Section d'un plan et d'un tétraèdre

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

On considère un tétraèdre ABCD. M est un point de la face ABD, N un point de [AC] et R un point de [CD] tels que (AD) et (NR) ne sont pas parallèles.

On cherche à construire la section du tétraèdre ABCD par le plan (MNR).

Je bloque sur cette construction.

Je pense que l'intersection du plan sur la face ACD est le segment [NR].
En effet N et R sont dans le plan (MNR) donc la droite (NR) y est également et a fortiori le segment [NR]. De plus, N et R sont également deux points de la face ACD du tétraèdre donc le segment [NR] est contenu dans la face ACD.

Je bloque sur la construction de l'intersection du plan avec la face ABD. Je pense que la droite parallèle à (NR) passant par M est contenue dans le plan (MNR). En effet deux droites parallèles sont coplanaires et ce plan qui contient ces deux droites passe par les points M,N,R. C'est donc le plan (MNR). Mais je n'ai aucune certitude sur le fait que cette parallèle est contenue dans le plan (ABD). Donc je ne vois pas comment construire la section du plan (MNR) avec la face ABD.

Pouvez-vous m'aider ?

J'aurais voulu joindre le fichier geospace associé à la figure mais ce format n'est pas autorisé par le forum.

[Tu peux joindre une copie d'écran de la figure. ;-) AD]

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Puisque les droites NR et AD sont dans le plan ACD et ne sont pas parallèles, elles se coupent en Q. Les points M et Q sont dans le plan MNR et dans le plan ABD. L'intersection de ces deux plans est donc la droite MQ.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Je crois avoir compris.

    Il faut que je prolonge la droite (AD). Comme (NR) n'est pas parallèle à (AD), et que ces deux droites sont coplanaires puisque contenues dans le plan (ADC), ces deux droites se coupent. Appelons L leur point d'intersection. L appartient à la droite (AD) donc est contenue dans le plan (ADB), et M appartient au plan (ADB). Donc (ML) appartient au plan (ADB). Appelons Q le point d'intersection de (ML) avec (BD) et J le point d'intersection de (ML) avec (AB). Alors [JQ] est l'intersection du plan (MNR) avec la face ABD. Enfin [JN] est l'intersection de (MNR) avec la face (ABC) et [QR] est l'intersection du plan (MNR) avec la face BDC.
  • Chaurien
    Chaurien
    La droite MQ coupe la droite BD en S. La section du tétraèdre ABCD par le plan MNR est le quadrilatère MNRS.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Merci Chaurien. Le point M n'est pas forcément sur l'arrête [AB], donc il faut que je construise l'intersection de (MQ) avec l'arrête [AB], que je peux appeler J et donc l'intersection est le quadrilatère JNRS.
  • Chaurien
    Chaurien
    En effet. J'ai envoyé trop vite mon message.
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