Longueur positive et théorème de Pythagore

Bonjour Arturo,
je pense que personne ne dira que tu manques de rigueur, si tu ne fais pas écrire cette justification à tes élèves, sois sans crainte ! Bien sûr, je ne le fais pas non plus.

Je pense qu'il faut s'arrêter quelques minutes et demander à la classe «Au fait, voyez-vous d'autres nombres qui ont pour carré "9" ? ».
Je pense que cela suffit.

Rappelons-nous "la" preuve format collège : cela revient à chercher la longueur d'un carré dont l'aire est 9 $cm^2$.

Par exemple, si on cherche les dimensions $x$ et $y$ d'un rectangle dont l'aire est 10 $cm^2$, je suis certain que personne ne rédige en disant que $x$ et $y$ sont positifs.

Encore une fois, s'arrêter pour poser une question plus générale est conseillé.

Il est vrai qu'on voit trop souvent ensuite, au lycée, des "$x^2=9$ donc $x=3$".

Je m'interroge aussi pour savoir si on peut démontrer que pour les longueurs on a une unique solution...ce qui se fait en seconde en démontrant la stricte croissance de la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ sur le bon ensemble de definition...encore faut-il ne pas se faire mordre la queue au serpent...

Je ne suis pas enseignant .

Lorsque j'ai moi même j' étais au collège,notre prof. de 3eme (2001-2002) nous demandais d' ’écrire une phrase de ce type:

"comme une distance est positive , alors ..."

il nous avait expliqué de ne pas le mettre c'était pénalisant au brevet

Je ne demande pas à mes élèves de préciser cela.

Franchement, il y a déjà bien assez d'autres erreurs ou manquements à corriger chez la plupart :

- Absence de toute rédaction : dans quel triangle on se place, quel théorème on invoque ...

- Oublis des exposants 2 ou alors des exposants 2 même après avoir pris la racine.

- Erreur(s) dans l'écriture de l'égalité de Pythagore, surtout lorsqu'il s'agit de calculer un côté de l'angle droit...

- Erreur dans les calculs des carrés (même avec la calculatrice...)

- Erreur d'arrondi de la racine carrée

Bref, c'est déjà lourd.

Le faites-vous en particulier roumegaire ?

S

Que fais-je en particulier ?

Il est clair que je le mentionne pendant le cours (et à peu près à chaque fois que je passe à la racine), mais je n'attends pas des élèves que ce soit précisé dans chaque exercice.

De la même façon lorsque je m'adresse à des élèves en spécialité ES, sachant qu'ils n'aborderont pas les nombres complexes au lycée (et probablement jamais), je m'autorise l'écart de langage "un carré est toujours positif" plutôt que "le carré d'un nombre réel est toujours positif". Et ce principalement parce que je le répète 10 fois par jour. Avant de considérer que les élèves puissent se sentir "trahi(e)s" dans le futur, j'aimerais déjà avoir des calculs justes maintenant.

Bonjour.

En répondant, nous n'avons pas précisé nos contextes. Arturo demande: "faites-vous écrire à vos élèves....", que l'on peut interpréter autant comme "écrivez-vous..." que comme "retirez-vous des points quand ils écrivent que..."

Or ces différences interprétations admettent des réponses, hélas, radicalement différentes selon les opinions politiques des personnes qui répondent et des objectifs qu'elles s'assignent.

Bien évidemment, comme il a été rappelé réalistement, si on s'entretient "entre collègues" de comment ne pas avoir des moyennes de classe à 0.4/20 et qu'on écarte la question purement mathématique, il est tout à fait consensuel de signaler qu'il n'est pas possible de retirer les points pour cette faute. Comme il a été dit, il est déjà difficile de mettre des points aux textes habituellement par les élèves en regard de choses beaucoup plus insensées qui jalonnent les copies.

Et ce n'est pas tout, car les collègues savent bien que pour les rares élèves qui comprennent ce qu'ils écrivent eux-mêmes et aiment bien les maths, il n'est pas grave de passer sur cette faute qui sera recorrigée ensuite par l'enseignant de lycée, alors que paradoxalement, les écriveurs-réciteurs automatiques, à qui il est très difficile de mettre au moins 1 point, seront les plus pénalisés et trahis par la non pénalisation de cette faute.

Par contre, ça ne tient pas lieu de justification ce qu'on écrit au tableau, car la question est est-ce que les points qu'on ne retire pas face à la faute F sur une copie justifient qu'on commette la faute F au tableau parce que ça va plus vite?

