Prendre la racine cubique dans une congruence

Mais le problème n'est pas la, le problème est qu'il justifie les équivalences en disant qu'il prend la racine cubique des congruences à gauche pour obtenir celles de droite.

Ma correction sur cette question :

Montrons que $x^3\equiv 0 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 0 [3]$

$\looparrowright$ Montrons que $x^3\equiv 0 [9]\Longrightarrow x\equiv 0 [3]$

D'après (a), $x^3\equiv 0 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 0 [9] \text{ ou } x\equiv 3 [9] \text{ ou } x\equiv 6 [9]$.

Si $x\equiv 0[9]$ alors $x=9k, k\in\Z$, donc $x=3(3k)$, $3k\in\Z$, donc $x\equiv 0[3]$.

Si $x\equiv 3[9]$ alors $x=3+9k, k\in\Z$, donc $x=3(1+3k)$, $1+3k\in\Z$, donc $x\equiv 0[3]$.

Si $x\equiv 6[9]$ alors $x=6+9k, k\in\Z$, donc $x=3(2+3k)$, $2+3k\in\Z$, donc $x\equiv 0[3]$.

Donc $x^3\equiv 0 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 0 [9] \text{ ou } x\equiv 3 [9] \text{ ou } x\equiv 6 [9] \Rightarrow x\equiv 0[3]$

$\looparrowright$ Montrons que $x\equiv 0 [3] \Longrightarrow x^3\equiv 0 [9]$

Si $x\equiv 0[3]$ alors $x=3k, k\in\Z$ donc $x^3=3^3k^3=27k^3=9(3k^3), 3k^3\in\Z$, donc $x^3\equiv 0[9]$.



Montrons que $x^3\equiv 1 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 1 [3]$

$\looparrowright$ Montrons que $x^3\equiv 1 [9]\Longrightarrow x\equiv 1 [3]$

D'après (a), $x^3\equiv 1 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 1 [9] \text{ ou } x\equiv 4 [9] \text{ ou } x\equiv 7 [9]$.

Si $x\equiv 1[9]$ alors $x=1+9k, k\in\Z$, donc $x=1+3(3k)$, $3k\in\Z$, donc $x\equiv 1[3]$.

Si $x\equiv 4[9]$ alors $x=4+9k, k\in\Z$, donc $x=1+3(1+3k)$, $1+3k\in\Z$, donc $x\equiv 1[3]$.

Si $x\equiv 7[9]$ alors $x=7+9k, k\in\Z$, donc $x=1+3(2+3k)$, $2+3k\in\Z$, donc $x\equiv 1[3]$.

Donc $x^3\equiv 1 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 1 [9] \text{ ou } x\equiv 4 [9] \text{ ou } x\equiv 7 [9] \Rightarrow x\equiv 1[3]$

$\looparrowright$ Montrons que $x\equiv 1 [3]\Longrightarrow x^3\equiv 1 [9]$

Si $x\equiv 1[3]$ alors $x=1+3k, k\in\Z$ donc
$$x^3=1^3+3\times 1^2\times (3k)+3\times 1\times (3k)^2+ (3k)^3=1+9(k+3k^2+3k^3), (k+3k^2+3k^3),\in\Z$$
donc $x^3\equiv 1[9]$.



Montrons que $x^3\equiv 8 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 2 [3]$

$\looparrowright$ Montrons que $x^3\equiv 8 [9]\Longrightarrow x\equiv 2 [3]$

D'après (a), $x^3\equiv 8 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 2 [9] \text{ ou } x\equiv 5 [9] \text{ ou } x\equiv 8 [9]$.

Si $x\equiv 2[9]$ alors $x=2+9k, k\in\Z$, donc $x=2+3(3k)$, $3k\in\Z$, donc $x\equiv 2[3]$.

Si $x\equiv 5[9]$ alors $x=5+9k, k\in\Z$, donc $x=2+3(1+3k)$, $1+3k\in\Z$, donc $x\equiv 2[3]$.

Si $x\equiv 8[9]$ alors $x=8+9k, k\in\Z$, donc $x=2+3(2+3k)$, $2+3k\in\Z$, donc $x\equiv 2[3]$.

Donc $x^3\equiv 8 [9]\Longleftrightarrow x\equiv 2 [9] \text{ ou } x\equiv 5 [9] \text{ ou } x\equiv 8 [9] \Rightarrow x\equiv 2[3]$

$\looparrowright$ Montrons que $x\equiv 2 [3]\Longrightarrow x^3\equiv 8 [9]$

Si $x\equiv 2[3]$ alors $x=2+3k, k\in\Z$ donc
$$x^3=2^3+3\times 2^2\times (3k)+3\times 2\times (3k)^2+ (3k)^3=8+9(2^2k+3\times 2k^2k^2+3k^3), (2^2k+3\times 2k^2k^2+3k^3),\in\Z$$
donc $x^3\equiv 2[9]$.

Oui mais ici le modulo change (on passe de 9 à 3). Dans la propriété du cours, le modulo n est le même.

Par exemple, je pourrais dire que si $x$ congru à 0 modulo 3 alors $x^3$ congru à $0^3$ modulo 3 soit $x^3$ congru à 0 modulo 3.
Le problème est qu'un multiple de 3 n'est pas forcément un multiple de 9 donc je ne peux pas passer directement à $x^3$ congru à 0 modulo 9.

Bonjour.
Voici le tableau de $x^3 \pmod 9$ selon les valeurs de $x$ : $$
\begin{array}{r|ccccccccc}
x\pmod 9 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
x^3 \pmod 9 & 0 & 1 & 8 & 0 & 1 & 8 & 0 & 1 & 8
\end{array}
$$ Je ne vois pas comment on peut déduire directement les équivalences demandées.
Plusieurs élèves ont mis que l'on passait des membres de gauches aux membres de droites dans les équivalences en prenant la racine cubique (des deux membres de la congruence et du modulo)... Ce qui n'est évidemment pas dans le cours.

Merci beaucoup !!!!! (tu)(:D