Géométrie dans l'espace

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour

On considère une pyramide $SABCD $ de sommet $S$. $I$ est le milieu de $[SA]$ et $J$ est le milieu de $[SD]$. On souhaite démontrer que la droite $(IJ)$ et le plan $(ABC)$ sont parallèles.

Pouvez-vous me dire si la correction suivante est correcte et s'il ne manque aucune justification ?

Considérons le triangle $ADS$. Comme $I$ est le milieu de $[SA]$ alors $\dfrac{SI}{SA}=\dfrac{1}{2}$ et comme $J$ est le milieu de $[SD]$ alors $\dfrac{SJ}{SD}=\dfrac{1}{2}$. Donc dans le triangle $SDA$, $\dfrac{SI}{SA}=\dfrac{SJ}{SD}$. D'après la réciproque du théorème de Thalès, la droite $(IJ)$ est parallèle à la droite $(DA)$. Or la droite $(DA)$ est incluse dans le plan $(ABC)$. Donc $(IJ)$ est parallèle au plan $(ABC)$.

Merci.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si une droite D est parallèle à une droite d ; et si d appartient à un plan P, on ne peut pas conclure que la droite D est parallèle au plan P.

    Il faut en plus que les droites D et d soient dans le même plan.

    Donc pour la rédaction de la solution, je préfère ajouter : la droite (IJ) et la droite (DA) sont parallèles et coplanaires ; la droite (DA) appartient au plan ABC : donc la droite (IJ) est parallèle ou dans le plan ABC. Comme les points I et J ne sont pas dans le plan ABC, alors la droite (IJ) est parallèle au plan ABC.
  • Balix
    Balix
    Si une droite D est parallèle à une droite d ; et si d appartient à un plan P, on ne peut pas conclure que la droite D est parallèle au plan P.

    Il faut en plus que les droites D et d soient dans le même plan.

    Il me semble que dans l'espace, 2 droites parallèles sont forcément coplanaires .
    Si elles sont confondues, ...
    Si elle sont strictement parallèles, elles caractérisent un plan.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Non. Trouve un contre exemple.

    Dans le repère O, i, j, k on note A le point (0,0,1) : la droite Oj et la droite Ai sont parallèles et non coplanaires.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Heu, des droites parallèles sont coplanaires dans l’espace, ce sont des droites qui ont des vecteurs directeurs colinéaires.
    À moins que tu n’entendes par parallèles des droites sans point commun.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • zeitnot
    zeitnot
    Par définitions deux droites parallèles sont coplanaires. Les droites données par YvesM ne sont pas parallèles.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • zeitnot
    zeitnot
    Sinon bulledesavon, ta démonstration me semble très bien.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Des droites pas coplanaires n'ont pas même le bon goût de se rencontrer à l'infini.

    L'avantage de faire de la géométrie dans l'espace, c'est que personne ne vous entend crier.

    Je suis sorti.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    J’ai appris quelque chose. Merci. Je pensais que parallèle signifiait sans point commun ou confondu. Comme quoi il est bon de connaître les définitions.

    Êtes-vous d’accord pour dire qu’une droite qui appartient a un plan est parallèle à ce plan ? Si non, alors il faut justifier que la droite (IJ) n’est pas dans le plan ABC, n’est-ce pas ?
  • zeitnot
    zeitnot
    Oui, je suis d'accord pour dire ça. (ça ne veut pas dire que j'ai raison. ;-) )

    Par contre, j'espère ne pas dire d'ânerie.
    Je dis :
    "(d) strictement parallèle un plan." Pour dire que (d) est parallèle à un plan sans être incluse.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Balix
    Balix
    Pareil
  • bulledesavon
    bulledesavon
    OK. Donc je ne change rien à la rédaction de la solution.
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