Ca c'est une toute autre question, mais à laquelle on peut encore répondre "oui" en rappelant qu'on n'est pas là pour enseigner les maths mais pour essayer de soulager la douleur de ces collégiens qui de toute façon ne continueront pas très longtemps cette matière.

Auquel cas, il n'est, c'est la position dominante depuis longtemps, absolument pas grave de raconter des choses fausses tout au long du collège à ces collégiens au nom du fait que ça facilite les relations sociales, les relations avec les parents d'élèves, avec les supérieurs hiérarchiques, etc. Mais j'attire tout de même l'attention sur le fait qu'il s'agit là d'une deuxième justification, très différente de la première. Il ne faut pas confondre les deux, car dans cette deuxième position on évoque ce qui est écrit par l'enseignant au tableau et non plus ce qui est écrit par l'enfant sur sa copie d'interrogation écrite.

Il devrait même être ajouté (c'est d'ailleurs essentiellement ce que demandent les directions pédagogiques maintenant) que la question d'Arturo n'a même plus vraiment de sens aujourd'hui, puisque les arguments évoqués légitiment tout autant de ne pas enseigner le théorème de Pythagore, qui est un résultat au carrefour des maths et de la physique et qui n'intéresse que les passionnés de maths.

Cependant, su run forum d'échanges sur internet entre gens de la profession, il me semble, je peux me tromper, qu'il est peut-être plus adéquat de ne pas entrer dans ces considérations, dont je ne conteste pas la légitimité politique mais qui par définition n'ont pas leur place légitime "ici", puisque sinon, où restera-t-il des endroits où l'élève curieux ou le visiteur divers peut trouver des maths correctes, si sur un forum consacré aux mathématiques "sérieuses", on affirme avec une certaine nervosité entrainante et des mouvements de menton un peu autoritaires que "c'est pas une faute grave"?

Par exemple, pour insister par une métaphore, les féministes ne réclament pas qu'il n'y ait plus de séparation toilettes hommes toilettes femmes au motif que les toilettes hommes rejetteraient les femmes. De même si à l'école pour des raisons sociales, on accepte le compromis de défendre un certain nombre de fautes, ou de les hiérarchiser, est-ce approprié d'en faire autant sur un forum dédié?

cordialement,
talal

Bonjour Gérard,

Le mot faute est probablement mal choisi mais je n'en avais pas d'autre sous la main. Je suis preneur d'un mot plus correct. Mais en tout cas, il n'a pas de connotation morale: "faute d'orthographe, faute de maths, faute au tennis, hors-jeu au football,etc " ne sont pas morales.

La virulence de ta remarque semble indiquer que tu veux prendre une position mais je n'ai pas compris laquelle entre autre parce que tu évoques une époque très exactement opposée à tout point de vue à ce qui se fait aujourd'hui. Il est difficile de comprendre une intervention ou un article par exemple envoyé par un correspondant dans un topic où l'objectif est de soigner un obèse de 350kg qui risque la mort à chaque instant quand son auteur se situe explicitement comme un pourfendeur de méthodes qui étaient utilisées il y a 50 ans dans les départements cliniques qui traitaient les plus graves anorexies. J'ecris cette métaphore suite à ton évocation de ce qui se passait en 1970.

Tous les nombres sont non seulement positifs mais aussi entiers pour la quasi totalité des collégiens. "Tout le monde le sait à 13ans.

Bonne journée. Talal

Ou alors : trouver tous les rectangles d'aire $60 cm^2$ dont les côtés sont des nombres entiers de $cm$.

Faut-il sanctionner l'élève qui oublierait de dire « $-2 cm$ et $-30 cm$ mais comme une longueur est positive etc. » ?

Au contraire (et c'est bien là le problème), les élèves du collège m'ont l'air "accros" aux nombres décimaux. Ils/elles n'admettent pas qu'un calcul puisse se terminer à $\sqrt{2}$ ou $\frac{3}{2}$. Dans leur tête un calcul n'est pas terminé tant qu'on en a pas donné une expression décimale, aussi approximative soit-elle. C'est particulièrement problématique en seconde où le calcul plus formel prend une place grandissante (sans parler de la première et du sacro-saint "delta").

Les nombres négatifs ne semblent pas leur poser de problème particulier... et c'est là aussi bien le problème : les élèves admettent difficilement les contraintes liées aux nombres négatifs, comme les parenthèses, le changement de sens dans les inégalités ou encore la règle des signes dans les multiplications (les élèves la connaissent par coeur mais l'appliquent rarement).

