ici de l'aide ou si son sarcasme comme tu dis souhaitait écraser d'une certaine manière , écraser au sens de faire taire, les critiques. A titre personnel, j'ai compris plutôt la deuxième option en le lisant. C'est un procédé extrêmement courant depuis la victoire du pedagogisme. Au lieu de dire "oui pardon j'ai été ambigu" de très nombreux enseignants préfèrent prétexter l'implicite.
Il est utile de rappeler que par essence, les maths n'ont pas le droit de contenir d'implicite. Bien sûr, elles en contiennent quand elles sont émises humainement, mais ce n'est JAMAIS quelque chose qui mérite de s'en vanter, voire de le revendiquer. Et encore moins de chercher à culpabiliser et mépriser des interlocuteurs non VIP qui osent poser des questions une fois mais qui n'y reviendront pas s'ils reçoivent sarcasme en guise de réponse.
Cordialement. Talal
S
*En fait à proprement parler ce n'est même pas vraiment un imolicite puisque probablement dès le début le prof aura dit quelque chose du genre "soit $x$ la longueur ..."
Mais il me semble que pour tout le monde (sauf ceux qui confirment la règle) $AB$ est bien une longueur lorsque le triangle s'appelle $AB?$.
Évidemment on pourrait trouver des produits matriciels, voire des produits de vecteurs (ligne/colonne)...
Mais on va poser la question "et si ce n'était pas une longueur...?".
Pour justement rappeler ce que l'on est en train de faire.
[Pour obtenir le lien d'un message :
passer la souris sur la recopie du titre dans le message concerné,
puis Clic droit > Copier l'adresse du lien
enfin Coller où cela est utile précédé et suivi de ' '.
AD]
je ne te visais pas en parlant des messages humoristiques.
cordialement,
Talal
Tant mieux, si j'en fais sourire certains.
Il y a les mathématiques et il y a la pédagogie. Plus précisément, il y a les mathématiques et puis ensuite, et de façon subordonnée, la question de leur enseignement. Commençons donc par examiner ce que l'on fera, par la suite, avec les notions de longueur et de surface.
- On se donne dans un plan euclidien, trois points $A,B,C$ et leurs coordonnées cartésiennes $\left(x_{A},y_{A}\right)$, etc. On pose \[ a^{2}=BC^{2}=pythagore\left(B,C\right)=\left(x_{B}-x_{C}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{C}\right)^{2} \] Lorsque les coordonnées sont rationnelles les pythagores $a^{2},$ etc. le sont aussi.
- On cherche un point $\Omega$, coordonnées $\left(x,y\right)$, situé à distance égale de $A,B,C$. On remarque que les équations $\Omega A^{2}-\Omega B^{2}$, etc., sont du premier degré en $x,y$. On trouve (discussion plus loin): \begin{eqnarray*} x & = & \dfrac{\left(y_{B}-y_{C}\right)\left(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}\right)+\left(y_{C}-y_{A}\right)\left(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}\right)+\left(y_{A}-y_{B}\right)\left(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}\right)}{2\,\left(x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}\right)}\\ y & = & \dfrac{\left(x_{C}-x_{B}\right)\left(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}\right)+\left(x_{A}-x_{C}\right)\left(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}\right)+\left(x_{B}-x_{A}\right)\left(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}\right)}{2\,\left(x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}\right)} \end{eqnarray*}
- Comme cela n'est pas très facile à mémoriser, on cherche une expression de $\Omega$ sous la forme \[ \left(p+q+r\right)\Omega=pA+qB+rC \] On substitue, on résoud (du verbe résoutre) et on utilise les pythagores. On obtient (à un facteur près, discussion plus loin) \[ \left(\begin{array}{c} p\\ q\\ r \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} a^{2}\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\\ b^{2}\left(+a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)\\ c^{2}\left(+a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) \end{array}\right) \]
- Et maintenant, discutons ces résultats. La somme $p+q+r$ du §3 est \[ p+q+r\simeq\left(+a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(+a-b+c\right)\left(+a+b-c\right)=16\,S^{2} \] La deuxième égalité est la formule de Heron, reliant les carrés des longueurs à la surface. La signification géométrique est évidente: un triangle plat n'est pas inscrit dans un cercle (au sens ordinaire de ce mot).
- Le dénominateur du §2 est 4 fois \[ \frac{1}{2}\,\left[\begin{array}{ccc} x_{A} & x_{B} & x_{C}\\ y_{A} & y_{B} & y_{C}\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]=S\left(A,B,C\right) \] A nouveau, la condition est $S\neq0$. Mais ici, $S$ n'est pas $\sqrt{S^{2}}$. Dans cette formule, $S$ est l'aire orientée du triangle. Pour ceux qui ignoreraient l'intérêt de cette notion, rappelons que les masses associées à un point $M$ sont $S\left(M,B,C\right):S\left(A,M,C\right):S\left(A,B,M\right)$... et que, dans le plan $\left(A,B,C\right)$, il existe des points $M$ qui n'appartiennent pas à l'intérieur du triangle $ABC$.