Rebonjour Gérard,

bon, je déroge à ma déclaration d'attendre un retour de Arturo pour préciser un point. Tu cherches vraiment à me faire "avouer" que je déclare:

"$a^2=9$ donc $a=3$" (1)

comme incorrect, et que je lui préfère:

"$a^2=9$ et $a\geq 0$ donc $a=3$ (2)

Mais ce n'est pas du tout l'essentiel de mon propos.

Par ailleurs, tu entretiens, peut-être involontairement, un malentendu en faisant comme si tu défendais (1) alors qu'en fait tu défends un genre de (2) où la présence implicite de "et $a\geq 0$" peut figurer en blanc sur blanc et ne pas apparaitre noir sur blanc. En fin du moins, je l'imagine, je ne veux pas te prêter d'intention, je ne suis pas dans ta tête, mais je ne veux pas non plus t'accuser de ne pas savoir l'incorrection de "$(-3)^2=9$ donc $(-3)=3$".

Mais je me suis apparemment mal exprimé car ce n'est pas du tout important dans mon propos et je ne voulais pas que ça le soit. J'estime avoir assez détaillé et j'invite à relire mon premier message, peut-être t'apercevras-tu du malentendu. Ton expérience (tes histoires de collègues) est trop particulière pour servir ici d'argument. Et puis d'argument pour défendre quelle position? Je n'ai toujours pas compris la tienne, car je n'ai pas l'impression qu'il y ait un gros désaccord entre nos expériences et pourtant tu t'adresses à moi comme si tu ressentais mon propos comme véhiculant une idéologie que tu veux combattre? :-S

Bon, cette fois-ci, bonne journée, si tu me réponds, je répondrai mais beaucoup plus tard, pardon pour mon absence.

Talal

"comme si tu ressentais mon propos comme véhiculant une idéologie que tu veux combattre?"

Le choix des mots qu'on emploie véhicule toujours une idéologie. Je t'ai simplement fait remarquer qu'employer un mot lourd comme "faute" induisait du sens (qui n'est peut-être pas le tien, mais qui est là).

Et tu reviens sur du formel ("Tu cherches vraiment à me faire "avouer" que je déclare ...") tout en disant exactement ce que je dénonce : l'imposition d'une "forme" non nécessaire.

Bon inutile de continuer.

Cordialement.

La définition de la racine carrée justifie que racine de 9 = 3 et en aucun cas que AB^2 = 9 implique AB = racine de 9. Si une longueur n’était pas forcément positive on aurait aussi -Racine de 9, donc -3. Donc considérer que la définition de la racine carrée dispense de parler de distance comme justification à la positivité comme tu l’as dit au départ est une erreur Arturo.

X:-(Très amusant !

Bonjour Arturo,

effectivement, tu viens de préciser qu'il s'agit de barème ce qui élimine une branche possible de discussion. Pour les offensives humoristiques partisanes qui semblent toutes aller dans le même sens de la part de plusieurs participants ci dessus, ils oublient tous de préciser leur contexte. Bon il est vrai que l'humour supporte mal une conclusion sérieuse rabat joie. Cependant je mets en garde contre cette arme de persuasion pour trancher sur le fond.


Il peut y avoir aussi un petit danger de cacher ses turpitudes quand on est enseignant. Il n'y a pas de honte à ne pas savoir rédiger correctement. De très nombreux enseignants ont été jetés dans l'arène des classes sans aucun formation autre que pédagogique ce qui explique souvent leur usage d'un argot approximatif. Mais sans formation couteuse, ils peuvent très bien dire à leurs élèves "écoutez, je ne sais pas, je vous propose un truc moyennement valide, je préfère être honnête". Contrairement à un préjugé on n'y perd pas son autorité.

C'est tout de même plus sain que d'inventer a posteriori des campagnes politiques pour noyer le manque.

Bonne journée. Talal

Bonjour roumegaire,

il faudra tout de même que zeitnot précise s'il souhaitait mettre en garde justement contre l'incorrection desdits implicites pour inviter à progresser les personnes qui demandent ici de l'aide ou si son sarcasme comme tu dis souhaitait écraser d'une certaine manière , écraser au sens de faire taire, les critiques. A titre personnel, j'ai compris plutôt la deuxième option en le lisant. C'est un procédé extrêmement courant depuis la victoire du pedagogisme. Au lieu de dire "oui pardon j'ai été ambigu" de très nombreux enseignants préfèrent prétexter l'implicite.

Il est utile de rappeler que par essence, les maths n'ont pas le droit de contenir d'implicite. Bien sûr, elles en contiennent quand elles sont émises humainement, mais ce n'est JAMAIS quelque chose qui mérite de s'en vanter, voire de le revendiquer. Et encore moins de chercher à culpabiliser et mépriser des interlocuteurs non VIP qui osent poser des questions une fois mais qui n'y reviendront pas s'ils reçoivent sarcasme en guise de réponse.

Cordialement. Talal

Haha, @samok, j'ai pensé la même chose ;-)

Oui.
Mais il me semble que pour tout le monde (sauf ceux qui confirment la règle) $AB$ est bien une longueur lorsque le triangle s'appelle $AB?$.
Évidemment on pourrait trouver des produits matriciels, voire des produits de vecteurs (ligne/colonne)...

Oui, c'est cela, on ne va pas chercher.

Mais on va poser la question "et si ce n'était pas une longueur...?".

Pour justement rappeler ce que l'on est en train de faire.

Bonjour Shah (et aux autres),

je ne te visais pas en parlant des messages humoristiques.

cordialement,
Talal

C'était un excellent exemple d'ailleurs et totalement réaliste. Mais je doute que tant de gens que ça en connaissent le caractère réaliste. Beaucoup doivent se dire "non, quand-même pas".

Bonjour,


Il y a les mathématiques et il y a la pédagogie. Plus précisément, il y a les mathématiques et puis ensuite, et de façon subordonnée, la question de leur enseignement. Commençons donc par examiner ce que l'on fera, par la suite, avec les notions de longueur et de surface.

1. On se donne dans un plan euclidien, trois points $A,B,C$ et leurs coordonnées cartésiennes $\left(x_{A},y_{A}\right)$, etc. On pose \[ a^{2}=BC^{2}=pythagore\left(B,C\right)=\left(x_{B}-x_{C}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{C}\right)^{2} \] Lorsque les coordonnées sont rationnelles les pythagores $a^{2},$ etc. le sont aussi.
   
   $\,$
2. On cherche un point $\Omega$, coordonnées $\left(x,y\right)$, situé à distance égale de $A,B,C$. On remarque que les équations $\Omega A^{2}-\Omega B^{2}$, etc., sont du premier degré en $x,y$. On trouve (discussion plus loin): \begin{eqnarray*} x & = & \dfrac{\left(y_{B}-y_{C}\right)\left(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}\right)+\left(y_{C}-y_{A}\right)\left(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}\right)+\left(y_{A}-y_{B}\right)\left(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}\right)}{2\,\left(x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}\right)}\\ y & = & \dfrac{\left(x_{C}-x_{B}\right)\left(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}\right)+\left(x_{A}-x_{C}\right)\left(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}\right)+\left(x_{B}-x_{A}\right)\left(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}\right)}{2\,\left(x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}\right)} \end{eqnarray*}
   
   
   $\,$
3. Comme cela n'est pas très facile à mémoriser, on cherche une expression de $\Omega$ sous la forme \[ \left(p+q+r\right)\Omega=pA+qB+rC \] On substitue, on résoud (du verbe résoutre) et on utilise les pythagores. On obtient (à un facteur près, discussion plus loin) \[ \left(\begin{array}{c} p\\ q\\ r \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} a^{2}\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\\ b^{2}\left(+a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)\\ c^{2}\left(+a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) \end{array}\right) \]
   
   
   $\,$
4. Et maintenant, discutons ces résultats. La somme $p+q+r$ du §3 est \[ p+q+r\simeq\left(+a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(+a-b+c\right)\left(+a+b-c\right)=16\,S^{2} \] La deuxième égalité est la formule de Heron, reliant les carrés des longueurs à la surface. La signification géométrique est évidente: un triangle plat n'est pas inscrit dans un cercle (au sens ordinaire de ce mot).
   
   $\,$
5. Le dénominateur du §2 est 4 fois \[ \frac{1}{2}\,\left[\begin{array}{ccc} x_{A} & x_{B} & x_{C}\\ y_{A} & y_{B} & y_{C}\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]=S\left(A,B,C\right) \] A nouveau, la condition est $S\neq0$. Mais ici, $S$ n'est pas $\sqrt{S^{2}}$. Dans cette formule, $S$ est l'aire orientée du triangle. Pour ceux qui ignoreraient l'intérêt de cette notion, rappelons que les masses associées à un point $M$ sont $S\left(M,B,C\right):S\left(A,M,C\right):S\left(A,B,M\right)$... et que, dans le plan $\left(A,B,C\right)$, il existe des points $M$ qui n'appartiennent pas à l'intérieur du triangle $ABC$.
   