- Pédagogie. Lorsque l'on veut savoir par combien multiplier la masse surfacique d'une tôle pour obtenir le poids d'une plaque triangulaire, il convient en effet d'utiliser $\sqrt{S^{2}}$. Mais il n'est pas question d'abandonner la notion d'aire orientée sous prétexte qu'un pédago quelconque ne comprendrait pas pourquoi $S\left(A,B,C\right)>0$ implique $S\left(A,C,B\right)<0$. Par conséquent, les pédagos ont la consigne formelle de ne pas encombrer l'esprit des élèves par des sottises ressemblant à "une aire est forcément positive". En 4ème, une stratégie raisonnable est de ne pas mentionner cette problématique: une aire naturelle est mesurée par un nombre naturel. Et c'est tout.
- Et maintenant, demandons-nous ce que l'on peut dire du point $X$ défini par \[ \left(a+b+c\right)X=aA+bB+cC \] Calculons la distance entre ce point et la droite $BC$. On a: \begin{gather*} X\simeq\left(\begin{array}{c} ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}\\ ay_{A}+by_{B}+cy_{C}\\ a+b+c \end{array}\right)\;;\;BC\simeq B\wedge C=\left[y_{B}-y_{C}\;;\;x_{C}-x_{B}\;;\;x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}\right]\\ d\left(BC,X\right)=\dfrac{a\left(x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}\right)}{\left(a+b+c\right)\sqrt{\left(y_{B}-y_{C}\right)^{2}+\left(-x_{B}+x_{C}\right)^{2}}}=\frac{2aS}{\left(a+b+c\right)\sqrt{a^{2}}} \end{gather*}
- Si l'on se place dans un contexte de géométrie contemplative, on définit $a\doteq\sqrt{a^{2}}$, $b\doteq\sqrt{b^{2}}$, $c\doteq\sqrt{c^{2}}$. Et alors, on a obtenu un point $X_{0}\left(a,b,c\right)$ qui est à la même distance absolue $r_{0}=2S/\left(a+b+c\right)$ des trois côtés du triangle. On obtient aussi un point $X_{a}\left(-a,b,c\right)$ qui est à la même distance absolue $r_{a}=2S/\left(-a+b+c\right)$ des trois côtés du triangle. Et en plus $X_{0}$ et $X_{a}$ sont de part et d'autre de la droite $BC$. On a donc un cercle inscrit et trois cercles exinscrits.
- Si l'on se place dans un contexte de géométrie dynamique, les cercles in-exinscrits deviennent indiscernables et il convient de les regarder comme les éléments d'une orbite sous l'action d'un groupe de Klein (les transformations de Lemoine).
- Pédagogie. Lorsque l'on veut savoir par combien multiplier la masse linéique pour obtenir le poids d'une longueur d'un fer à béton de section donnée, il convient en effet d'utiliser $\sqrt{a^{2}}$. Mais il n'est pas question d'abandonner la notion de distance orientée d'un point à une droite sous prétexte qu'un pédago quelconque ne comprendrait pas pourquoi $d\left(X_{0},BC\right)>0$ implique $d\left(X_{a},BC\right)<0$. Par conséquent, les pédagos ont la consigne formelle de ne pas encombrer l'esprit des élèves par des sottises ressemblant à "la distance d'un point à une droite est forcément positive". En 4ème, une stratégie raisonnable est de ne pas mentionner cette problématique: une distance naturelle est mesurée par un nombre naturel. Et c'est tout.
- Plus généralement, l'intérêt de considérer des grandeurs algébriques doit être mis en place progressivement. Il n'est pas question d'introduire immédiatement ces grandeurs. Mise en place progressive veut dire exposition successive et raisonnée à des situations où attribuer un signe à ces quantités est utile, c'est à dire confère une efficacité supérieure. Tant que ce n'est pas utile, il convient de ne rien faire, ni d'attribuer un signe à ces quantités, ni de prétendre que ce n'est pas possible.
- Donc un triangle rectangle $ABC$ avec $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2},$ $AB=3$, $BC=4$ conduit à $AC=5$. Dans ce contexte, la réponse $AC=+5$ est tout aussi absurde que $AC=-5.$ Par contre, nous avons $\overline{AC}=-5\implies\overline{CA}=+5$ et conversely.
En résumé: d'abord ne pas nuire. Ne pas obliger les enseignants ultérieurs à démentir ce que vous aurez enseigné.$\,$
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Cordialement, Pierre.
Trop d'élèves de lycée oublient la solution négative dans x2=4 ...