   $\,$
6. Pédagogie. Lorsque l'on veut savoir par combien multiplier la masse surfacique d'une tôle pour obtenir le poids d'une plaque triangulaire, il convient en effet d'utiliser $\sqrt{S^{2}}$. Mais il n'est pas question d'abandonner la notion d'aire orientée sous prétexte qu'un pédago quelconque ne comprendrait pas pourquoi $S\left(A,B,C\right)>0$ implique $S\left(A,C,B\right)<0$. Par conséquent, les pédagos ont la consigne formelle de ne pas encombrer l'esprit des élèves par des sottises ressemblant à "une aire est forcément positive". En 4ème, une stratégie raisonnable est de ne pas mentionner cette problématique: une aire naturelle est mesurée par un nombre naturel. Et c'est tout.
   
   $\,$
7. Et maintenant, demandons-nous ce que l'on peut dire du point $X$ défini par \[ \left(a+b+c\right)X=aA+bB+cC \] Calculons la distance entre ce point et la droite $BC$. On a: \begin{gather*} X\simeq\left(\begin{array}{c} ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}\\ ay_{A}+by_{B}+cy_{C}\\ a+b+c \end{array}\right)\;;\;BC\simeq B\wedge C=\left[y_{B}-y_{C}\;;\;x_{C}-x_{B}\;;\;x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}\right]\\ d\left(BC,X\right)=\dfrac{a\left(x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}\right)}{\left(a+b+c\right)\sqrt{\left(y_{B}-y_{C}\right)^{2}+\left(-x_{B}+x_{C}\right)^{2}}}=\frac{2aS}{\left(a+b+c\right)\sqrt{a^{2}}} \end{gather*}
   
   
   $\,$
8. Si l'on se place dans un contexte de géométrie contemplative, on définit $a\doteq\sqrt{a^{2}}$, $b\doteq\sqrt{b^{2}}$, $c\doteq\sqrt{c^{2}}$. Et alors, on a obtenu un point $X_{0}\left(a,b,c\right)$ qui est à la même distance absolue $r_{0}=2S/\left(a+b+c\right)$ des trois côtés du triangle. On obtient aussi un point $X_{a}\left(-a,b,c\right)$ qui est à la même distance absolue $r_{a}=2S/\left(-a+b+c\right)$ des trois côtés du triangle. Et en plus $X_{0}$ et $X_{a}$ sont de part et d'autre de la droite $BC$. On a donc un cercle inscrit et trois cercles exinscrits.
   
   $\,$
9. Si l'on se place dans un contexte de géométrie dynamique, les cercles in-exinscrits deviennent indiscernables et il convient de les regarder comme les éléments d'une orbite sous l'action d'un groupe de Klein (les transformations de Lemoine).
   
   $\,$
10. Pédagogie. Lorsque l'on veut savoir par combien multiplier la masse linéique pour obtenir le poids d'une longueur d'un fer à béton de section donnée, il convient en effet d'utiliser $\sqrt{a^{2}}$. Mais il n'est pas question d'abandonner la notion de distance orientée d'un point à une droite sous prétexte qu'un pédago quelconque ne comprendrait pas pourquoi $d\left(X_{0},BC\right)>0$ implique $d\left(X_{a},BC\right)<0$. Par conséquent, les pédagos ont la consigne formelle de ne pas encombrer l'esprit des élèves par des sottises ressemblant à "la distance d'un point à une droite est forcément positive". En 4ème, une stratégie raisonnable est de ne pas mentionner cette problématique: une distance naturelle est mesurée par un nombre naturel. Et c'est tout.
    
    $\,$
11. Plus généralement, l'intérêt de considérer des grandeurs algébriques doit être mis en place progressivement. Il n'est pas question d'introduire immédiatement ces grandeurs. Mise en place progressive veut dire exposition successive et raisonnée à des situations où attribuer un signe à ces quantités est utile, c'est à dire confère une efficacité supérieure. Tant que ce n'est pas utile, il convient de ne rien faire, ni d'attribuer un signe à ces quantités, ni de prétendre que ce n'est pas possible.
    
    $\,$
12. Donc un triangle rectangle $ABC$ avec $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2},$ $AB=3$, $BC=4$ conduit à $AC=5$. Dans ce contexte, la réponse $AC=+5$ est tout aussi absurde que $AC=-5.$ Par contre, nous avons $\overline{AC}=-5\implies\overline{CA}=+5$ et conversely.

En résumé: d'abord ne pas nuire. Ne pas obliger les enseignants ultérieurs à démentir ce que vous aurez enseigné.

Cordialement, Pierre.